Съдържание

Условие Часть1. Предварительные расчеты Часть2. Характеристики кровотока в артериальной системе человека Листы ответов Решение

BelPhO 2023, Заключителен етап — Задача 11-3. Гемодинамика — артериальная система

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2023

Белорусская республиканская олимпиада по физике2023 — заключительный этап, теоретический тур,9–11классы

Внимание: Бележка към темата

Все99оригинальных страниц лично прочитаны. Девять целых заданий для9/10/11классов,57нижних номерованных запросов в17исходных частях. Все37содержательных Листов ответов, таблицы данных, бланки графиков, полные доступные архивные ключи и научные изображения сохранены. Печатные ошибки формул/чисел/обозначений/слов оставлены и отдельно атрибутированы; решений вне оригинала не добавлено. Не найдены отдельные балльные рубрики и указание длительности; ключ атрибутирован архиву.

Республиканская физическая олимпиада2023года (Заключительный этап). Теоретический тур,9класс

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.

Внимание!

Помимо условий Вы получите тетрадь для черновиков и Листы ответов. Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. На свободных местах (помеченных как «Вывод формулы» Вы должны кратко привести: основные идеи решения, рисунки (при необходимости)), исходные уравнения и их обоснования, сделанные приближения, основные математические преобразования, окончательные результаты. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. Рекомендуем сначала решать в черновике (в отдельной тетради), а затем красиво оформить решение на Листах ответов. Используйте только лицевую сторону Листов ответов, писать на обороте листа запрещается.

Черновики проверяться не будут!

Подписывать Листы ответов и черновик запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
После окончания работы сложите листы ответов в соответствии с нумерацией страниц.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1стр.);
условия3теоретических задач (5стр.).

Республиканская физическая олимпиада2023года (Заключительный этап). Теоретический тур,10класс

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.

Внимание!

Помимо условий Вы получите тетрадь для черновиков и Листы ответов. Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. На свободных местах (помеченных как «Вывод формулы» Вы должны кратко привести: основные идеи решения, рисунки (при необходимости)), исходные уравнения и их обоснования, сделанные приближения, основные математические преобразования, окончательные результаты. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. Рекомендуем сначала решать в черновике (в отдельной тетради), а затем красиво оформить решение на Листах ответов. Используйте только лицевую сторону Листов ответов, писать на обороте листа запрещается.

Черновики проверяться не будут!

Подписывать Листы ответов и черновик запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
После окончания работы сложите листы ответов в соответствии с нумерацией страниц.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1стр.);
условия3теоретических задач (4стр.).

Республиканская физическая олимпиада2023года (Заключительный этап). Теоретический тур,11класс

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.

Внимание!

Помимо условий Вы получите тетрадь для черновиков и Листы ответов. Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. На свободных местах (помеченных как «Вывод формулы» Вы должны кратко привести: основные идеи решения, рисунки (при необходимости)), исходные уравнения и их обоснования, сделанные приближения, основные математические преобразования, окончательные результаты. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. Рекомендуем сначала решать в черновике (в отдельной тетради), а затем красиво оформить решение на Листах ответов. Используйте только лицевую сторону Листов ответов, писать на обороте листа запрещается.

Черновики проверяться не будут!

Подписывать Листы ответов и черновик запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
После окончания работы сложите листы ответов в соответствии с нумерацией страниц.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1стр.);
условия3теоретических задач (6стр.).

Листы ответов,9класс — исходные общие указания

Уважаемые участники олимпиады!

Заполненные Вами листы ответов являются основным «продуктом» Вашего творчества на олимпиаде, свидетельством Ваших знаний, Ваших способностей, Вашего таланта. Отнеситесь к ним предельно серьезно и аккуратно. Жюри будет проверять только эти Листы.
Настоятельно рекомендуем сначала провести решение в тетради-черновике. Черновик Вы должны сдать, но он проверяться не будет.
Оформляйте решения задач и отдельных пунктов на специально отведенных для них страницах. К каждому заданию добавлен1чистый лист, используйте его, если Вам не хватило отведенного места.
Используйте только лицевую сторону Листов ответов.
Подписывать Листы ответов запрещено.

