Съдържание

Условие Часть1. Адиабатическое расширение «в пустоту»Часть2. Дросселирование Листы ответов Решение

BelPhO 2023, Заключителен етап — Задача 11-2. Кислород и водород — методы охлаждения

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2023

Белорусская республиканская олимпиада по физике2023 — заключительный этап, теоретический тур,9–11классы

Внимание: Бележка към темата

Все99оригинальных страниц лично прочитаны. Девять целых заданий для9/10/11классов,57нижних номерованных запросов в17исходных частях. Все37содержательных Листов ответов, таблицы данных, бланки графиков, полные доступные архивные ключи и научные изображения сохранены. Печатные ошибки формул/чисел/обозначений/слов оставлены и отдельно атрибутированы; решений вне оригинала не добавлено. Не найдены отдельные балльные рубрики и указание длительности; ключ атрибутирован архиву.

Республиканская физическая олимпиада2023года (Заключительный этап). Теоретический тур,9класс

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.

Внимание!

Помимо условий Вы получите тетрадь для черновиков и Листы ответов. Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. На свободных местах (помеченных как «Вывод формулы» Вы должны кратко привести: основные идеи решения, рисунки (при необходимости)), исходные уравнения и их обоснования, сделанные приближения, основные математические преобразования, окончательные результаты. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. Рекомендуем сначала решать в черновике (в отдельной тетради), а затем красиво оформить решение на Листах ответов. Используйте только лицевую сторону Листов ответов, писать на обороте листа запрещается.

Черновики проверяться не будут!

Подписывать Листы ответов и черновик запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
После окончания работы сложите листы ответов в соответствии с нумерацией страниц.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1стр.);
условия3теоретических задач (5стр.).

Республиканская физическая олимпиада2023года (Заключительный этап). Теоретический тур,10класс

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.

Внимание!

Помимо условий Вы получите тетрадь для черновиков и Листы ответов. Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. На свободных местах (помеченных как «Вывод формулы» Вы должны кратко привести: основные идеи решения, рисунки (при необходимости)), исходные уравнения и их обоснования, сделанные приближения, основные математические преобразования, окончательные результаты. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. Рекомендуем сначала решать в черновике (в отдельной тетради), а затем красиво оформить решение на Листах ответов. Используйте только лицевую сторону Листов ответов, писать на обороте листа запрещается.

Черновики проверяться не будут!

Подписывать Листы ответов и черновик запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
После окончания работы сложите листы ответов в соответствии с нумерацией страниц.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1стр.);
условия3теоретических задач (4стр.).

Республиканская физическая олимпиада2023года (Заключительный этап). Теоретический тур,11класс

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.

Внимание!

Помимо условий Вы получите тетрадь для черновиков и Листы ответов. Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. На свободных местах (помеченных как «Вывод формулы» Вы должны кратко привести: основные идеи решения, рисунки (при необходимости)), исходные уравнения и их обоснования, сделанные приближения, основные математические преобразования, окончательные результаты. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. Рекомендуем сначала решать в черновике (в отдельной тетради), а затем красиво оформить решение на Листах ответов. Используйте только лицевую сторону Листов ответов, писать на обороте листа запрещается.

Черновики проверяться не будут!

Подписывать Листы ответов и черновик запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
После окончания работы сложите листы ответов в соответствии с нумерацией страниц.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1стр.);
условия3теоретических задач (6стр.).

Листы ответов,9класс — исходные общие указания

Уважаемые участники олимпиады!

Заполненные Вами листы ответов являются основным «продуктом» Вашего творчества на олимпиаде, свидетельством Ваших знаний, Ваших способностей, Вашего таланта. Отнеситесь к ним предельно серьезно и аккуратно. Жюри будет проверять только эти Листы.
Настоятельно рекомендуем сначала провести решение в тетради-черновике. Черновик Вы должны сдать, но он проверяться не будет.
Оформляйте решения задач и отдельных пунктов на специально отведенных для них страницах. К каждому заданию добавлен1чистый лист, используйте его, если Вам не хватило отведенного места.
Используйте только лицевую сторону Листов ответов.
Подписывать Листы ответов запрещено.

Желаем успехов в выполнении этой работы!

Листы ответов,10класс — исходные общие указания

Уважаемые участники олимпиады!

Желаем успехов в выполнении этой работы!

Листы ответов,11класс — исходные общие указания

Уважаемые участники олимпиады!

Желаем успехов в выполнении этой работы!

