Съдържание

Условие Отговори Решение

BelPhO 2024, Областен етап, 9–11 клас — Задача 1. Задание 9-1. Прогрессивная динамика

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2024

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (III этап). Теоретический тур

9 класс. Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Третий этап республиканской олимпиады по учебному предмету «Физика», 2023-2024 учебный год

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (III этап)

Теоретический тур

9 класс.

Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Полный комплект состоит из трех заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
Каждое задание включает условие задания и Листы ответов. Для решения задач используйте рабочие листы. Часть из них используйте в качестве черновиков. После окончания работы черновые листы перечеркните.

В чистовых рабочих листах приведите решения задач (рисунки, исходные уравнения, математические преобразования, графики, окончательные результаты). Жюри будет проверять чистовые рабочие листы. Кроме того, каждое задание включает Листы ответов. В соответствующие графы Листов ответов занесите окончательные требуемые ответы. Для построения графиков, которые требуется по условию задачи, в Листах ответов подготовлены соответствующие бланки. Графики стройте на этих бланках. Дублировать их в рабочих листах не требуется.

При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы вы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, инженерный калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий с Листами ответов (6 стр.).

9 класс. Теоретический тур. Вариант 1.

10 класс. Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (III этап)

Теоретический тур

10 класс.

Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Полный комплект состоит из трех заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
Каждое задание включает условие задания и Листы ответов. Для решения задач используйте рабочие листы. Часть из них используйте в качестве черновиков. После окончания работы черновые листы перечеркните.

При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, инженерный калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий с Листами ответов (10 стр.).

10 класс. Теоретический тур. Вариант 2.

11 класс. Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (III этап)

Теоретический тур

11 класс.

Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Полный комплект состоит из трех заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
Каждое задание включает условие задания и Листы ответов. Для решения задач используйте рабочие листы. Часть из них используйте в качестве черновиков. После окончания работы черновые листы перечеркните.

При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, инженерный калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий с Листами ответов (8 стр.).

11 класс. Теоретический тур. Вариант I.

Решения задач. 9 класс (для жюри)

Республиканская физическая олимпиада 2024 год (III этап)

Теоретический тур

Решения задач 9 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты их решений, конечно же, не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы физически обоснованы и приводят к правильным ответам, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами.

Каждое задание сопровождается Листами ответов, в которые участники олимпиады должны занести окончательные результаты.

Если окончательный результат не занесен в Лист ответов, но содержится в основном решении, то этот результат также необходимо оценивать.

Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших талантливых школьников!

Теоретический тур. Вариант 1. 9 класс. Решения задач. Бланк для жюри.

Решения задач. 10 класс (для жюри)

Республиканская физическая олимпиада 2024 год (III этап)

Теоретический тур

Решения задач 10 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами.

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших талантливых школьников!

Теоретический тур. Вариант 2. 10 класс. Решения задач. Бланк для жюри.

Решения задач. 11 класс (для жюри)

Республиканская физическая олимпиада 2024 год (III этап)

Теоретический тур

Решения задач 11 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших талантливых школьников!

Теоретический тур. Вариант 1. 11 класс. Решения задач. Бланк для жюри.

Условие

В данном задании действие силы тяжести не учитывать. Внимание! Рисунки носят качественный характер: реальные пропорции сил на них не соблюдены.

Двенадцать сил, приложенных к материальной точке в начале штриховой оси Ox, повернутых друг относительно друга на угол α; подписи модулей 10 Н, 20 Н, 30 Н, … 120 Н у концов векторов, угол α между осью x и силой 20 Н. — Рис. 1

1.1 На материальную точку массой $m = 23{,}2\ \text{кг}$ действуют двенадцать сил (Рис. 1), расположенных в одной плоскости, самая «маленькая» из которых равна $F_1 = 10\ \text{Н}$ и направлена вдоль оси $Ox$ . Известно, что каждая следующая сила больше предыдущей на $\Delta F = 10\ \text{Н}$ и повернута на угол $\alpha = 30^{\circ}$ (см. Рис. 1). Найдите ускорение $\vec{a}_1$ материальной точки.

1.2 Рассмотрим общий случай. Пусть на материальную точку массой $m$ (Рис. 2) действует система из $n$ сил $(\vec{F}_1;\ \vec{F}_2;\ \vec{F}_3;\ \dots;\vec{F}_{n-1};\ \vec{F}_n)$ , расположенных в одной плоскости на одинаковом угловом расстоянии $\alpha = \frac{2\pi}{n}$ друг от друга. Известно, что модуль $F_{i+1}$ каждой следующей силы больше модуля $F_i$ предыдущей на $\Delta F$ . Найдите ускорение $\vec{a}_2$ материальной точки.

