Съдържание

Условие Отговори Решение

BelPhO 2024, Областен етап, 9–11 клас — Задача 2. Задание 9-2. Двойное скольжение

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2024

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (III этап). Теоретический тур

9 класс. Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Третий этап республиканской олимпиады по учебному предмету «Физика», 2023-2024 учебный год

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (III этап)

Теоретический тур

9 класс.

Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Полный комплект состоит из трех заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
Каждое задание включает условие задания и Листы ответов. Для решения задач используйте рабочие листы. Часть из них используйте в качестве черновиков. После окончания работы черновые листы перечеркните.

В чистовых рабочих листах приведите решения задач (рисунки, исходные уравнения, математические преобразования, графики, окончательные результаты). Жюри будет проверять чистовые рабочие листы. Кроме того, каждое задание включает Листы ответов. В соответствующие графы Листов ответов занесите окончательные требуемые ответы. Для построения графиков, которые требуется по условию задачи, в Листах ответов подготовлены соответствующие бланки. Графики стройте на этих бланках. Дублировать их в рабочих листах не требуется.

При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы вы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, инженерный калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий с Листами ответов (6 стр.).

9 класс. Теоретический тур. Вариант 1.

10 класс. Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (III этап)

Теоретический тур

10 класс.

Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Полный комплект состоит из трех заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
Каждое задание включает условие задания и Листы ответов. Для решения задач используйте рабочие листы. Часть из них используйте в качестве черновиков. После окончания работы черновые листы перечеркните.

При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, инженерный калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий с Листами ответов (10 стр.).

10 класс. Теоретический тур. Вариант 2.

11 класс. Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (III этап)

Теоретический тур

11 класс.

Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Полный комплект состоит из трех заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
Каждое задание включает условие задания и Листы ответов. Для решения задач используйте рабочие листы. Часть из них используйте в качестве черновиков. После окончания работы черновые листы перечеркните.

При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, инженерный калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий с Листами ответов (8 стр.).

11 класс. Теоретический тур. Вариант I.

Решения задач. 9 класс (для жюри)

Республиканская физическая олимпиада 2024 год (III этап)

Теоретический тур

Решения задач 9 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты их решений, конечно же, не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы физически обоснованы и приводят к правильным ответам, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами.

Каждое задание сопровождается Листами ответов, в которые участники олимпиады должны занести окончательные результаты.

Если окончательный результат не занесен в Лист ответов, но содержится в основном решении, то этот результат также необходимо оценивать.

Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших талантливых школьников!

Теоретический тур. Вариант 1. 9 класс. Решения задач. Бланк для жюри.

Решения задач. 10 класс (для жюри)

Республиканская физическая олимпиада 2024 год (III этап)

Теоретический тур

Решения задач 10 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами.

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших талантливых школьников!

Теоретический тур. Вариант 2. 10 класс. Решения задач. Бланк для жюри.

Решения задач. 11 класс (для жюри)

Республиканская физическая олимпиада 2024 год (III этап)

Теоретический тур

Решения задач 11 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших талантливых школьников!

Теоретический тур. Вариант 1. 11 класс. Решения задач. Бланк для жюри.

Условие

Справочные данные и параметры рассматриваемых систем: трением и сопротивлением воздуха в данном задании пренебречь.

1.1 «Шарик и параллелепипед» Небольшой шарик, привязанный легкой нерастяжимой нитью к вертикальной стенке в точке $O$ (Рис. 1), свисает с параллелепипеда размерами $a \times b$ (в плоскости рисунка), слегка касаясь горизонтальной поверхности. Параллелепипед начинают двигать вправо с постоянной скоростью $\vec{v}$ . Найдите скорость $\vec{u}_1$ шарика в процессе его скольжения по вертикальной стенке параллелепипеда. Опишите его траекторию на этом участке движения, укажите её существенные параметры. Считайте, что в процессе движения шарик не отрывается от параллелепипеда.

Параллелепипед со сторонами a и b у вертикальной стенки; нить от точки O на стенке проходит по верхней грани, шарик свисает с правой вертикальной грани; скорость v направлена вправо, вектор g вниз. — Рис. 1

1.2 «Шарик и наклонная плоскость» Усложним задачу и рассмотрим небольшой шарик, привязанный легкой нерастяжимой нитью к стене, который лежит на наклонной плоскости (Рис. 2), слегка касаясь горизонтальной поверхности. Наклонную плоскость начинают двигать вправо с постоянной скоростью $\vec{v}$ . Найдите скорость $\vec{u}_2$ шарика в процессе его скольжения по наклонной плоскости. Опишите его траекторию на этом участке движения, укажите её существенные параметры. Считайте, что в процессе движения шарик не отрывается от наклонной плоскости. Угол наклона плоскости к горизонту $\alpha$ , ее длина $l$ .