Желаем успехов в выполнении этой работы!

Листы ответов,10класс — исходные общие указания

Уважаемые участники олимпиады!

Желаем успехов в выполнении этой работы!

Листы ответов,11класс — исходные общие указания

Уважаемые участники олимпиады!

Желаем успехов в выполнении этой работы!

Решения задач (для жюри),9класс — исходные указания

Уважаемые члены жюри! Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами. Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Решения задач (для жюри),10класс — исходные указания

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Решения задач (для жюри),11класс — исходные указания

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Условие

Гемодинамика — движение крови по сосудам, возникающее вследствие разности гидростатического давления в различных участках кровеносной системы.

Исходное изображение кровеносной системы и артериального дерева, все подписи

При расчете характеристик движения крови по сосудам будем использовать следующие упрощения:

все сосуды являются цилиндрическими, их форма остается неизменной при изменении давления крови; стенки сосудов не проницаемы для крови;
распределение давлений внутри кровеносной системы стационарно, т.е. не зависит от времени, иными словами вместо регулярных пульсаций, обусловленных сжатием сердца, рассматриваем усредненное по времени распределение давлений, давление, создаваемое сердцем, также считаем постоянным;
объем крови, протекающий в единицу времени через поперечное сечение (эта величина часто называется расход жидкости — $q$ ) цилиндрической трубы радиуса $R$ и длины $L$ , описывается формулой Пуазейля:

q=\frac{\pi R^4}{8\eta L}\Delta P,\qquad (1)

где $\Delta P$ — разность давлений на концах трубы, $\eta$ — коэффициент вязкости протекающей жидкости, если жидкость идеальная (в которой силами вязкого трения пренебрегают), то $\eta=0$ ; можно считать, что формула(1)применима и для изогнутых труб;

кровь является несжимаемой вязкой жидкостью, плотность которой $\rho=1{,}0\cdot10^3\,\mathrm{\text{кг}/\text{м}^3}$ ; вязкость крови $\eta=4{,}0\cdot10^{-3}\,\mathrm{\text{Па}\cdot \text{с}}$ ;
суммарный расход крови в большом круге кровообращения равен $q_0=6{,}0\,\mathrm{\text{л}/\text{мин}}$ ;
давление в1ммрт.ст.равно133Па.

Артериальная система человека (по которой кровь поступает от сердца к мышцам и другим органам) состоит из системы разветвляющихся сосудов: аорта, крупные артерии, мелкие артерии, капилляры. Будем считать, что геометрические размеры всех сосудов в этих группах одинаковы; каждый более крупный сосуд разветвляется в одном месте на более мелкие сосуды (см.рисунок на заставке к задаче). Характеристики сосудов артериальной системы приведены в Таблице1 Листов ответов. В этой таблице: $d_i$ — диаметр сосуда, $l_i$ — длина сосуда; $n_i$ — число сосудов данной группы.

Часть1. Предварительные расчеты

Жидкость вязкости $\eta$ протекает по цилиндрической трубе радиуса $R$ и длины $L$ , расход жидкости равен $q$ .

Исходная цилиндрическая труба R,L с расходом q

1.1 Получите формулы, описывающие следующие характеристики движения жидкости:

1.1.1 Среднюю по поперечному сечению скорость течения жидкости.

1.1.2 Среднее время движение порции жидкости по трубе.

1.1.3 Разность давлений жидкости на концах трубы $\Delta P=P_1-P_2$ .

Жидкость протекает по трубе, состоящей из двух сочлененных труб, радиусы которых равны $R_1$ и $R_2$ , длины этих труб равны $l_1$ и $l_2$ . Плотность жидкости $\rho$ , вязкостью жидкости можно пренебречь $\eta\approx0$ . Расход жидкости равен $q$ .

Исходные сочлененные трубы R1,R2,l1,l2 и давления P1,P2

1.2 Найдите, чему равна разность давлений $\delta P=P_1-P_2$ на концах трубы. Укажите область, в которой происходит этот скачок давлений.