Решения задач (для жюри),9класс — исходные указания

Уважаемые члены жюри! Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами. Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Решения задач (для жюри),10класс — исходные указания

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Решения задач (для жюри),11класс — исходные указания

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Условие

Йоханнес Дидерик Ван-дер-Ваальс — голландский физик. В первую очередь известен как автор уравнения Ван-дер-Ваальса, с хорошей точностью описывающего поведение реального газа. За открытие этого уравнения в1910году был удостоен Нобелевской премии.

При обычных условиях (при температурах близких к комнатным, давлениях близких к атмосферному) свойства газов хорошо описываются уравнением состояния идеального газа Менделеева — Клапейрона

P=\frac{RT}{V},\qquad (1)

Здесь и далее рассматривается один моль газа, $P$ — давление газа, $T$ — абсолютная температура, $V$ — объем, который занимает один моль газа (молярный объем), $R=8{,}31\,\mathrm{\text{Дж}/(\text{моль}\cdot \text{К})}$ — универсальная газовая постоянная. В модели идеального газа пренебрегают:

размерами молекул (которые рассматриваются как материальные точки);
дистанционным взаимодействием молекул.

Эти приближения исключают описание процесса перехода газа в жидкое состояние.

В1873году голландский физик Ван-дер-Ваальс предложил модернизировать уравнение(1)посредством введения двух поправок:

P=\frac{RT}{V-b}-\frac a{V^2},\qquad (2)

$b$ — величина примерно равная собственному объему молекул, второе слагаемое описывает уменьшение давления газа вследствие взаимного притяжения молекул. Не сложно показать, что внутренняя энергия одного моля газа, описываемого уравнением Ван-дер-Ваальса(2), определяется по формуле

U=C_VT-\frac aV,\qquad (3)

Где $C_V$ — молярная теплоемкость газа в изохорном процессе. В данной задаче Вам необходимо рассмотреть некоторые процессы, которые приводят к охлаждению газа, которое является необходимым условием для последующего сжижения газов.

В задаче рассматриваются свойства двух газов: кислорода $O_2$ и водорода $H_2$ . Для этих газов $C_V=5R/2$ ; поправки Ван-дер-Ваальса:
Для кислорода $a=0{,}138\,\mathrm{\text{Па}\cdot\text{м}^6\cdot\text{моль}^{-2}}$ , $b=31{,}9\cdot10^{-6}\,\mathrm{\text{м}^3/\text{моль}}$ ;
Для водорода $a=0{,}0245\,\mathrm{\text{Па}\cdot\text{м}^6\cdot\text{моль}^{-2}}$ , $b=26{,}5\cdot10^{-6}\,\mathrm{\text{м}^3/\text{моль}}$ .
В своих расчетах используйте разумные приближения, обеспечивающие нужную точность результатов. Свои приближения обоснуйте.

Часть1. Адиабатическое расширение «в пустоту»

Одним из способов охлаждение газов является его адиабатическое (т.е. без теплообмена с окружающей средой) расширение. Эффект достигается и в том случае, когда газ расширяется без совершения работы. Такой процесс схематически реализуется следующим образом: теплоизолированный сосуд объема $V$ разделен на две части перегородкой, в одной части объема $V_0$ сосуда находится газ, в другой — вакуум. В некоторый момент времени перегородку резко убирают, газ расширяется и занимает весь объем сосуда.

Исходный теплоизолированный сосуд и объемы V,V0

1.1 Один моль газа расширяется в пустоту, при этом его объем изменяется от $V_0$ до $V$ . Найдите, чему равно изменение температуры газа, если
А) газ идеальный (т.е. подчиняется уравнению(1));
Б) газ подчиняется уравнению(2).

1.2 Рассчитайте численное значение изменения температуры газа в описанном процессе, если его давление изменяется от $P_0=10\,\mathrm{\text{атм}}=1{,}0\cdot10^6\,\mathrm{\text{Па}}$ до $P_1=1{,}0\,\mathrm{\text{атм}}=1{,}0\cdot10^5\,\mathrm{\text{Па}}$ . Начальная температура газа равна $T_0=300\,\mathrm K$ . Расчет проведите для кислорода и водорода.

Часть2. Дросселирование

Дроселирование — процесс перетекания газа через пористую перегородку под действие постоянного перепада давление и без теплообмена с окружающей средой.