Наклонная плоскость длиной l с углом α у основания; нить от точки O на стенке идет вдоль плоскости к шарику у ее нижнего края; скорость v вправо, вектор g вниз. — Рис. 2

1.3 «Шарик и полусфера» Еще более усложним задачу и рассмотрим небольшой шарик на легкой нерастяжимой нити, который лежит на полусфере (Рис. 3), слегка касаясь горизонтальной поверхности. Полусферу начинают двигать вправо с постоянной скоростью $\vec{v}$ . Найдите скорость $\vec{u}_3(x)$ шарика в процессе его скольжения по полусфере в момент времени, когда полусфера сместилась на расстояние $x$ $(x \lt R)$ . Опишите его траекторию на этом участке движения, укажите её существенные параметры. Считайте, что в процессе движения шарик не отрывается от полусферы. Радиус полусферы $R$ .

Полусфера радиуса R на горизонтальной поверхности у стенки; нить от точки O проходит по поверхности полусферы к шарику у ее основания; скорость v вправо. — Рис. 3

Отговори

Решение

1.1 «Шарик и параллелепипед» Поскольку движение параллелепипеда равномерное и прямолинейное, то логично предположить, что шарик также будет двигаться равномерно и прямолинейно со скоростью $\vec{u}_1$ под некоторым углом $\alpha$ к горизонту.

В таком случае для нахождения скорости нет необходимости рассматривать малые промежутки времени $\Delta t$ , а можно выбрать любой удобный конечный промежуток времени $t$ .

Параллелепипед, сместившийся вправо на b: штриховой контур его начального положения, нить от точки O на стенке вдоль верхней грани (отрезки a и b) до вершины B, начальное положение шарика A у нижнего края, штриховая диагональ AB; сторона b, скорость v вправо, вектор g вниз. — Рис. 01

Воспользуемся этим соображением и рассмотрим систему через промежуток времени $t$ , когда параллелепипед сместился вправо на длину вертикальной стороны $b$ (Рис. 01)

b = \upsilon t. \qquad (1)

Поскольку нить нерастяжима, то при этом шарик поднялся по вертикальной стенке параллелепипеда до его вершины $B$ (см. Рис. 01).

Следовательно, его перемещение $AB$ (по модулю) составило гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника

AB = \sqrt{2}b. \qquad (2)

Соответственно, искомая скорость $\vec{u}_1$ шарика будет направлена вдоль гипотенузы $AB$ (под углом $\alpha = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$ к горизонту) и равна по модулю

u_1 = \frac{AB}{t} = \frac{\sqrt{2}b}{b/\upsilon} = \upsilon\sqrt{2} = \sqrt{2}\upsilon. \qquad (3)

Таким образом, траектория шарика будет представлять собой отрезок $AB$ , также направленный под углом $\alpha = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$ к горизонту, длиной

AB = b\sqrt{2} = \sqrt{2}b. \qquad (4)

Как следует из (4), сторона $a$ параллелепипеда не влияет на решение данной задачи – она может быть любой. Эта сторона параллелепипеда играет существенную роль только при рассмотрении дальнейшего движения системы. ☺

Наклонная плоскость, сместившаяся вправо на свою длину l: нить от точки O на стенке к вершине D, равнобедренный треугольник со сторонами l и углом α при вершине O, начальное положение шарика C у основания, угол β между CD и горизонтом; скорость v вправо, вектор g вниз. — Рис. 02

1.2 «Шарик и наклонная плоскость» Применяя те же общие рассуждения, что и в предыдущем пункте, делаем вывод, что и в этом случае шарик будет двигаться равномерно и прямолинейно со скоростью $\vec{u}_2$ под некоторым углом $\beta$ к горизонту.

Соответственно, рассмотрим систему через промежуток времени $t$ , когда наклонная плоскость сместился вправо на свою длину $l$ (Рис. 02)

l = \upsilon t. \qquad (5)

Поскольку нить нерастяжима, то при этом шарик поднялся по наклонной плоскости до ее вершины $D$ (см. Рис. 02).