Система сил F₁, F₂, …, F₇, …, Fₙ₋₁, Fₙ, приложенных к точке массой m на штриховой оси Ox; соседние силы повернуты на угол α, многоточие обозначает пропущенные силы. — Рис. 2

1.3 Используя общее выражение, полученное для $\vec{a}_2$ в предыдущем пункте, вычислите ускорение $\vec{a}_1$ для первого пункта задачи.

Отговори

Решение

1.1 Прямой метод решения предполагает нахождение проекции каждой силы на соответствующую ось и дальнейшее суммирование проекций по каждой из осей.

Однако задачу можно решить проще (и короче!) если заметить, что в данной системе разность противоположных по направлению сил ( $70\ \text{Н}$ и $10\ \text{Н}$ , $80\ \text{Н}$ и $20\ \text{Н}$ и т.д.) попарно остается постоянной и равной $F_0 = 60\ \text{Н}$ .

Это обстоятельство позволяет упростить систему до шести симметричных сил с модулем $F_0$ (Рис. 01), сумма которых будет направлена вдоль оси симметрии $AB$ и равна

Система сил, упрощенная до шести симметричных сил по 60 Н; ось симметрии AB проведена штрихами, ось Ox горизонтальна, угол α отмечен между силами. — Рис. 01

F = 2F_0(\cos 15^{\circ} + \cos 45^{\circ} + \cos 75^{\circ})\ . \qquad (1)

Согласно второму закону Ньютона, ускорение $\vec{a}_1$ материальной точки будет также направлено вдоль прямой $AB$ (под углом $\beta = 105^{\circ}$ к оси $Ox$ ) и равно

a_1 = \frac{F}{m} = \frac{2F_0(\cos 15^{\circ}+\cos 45^{\circ}+\cos 75^{\circ})}{m}\ . \qquad (2)

Расчет по (2) с точностью до двух значащих цифр дает

a_1 = \frac{2\cdot 60\cdot(\cos 15^{\circ}+\cos 45^{\circ}+\cos 75^{\circ})}{23{,}2}\left(\frac{\text{м}}{\text{с}^2}\right) = \{9{,}992336134\}^{1} = 10\left(\frac{\text{м}}{\text{с}^2}\right) \qquad (3)

Интересно, что значение (3) для $a_1$ «совпало» со значением $g$ , используемом на централизованном тестировании (☺), хотя в этом задании мы его не учитывали

a_1 = g_{\text{цт}} = 10\left(\frac{\text{м}}{\text{с}^2}\right).

1.2 По определению равнодействующая $\vec{F}$ равна сумме всех сил, действующих на материальную точку

\vec{F} = \sum_i \vec{F}_i = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \dots + \vec{F}_{n-1} + \vec{F}_n\ . \qquad (4)

Заметим, что модули сил, действующих на материальную точку, образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Следовательно, для модуля силы $F_n$ справедлива формула

F_n = F_1 + (n-1)\Delta F. \qquad (5)

Кроме того, при арифметической прогрессии для любых соседних членов $F_{i+1}$ и $F_i$ выполняется равенство

F_{i+1} - F_i = \Delta F = \mathrm{const}. \qquad (6)

Для практического использования свойства (6) на векторной диаграмме выполним три шага (Рис. 02). Шаг первый: поменяем направление каждого вектора $\vec{F}_i$ на противоположное (т.е. умножим каждый вектор на (-1), при этом он поворачивается на $180^{\circ}$ ).

Три звездообразные системы векторов: исходная (с осью x), после «Шаг 1» (обращенная), после «Шаг 2» (повернутая на угол α относительно оси x). — Рис. 02

Шаг второй: повернём обращенную систему сил как целое на угол $\alpha = \frac{2\pi}{n}$ против часовой стрелки (См. Рис. 02).

$^{1}$ — здесь и далее: в фигурных скобках представлены (без размерности!) показания инженерного калькулятора (например, CASIO fx-991EX (CLASSWIZ)) при правильном расчёте.