Далее можете считать, что полученная формула для скачка давления применима и для вязких жидкостей.

По описанной выше сочлененной трубе протекает жидкость, вязкость которой равна $\eta$ . На концах трубы поддерживается постоянная разность давлений $\Delta P=P_1-P_2$ .

1.3 Рассчитайте расход жидкости по этой трубе. Ответ выразите, через разность давлений, вязкость жидкости и геометрические размеры трубы.

Жидкость, вязкостью которой можно пренебречь, протекает по системе труб, состоящей из одной трубы радиуса $R_1$ и $n$ одинаковых труб меньшего радиуса $R_2$ . Расход жидкости через эту систему (равный расходу в первой трубе) равен $q$ .

Исходная разветвленная система труб, радиусы R1,R2 и давления P1,P2

1.4 Найдите, чему равен скачок давлений на стыке труб $\delta P=P_1-P_2$ .

Полученную формулу также можно применять для вязкой жидкости.

Часть2. Характеристики кровотока в артериальной системе человека

Будем считать, что артериальная система заканчивается на середине капилляров (далее начинается венозная система).

2.1 Используя приведенные в условии данные, рассчитайте для каждой группы сосудов следующие характеристики (численные результаты занесите в соответствующие графы Таблицы2 в Листах ответов):

2.1.1 Среднюю скорость течения крови по сосудам этой группы.

2.1.2 Среднее время движения крови по артериальной системе.

2.1.3 Разность давлений на концах сосудов каждой группы (для капилляров — между началом капилляра и его серединой).

2.1.4 Скачки давлений при переходе от одной группы сосудов к следующей.

2.1.5 Общую разность давлений в артериальной системе человека, от входа аорты до середины капилляра.

2.2 Сравните полученное значение разности давлений со средним сердечным давлением $p\approx100\,\mathrm{\text{мм}\,\text{рт}.\,\text{ст}.}$ Кратко объясните возникшее противоречие — выскажите предположение о том, как все-таки работает кровеносная система?

Листы ответов

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница61

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница62

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница63

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница64

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница65

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница66

Решение

Задание10-2. Гемодинамика — артериальная система. Решение.

Часть1. Предварительные расчеты.

1.1 Формулы:
1.1.1 Расход жидкости может быть выражен формулой

q=vS,\qquad (1)

где $S=\pi R^2$ — площадь поперечного сечения трубы, $v$ — средняя по поперечному сечению скорость течения, которая может быть выражена через расход жидкости, как

v=\frac qS=\frac q{\pi R^2}.\qquad (2)

1.1.2 Очевидно, что время движения жидкости по трубе равно

t=\frac Lv=\frac{\pi R^2L}q.\qquad (3)

Это же выражение может быть представлено, как объем трубы, деленный на расход жидкости $t=V/q$ .
1.1.3 Из формулы Пуазейля легко выразить разность давлений через расход жидкости

\Delta P=\frac{8\eta L}{\pi R^4}q.\qquad (4)

1.2 Обозначим скорость течения жидкости в первой трубе $v_1$ , во второй — $v_2$ ; площади поперечных сечений — $S_1,S_2$ , давления в трубах $P_1,P_2$ . Так как жидкость является идеальной, то давление изменяется скачком только в области стыка двух труб. Рассмотрим порцию жидкости, находящуюся между двумя произвольно выбранными сечениями (одно в широкой части трубы, второе в узкой части). Пусть за малый промежуток времени первое сечение сместилось на расстояние $\Delta x_1$ , тогда второе сечение сместится на расстояние $\Delta x_2$ . Так как жидкость несжимаема, то выполняется соотношение

\Delta V=S_1\Delta x_1=S_2\Delta x_2.\qquad (5)

Исходная схема перемещения порции жидкости в сочлененной трубе

Эта величина имеет смысл объема, протекшего через поперечное сечение трубы за рассматриваемый промежуток времени. Скорость этой порции жидкости изменилась от $v_1$ до $v_2$ . Следовательно, возросла и кинетическая энергия этой порции жидкости. Изменение кинетической энергии обусловлено работой внешних сил (т.е.сил давления жидкости на выделенную порцию), поэтому можно записать:

P_1S_1\Delta x_1-P_2S_2\Delta x_2=\frac12\rho S_1\Delta x_1(v_2^2-v_1^2).\qquad (6)

Учитывая соотношение(5), получим уравнение (которое фактически является уравнением Бернулли):

P_1-P_2=\frac12\rho(v_2^2-v_1^2).\qquad (7)

Скорости течения жидкости выразим через расход жидкости $v=q/S$ и подставим в уравнение(7):

\Delta P=P_1-P_2=\frac12\rho q^2\left(\frac1{S_2^2}-\frac1{S_1^2}\right)=\frac1{2\pi^2}\rho q^2\left(\frac1{R_2^4}-\frac1{R_1^4}\right).\qquad (8)

1.3 При течении вязкой жидкости давление изменяется и в пределах трубы постоянного течения. Обозначим давления в различных сечениях, как показано на рисунке.

Исходная схема давлений в двух вязких участках трубы

Запишем уравнения для изменения давлений на всех участках составной трубы (используя формулы(4)и(8)):

\begin{aligned} P_1-P_1'&=\frac{8\eta l_1}{\pi R_1^4}q,\\ P_1'-P_2'&=\frac1{2\pi^2}\rho q^2\left(\frac1{R_2^4}-\frac1{R_1^4}\right),\\ P_2'-P_2&=\frac{8\eta l_2}{\pi R_2^4}q. \end{aligned}\qquad (9)

И просуммируем эти выражения:

P_1-P_2=\frac1{2\pi^2}\rho q^2\left(\frac1{R_2^4}-\frac1{R_1^4}\right)+\frac{8\eta l_1}{\pi R_1^4}q+\frac{8\eta l_2}{\pi R_2^4}q.\qquad (10)

В результате чего получаем квадратное уравнение, правда с громоздкими коэффициентами:

\frac1{2\pi^2}\rho\left(\frac1{R_2^4}-\frac1{R_1^4}\right)q^2+\frac{8\eta l}\pi\left(\frac{l_1}{R_1^4}+\frac{l_2}{R_2^4}\right)q-\Delta P=0.\qquad (11)

При решении этого уравнения следует выбрать положительный корень:

q=\frac{\sqrt{b^2+a\Delta P}-b}a.\qquad (12)

где

a=\frac1{2\pi^2}\rho\left(\frac1{R_2^4}-\frac1{R_1^4}\right);\qquad b=\frac{4\eta l}\pi\left(\frac{l_1}{R_1^4}+\frac{l_2}{R_2^4}\right).

1.4 При решении этой задачи можно повторить все рассуждения п.1.2, а в окончательной формуле(8)под $S_2$ следует понимать суммарную площадь всех присоединенных труб, поэтому

\delta P=P_1-P_2=\frac12\rho q^2\left(\frac1{S_2^2}-\frac1{S_1^2}\right)=\frac1{2\pi^2}\rho q^2\left(\frac1{n^2R_2^4}-\frac1{R_1^4}\right).\qquad (13)

Заметим, что эта разность давлений может быть отрицательной.

Часть2. Характеристики кровотока в артериальной системе человека.

2.1.1–2.1.5 Для расчета требуемых характеристик следует воспользоваться уже полученными формулами, которые следует слегка модифицировать с учетом числа сосудов в каждой группе. Приведем эти формулы, необходимые для расчетов:
Расход крови через один сосуд в группе:

q_i=\frac{q_0}{n_i},\qquad (14)

Где $q_0=6{,}0\,\mathrm{\text{л}/\text{мин}}=6{,}0\,(10^{-3}\,\mathrm{\text{м}^3})/(60\,\mathrm{\text{с}})=1{,}0\cdot10^{-4}\,\mathrm{\text{м}^3/\text{с}}$ — суммарный расход крови.
Площадь поперечного сечения сосуда в группе

S_i=\frac{\pi d_i^2}4.\qquad (15)