Следовательно, его перемещение $CD$ (по модулю) составило основание равнобедренного треугольника с углом $\alpha$ при вершине

CD = 2l\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right). \qquad (6)

Соответственно, искомая скорость $\vec{u}_2$ шарика будет направлена вдоль основания $CD$ равнобедренного треугольника под углом $\beta$ к горизонту

\beta = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2} = \frac{\pi - \alpha}{2}\ . \qquad (7)

Модуль $u_2$ скорости $\vec{u}_2$ при этом будет

u_2 = \frac{CD}{t} = \frac{2l\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{l/\upsilon} = 2\upsilon\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right). \qquad (8)

Таким образом, траектория шарика будет представлять собой отрезок $CD$ , направленный под углом $\beta = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}$ к горизонту, длиной

CD = 2l\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right). \qquad (9)

Интересно, что при $\alpha = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$ из (8) и (9) получаем формулы (3) и (4) из предыдущего пункта, поскольку вертикальную стенку параллелепипеда можно считать «наклонной плоскостью» с прямым углом. Физика рулит! ☺

1.3 «Шарик и полусфера» Движение полусферы равномерное, следовательно, через промежуток времени $t$ она пройдет по плоскости расстояние (Рис. 03)

Полусфера радиуса R, сместившаяся на x: нить от точки O по поверхности к шарику в точке E, дуга EF длиной x, касательная в точке E (штрихами), углы φ и γ у основания F; скорость v вправо, вектор g вниз. — Рис. 03

x = \upsilon t\ . \qquad (10)

В силу нерастяжимости нити шарик пройдет по полусфере такое же расстояние $x$ и окажется в точке $E$ (см. Рис. 03), причем длина дуги $EF$ будет равна

\breve{EF} = x = \upsilon t = \varphi R\ . \qquad (11)

Из (11) находим угол $\varphi$

\varphi = \frac{x}{R} = \frac{\upsilon t}{R}\ . \qquad (12)

Проведем касательную к полусфере в точке нахождения шарика в данный момент времени (см. Рис. 03). Она будет образовывать с горизонтом угол $\gamma$ , который равен

\gamma = \frac{\pi}{2} - \varphi\ . \qquad (13)

Для мгновенного движения шарика маленький участок полусферы можно считать прямым участком движущейся наклонной плоскости, составляющей такой же угол $\gamma$ с горизонтом. А это значит, что можно воспользоваться формулами (7) и (8) из предыдущего пункта задачи для наклонной плоскости, в которые вместо угла $\alpha$ подставить угол $\gamma = \frac{\pi}{2} - \varphi$ .

Следовательно, модуль мгновенной скорости шарика $u_3$ будет равен

u_3(\varphi) = 2\upsilon\sin\left(\frac{\gamma}{2}\right) = 2\upsilon\sin\left(\frac{\frac{\pi}{2} - \varphi}{2}\right) = 2\upsilon\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\varphi}{2}\right), \qquad (14)

или

u_3(x) = 2\upsilon\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2R}\right), \qquad (15)

или

u_3(t) = 2\upsilon\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\upsilon t}{2R}\right). \qquad (16)

Скорость $\vec{u}_3$ в данный момент будет направлена под углом к горизонту

\delta = \frac{\pi}{2} - \frac{\frac{\pi}{2} - \varphi}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2R} = \frac{\pi}{4} + \frac{\upsilon t}{2R}\ . \qquad (17)

В частности, в момент начала движения $(\varphi = 0)$ угол $\delta = \frac{\pi}{4}$ , при этом шарик находится у практически вертикальной стенки полусферы, т.е. как в первом пункте задачи (с параллелепипедом). И там, действительно, угол был 45 градусов.

В данном пункте (это несложно обосновать), траекторией движения шарика будет участок $AB$ циклоиды (Рис. 4), т.е. кривой, которую описывает в пространстве точка на ободе кольца, катящегося без проскальзывания по горизонтальной поверхности.

Циклоида: два катящихся круга на горизонтальной прямой; красная кривая — траектория точки обода от A до вершины B, далее штриховое продолжение арки. — Рис. 4

Существенными параметрами циклоиды являются высота арки циклоиды $(h = 2R)$ и расстояние $(S = 2\pi R)$ между точками касания поверхности качения.

Оригинал в Архива: 3_etap_2024_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2024_theoretical_solutions.pdf