Шаг третий: наложим полученную после двух шагов систему сил на исходную систему сил так, чтобы их центры совпали. При этом вектор $(-\vec{F}_1)$ попадет на вектор $\vec{F}_2$ , вектор $(-\vec{F}_2)$ попадет на вектор $\vec{F}_3$ и т.д., а вот вектор $(-\vec{F}_n)$ попадет на начальный вектор $\vec{F}_1$ .

Из (6) следует, что после суммирования наложенных векторов получится система из $(n-1)$ равных по модулю векторов $\Delta F$ , повернутых на угол $\alpha$ друг относительно друга, и вектор $(F_1 - F_n)$ , параллельный оси $Ox$ (Рис. 03). Вектор $(F_1 - F_n)$ можно представить как

F_1 - F_n = F_1 - (F_1 + (n-1)\Delta F) = -(n-1)\Delta F = -n\Delta F + \Delta F\ . \qquad (7)

По правилу многоугольника теперь сумма $n$ одинаковых по модулю векторов $\Delta F$ , повернутых на угол $\alpha = \frac{2\pi}{n}$ друг относительно друга, равна нулю. Следовательно, согласно (7), после наложения двух систем «останется» только вектор $-n\Delta F$ , направленный против оси $Ox$ .

Результат наложения систем: векторы ΔF, повернутые на угол α друг относительно друга, векторы F₁ и −Fₙ вдоль оси x, точка массой m в центре. — Рис. 03

Изобразим на векторной диаграмме (Рис. 04) все сказанное: отложим вектор $\vec{F}$ , далее $\left(-\vec{F}\right)$ после первого шага, далее $\vec{F}^{*}$ после второго шага. Их сумма (третий шаг) должна давать вектор $(-n\Delta F)$ , отмеченный пунктиром.

По правилу сложения векторов получаем равнобедренный векторный треугольник (см. Рис. 04), из которого можем записать

n\Delta F = 2F\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \quad \Longrightarrow \quad F = \frac{n\Delta F}{2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\,, \qquad (8)

где $F$ – модуль равнодействующей силы.

Интересно, что модуль $F$ равнодействующей не зависит от $F_1$ , а определяется только разностью $\Delta F$ арифметической прогрессии и количеством $n$ ее членов. Это и понятно, по тому же правилу многоугольника векторная сумма всех членов $F_1$ равна нулю.

Векторный ромб: векторы F, −F и F* с углами α и β; штриховой вектор (−nΔF) направлен против оси x. — Рис. 04

Напомним, что для задания вектора $\vec{F}$ помимо модуля (8) необходимо также обязательно определить и его направление в плоскости рисунка. На практике для этого достаточно найти угол, образуемый данным вектором с какой либо осью или отрезком.

В нашем случае удобно найти угол $\beta$ , образованный искомым вектором $\vec{F}$ с осью $Ox$ , (см. Рис. 04).

Из равнобедренного треугольника сил, учитывая, что $\alpha = \frac{2\pi}{n}$ и углы при основании равны, найдем

\beta = \pi - \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{n} = \frac{n+2}{2n}\pi\ . \qquad (9)

Выражения (8) и (9) полностью задают искомый вектор $\vec{F}$ , приложенный к материальной точке (где $n \ge 2$ ).

Для модуля ускорения $a_2$ материальной точки окончательно получаем

a_2 = \frac{F}{m} = \frac{n\Delta F}{2m\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}\,, \qquad (10)

причем вектор $\vec{a}_2$ будет направлен под углом

\beta = \frac{n+2}{2n}\pi \qquad (11)

к оси $Ox$ $(n \ge 2)$ .

1.3 Для вычислений с использованием (10) и (11) из условия задачи найдем необходимые параметры: $n = 12$ ; $\Delta F = 10\ \text{Н}$ . После подстановки получаем

a_1 = \frac{12\cdot 10}{2\cdot 23{,}2\cdot\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)}\left(\frac{\text{м}}{\text{с}^2}\right) = \{9{,}992336134\} = 10\left(\frac{\text{м}}{\text{с}^2}\right), \qquad (12)

\beta = \frac{12+2}{2\cdot 12}\pi = \frac{7}{12}\pi = 105^{\circ}. \qquad (13)

Сравнивая (12) и (13) с (2) и (3), не только испытываешь чувство удовлетворения (физика – наука точная!), но и понимаешь, насколько труднее получить общее решение по сравнению с частным, отдельным случаем. Но это всегда гораздо престижнее… ☺

Оригинал в Архива: 3_etap_2024_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2024_theoretical_solutions.pdf