Средняя скорость течения крови в сосуде:

v_i=\frac{q_i}{S_i}.\qquad (16)

Время движения через сосуд

t_i=\frac{l_i}{v_i}.\qquad (17)

Разность давлений на концах сосуда

\Delta P_i=\frac{8\eta l_i}{\pi R_i^4}q_i=\frac{8\pi\eta l_i}{(\pi R_i^2)^2}q_i=8\pi\eta\frac{l_i}{S_i^2}q_i.\qquad (18)

Скачок давлений на стыке сосудов

\delta P_i=\frac1{2\pi^2}\rho q_i^2\left(\frac1{(n_{i+1}/n_i)^2R_{i+2}^4}-\frac1{R_i^4}\right)=\frac{\rho q_0^2}2\left(\frac1{(n_{i+1}S_{i+1})^2}-\frac1{(n_iS_i)^2}\right).\qquad (19)

Интересно отметить, что при замкнутом круге обращения (когда суммарные площади сечений в начале и конце цикла равны) сумма этих скачков давлений равна нулю.
Суммарные характеристики рассчитываются очевидным способом, как суммы соответствующих характеристик в каждой группе.

Результаты расчетов по приведенным формулам приведены в Таблице2.

Таблица2. Расчетные характеристики артериальной системы человека

Группа сосудов	Средняя скорость течения крови, $v_i$ ,м/с	Время движения $t_i$ ,с	Разность давлений на концах сосуда $\Delta P_i$ ,Па	Скачок давления при переходе в следующую группу $\delta P_i$ ,Па
Аорта	0,54	1,10	180	−36
Крупные артерии	0,47	0,99	4560	−83
Мелкие артерии	0,24	0,25	7450	−29
Капилляры	0,0012	0,51	1400	—

Общее время движения крови по артериальной системе равно2,0с.
Разность давлений на входе и выходе из артериальной системы (сумма двух последних столбцов) равно13кПа, что примерно равно100ммрт.ст. Следует отметить, что скачки давлений в местах разветвления сосудов, во-первых, отрицательны (т.к.общая площадь поперечных сечений сосудов в каждой группе увеличивается); во-вторых, не слишком значительны.

2.2 Разумно считать, что разность давлений в венозной системе также примерно равна100ммрт.ст. Поэтому суммарное давление, которое должно создавать сердце, примерно в два раза превышает реальное сердечное давление. Основная причина такого существенного расхождения заключается в том, что сосуды функционируют гораздо сложнее, чем жесткие трубки. Они проходят через различные мышцы тела, которые могут способствовать лучшему протеканию крови, т.е.работают как своеобразные «микронасосы».

Примечание читателя: ключ озаглавлен «Задание10-2», хотя соответствующее условие — задание3 для11класса. В(11)и определении $b$ напечатан дополнительный множитель $l$ , не определенный здесь отдельно; в первом выражении(19)стоит $R_{i+2}$ , а в следующем используются параметры $i+1$ . Эти печатные выражения сохранены. Условие требует учитывать половину капилляра, и таблица ключа дана именно с исходными численными значениями и общим временем2,0с.

Примечание читателя: полное оригинальное чтение, структура и архивная атрибуция

Лично прочитаны все99исходных страниц:67условий/бланков и32ключа, включая обложки, все37содержательных Листов ответов, девять дополнительных чистых листов и пустой последний лист ключа. Девять целых заданий разных классов, по три для9/10/11классов. Задание «Как измеряли Вселенную» прямо названо связанным; другие части и вопросы относятся к одному исходному заданию и общей модели. Формулы, методы, таблицы, исходные графики, фотографии и бланки ответов сохранены; буквальные печатные ошибки отмечены отдельно. В папке имеются только этот теоретический комплект и отдельные экспериментальные файлы; дополнительный теоретический рубрикатор не найден. Ключ маркирован «для жюри», но независимая публикация организатором не установлена, поэтому решения атрибутированы архиву. Длительность и баллы в этом комплекте не указаны.

Оригинал в Архива: 2023_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 2023_theoretical_solutions.pdf