Исходная труба, пористая перегородка A и поршни П1,П2

Длинная цилиндрическая труба разделена пористой перегородкой А через которую газ может медленно просачиваться. Первоначально весь газ находится между подвижным поршнем П1 и перегородкой, поршень П2 примыкает к перегородке. Затем поршни начинают медленно передвигать, при этом газ просачивается через перегородку. Поршни передвигают так, что до перегородки давление газа поддерживается постоянным и равным $P_1$ , за перегородкой давление газа также поддерживается постоянным и равным $P_2$ . При реализации этого процесса $P_2\ll P_1$ , поэтому газ за перегородкой оказывается разряженным и его можно считать идеальным, подчиняющимся уравнению(1).

Обозначим начальную температуру газа $T_1$ , а температуру газа после того, как он весь просочится через перегородку — $T_2$ ; начальный объем газа $V_1$ , его объем после перетекания через перегородку — $V_2$ . Теплоемкостью трубы, поршней и перегородки можно пренебречь, потери теплоты в окружающую среду также пренебрежимо малы.

2.1 Найдите изменение температуры газа при его перетекании через пористую перегородку $\Delta T=T_2-T_1$ . Ответ выразите через начальную температуру газа $T_1$ и его начальный объем $V_1$ . Используйте указанное приближение: до перегородки газ подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса(2); после протекания через перегородку — уравнению идеального газа(1).

2.2 Найдите, при какой максимальной начальной температуре $T_{1\max}$ газ в процессе дросселирования будет охлаждаться.

2.3 Рассчитайте численные значения температуры $T_{1\max}$ для кислорода и для водорода.

Листы ответов

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница56

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница57

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница58

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница59

Решение

Задание2. Кислород и водород — методы охлаждения (Решение).

1.1 Так как при расширении в пустоту газ работы не совершает, и теплообмен отсутствует, то внутренняя энергия остается постоянной. Поэтому

C_VT_0-\frac a{V_0}=C_VT_1-\frac aV.\qquad (1)

Из этого уравнения находим изменение температуры газа

T_1-T_0=\frac a{C_V}\left(\frac1V-\frac1{V_0}\right).\qquad (2)

Если газ идеальный, то $a=0$ , поэтому температура газа изменяться не будет $\Delta T=0$ . Для газа Ван-дер-Ваальса изменение температуры определяется формулой(2). Так как газ расширяется( $V>V_0$ ), то температура газа будет уменьшаться.

1.2 Для численного расчета изменения температуры необходимо знать объемы газов до и после расширения. Т.е.выразить объем газа через его температуру и давление. Для этого следует решить уравнение

P=\frac{RT}{V-b}-\frac a{V^2}.\qquad (3)

Относительно величины $V$ это уравнение является уравнением третьей степени, решение которого затруднительно. Оценим, можно ли при расчете объема пренебречь поправками Ван-дер-Ваальса. Так как начальное давление задано с точностью до2значащих цифр, то погрешность этого значения составляет величину порядка5%. Следовательно, при расчетах допустимая погрешность также примерно равна5%.
Рассчитаем значение объема газа, если считать его идеальным. В этом случае

V_0=\frac{RT_0}{P_0}=2{,}5\cdot10^{-3}\,\mathrm{\text{м}^3/\text{моль}}.\qquad (4)

Отношение для кислорода $b/V_0\approx1{,}3\cdot10^{-2}$ (для водорода еще меньше), поэтому поправкой $b$ можно пренебречь. Аналогично оценим второе слагаемое в уравнении(3): $\delta P=a/V_0^2\approx2\cdot10^4\,\mathrm{\text{Па}}$ , относительно давления газа эта величина составляет примерно $\delta P/P_0\approx0{,}02$ , что также меньше допустимой погрешности расчетов, поэтому и этой поправкой можно пренебречь. После расширения численные величины поправок будут вносить еще меньший вклад, поэтому ими также можно пренебречь. Подставим формулу для объема(4)в выражение(2):

T_1-T_0=\frac a{C_V}\left(\frac1V-\frac1{V_0}\right)=\frac a{C_V}\left(\frac{P_1}{RT_1}-\frac{P_0}{RT_0}\right).\qquad (5)

В этом выражении второе слагаемое превышает первое примерно в10раз, поэтому изменение температуры можно оценить, пренебрегая первым слагаемым, эта оценка дает следующее значение

T_1-T_0=\frac a{C_V}\left(\frac{P_1}{RT_1}-\frac{P_0}{RT_0}\right)\approx-\frac a{C_VV_0}\approx3\,\mathrm K.\qquad (6)

Таким образом, $\Delta T/T_0\approx0{,}01$ , поэтому в левой части формулы(5)можно положить $T_1=T_0$ , тогда окончательно получим

T_1-T_0\approx\frac a{C_V}\left(\frac{P_1}{RT_0}-\frac{P_0}{RT_0}\right)\approx-\frac a{C_VRT_0}(P_0-P_1).\qquad (7)

Численные расчеты дают следующие значения
Для кислорода

\Delta T=-2{,}4\,\mathrm K;\qquad (8)

Для водорода

\Delta T=-0{,}43\,\mathrm K.\qquad (9)

Часть2. Дросселирование.

2.1 В соответствии с первым законом термодинамики изменение внутренней энергии газа равно разности работы, совершенной поршнем П1 над газом $A_1=P_1V_1$ и работы, совершенной газом над поршнем П2 $A_2=P_2V_2$ :

U_2-U_1=P_1V_1-P_2V_2.\qquad (10)

После перегородки газ подчиняется уравнению состояния идеального газа, поэтому

P_2V_2=RT_2,\qquad U_2=C_VT_2.\qquad (11)

Также используем выражение для внутренней энергии газа Ван-дер-Ваальса. Тогда уравнение(10)принимает вид

C_VT_2-\left(C_VT_1-\frac a{V_1}\right)=P_1V_1-RT_2.\qquad (12)

Из уравнения Ван-дер-Ваальса получим

P_1V_1=RT_1\frac{V_1}{V_1-b}-\frac a{V_1}.\qquad (13)

И продолжим преобразования формулы(12):

\begin{aligned} C_VT_2-C_VT_1+\frac a{V_1}&=RT_1\frac{V_1}{V_1-b}-\frac a{V_1}-RT_2\ \Rightarrow\\ (C_V+R)T_2-C_VT_1-RT_1&=RT_1\frac{V_1}{V_1-b}-RT_1-\frac{2a}{V_1}\ \Rightarrow\\ (C_V+R)(T_2-T_1)&=RT_1\frac b{V_1-b}-\frac{2a}{V_1}. \end{aligned}\qquad (14)

Окончательно находим требуемую формулу для изменения температуры

T_2-T_1=\frac1{C_V+R}\left(RT_1\frac b{V_1-b}-\frac{2a}{V_1}\right).\qquad (15)

2.2 Газ охлаждается, если $T_2<T_1$ , что выполняется, если

RT_1\frac b{V_1-b}-\frac{2a}{V_1}<0.\qquad (16)

Или при

T_1<\frac{2a}{Rb}\left(1-\frac b{V_1}\right).\qquad (17)

Эта температура будет максимальна, если $V_1\gg b$ . В этом случае

T_{1\max}<\frac{2a}{Rb}.\qquad (18)

2.3 Подстановка численных значений дает следующие результаты
Для кислорода $T_{1\max}=1{,}0\cdot10^3\,\mathrm K$ ;
Для водорода $T_{1\max}=2{,}2\cdot10^2\,\mathrm K$ .

Обратите внимание, кислород в ходе дросселирования начинает охлаждаться при комнатной температуре, для охлаждения водорода при дросселировании его предварительно необходимо охладить до температуры порядка $-100^\circ\mathrm C$ .

Примечание читателя: в(6)напечатано положительное3К после отрицательного выражения; далее ключ дает отрицательные значения(8),(9). Слова«в левой части» при замене $T_1$ и финальная оценка−100°C сохранены; последняя не совпадает с приведенными2,2·10²К. В(18)знак строгого неравенства сохранен буквально.

Примечание читателя: полное оригинальное чтение, структура и архивная атрибуция

Лично прочитаны все99исходных страниц:67условий/бланков и32ключа, включая обложки, все37содержательных Листов ответов, девять дополнительных чистых листов и пустой последний лист ключа. Девять целых заданий разных классов, по три для9/10/11классов. Задание «Как измеряли Вселенную» прямо названо связанным; другие части и вопросы относятся к одному исходному заданию и общей модели. Формулы, методы, таблицы, исходные графики, фотографии и бланки ответов сохранены; буквальные печатные ошибки отмечены отдельно. В папке имеются только этот теоретический комплект и отдельные экспериментальные файлы; дополнительный теоретический рубрикатор не найден. Ключ маркирован «для жюри», но независимая публикация организатором не установлена, поэтому решения атрибутированы архиву. Длительность и баллы в этом комплекте не указаны.

Оригинал в Архива: 2023_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 2023_theoretical_solutions.pdf