Съдържание

Условие Отговори Решение

BelPhO 2024, Областен етап, 9–11 клас — Задача 3. Задание 9-3. Конечная бесконечность

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2024

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (III этап). Теоретический тур

9 класс. Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Третий этап республиканской олимпиады по учебному предмету «Физика», 2023-2024 учебный год

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (III этап)

Теоретический тур

9 класс.

Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Полный комплект состоит из трех заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
Каждое задание включает условие задания и Листы ответов. Для решения задач используйте рабочие листы. Часть из них используйте в качестве черновиков. После окончания работы черновые листы перечеркните.

В чистовых рабочих листах приведите решения задач (рисунки, исходные уравнения, математические преобразования, графики, окончательные результаты). Жюри будет проверять чистовые рабочие листы. Кроме того, каждое задание включает Листы ответов. В соответствующие графы Листов ответов занесите окончательные требуемые ответы. Для построения графиков, которые требуется по условию задачи, в Листах ответов подготовлены соответствующие бланки. Графики стройте на этих бланках. Дублировать их в рабочих листах не требуется.

При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы вы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, инженерный калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий с Листами ответов (6 стр.).

9 класс. Теоретический тур. Вариант 1.

10 класс. Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (III этап)

Теоретический тур

10 класс.

Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Полный комплект состоит из трех заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
Каждое задание включает условие задания и Листы ответов. Для решения задач используйте рабочие листы. Часть из них используйте в качестве черновиков. После окончания работы черновые листы перечеркните.

При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, инженерный калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий с Листами ответов (10 стр.).

10 класс. Теоретический тур. Вариант 2.

11 класс. Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (III этап)

Теоретический тур

11 класс.

Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Полный комплект состоит из трех заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
Каждое задание включает условие задания и Листы ответов. Для решения задач используйте рабочие листы. Часть из них используйте в качестве черновиков. После окончания работы черновые листы перечеркните.

При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, инженерный калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий с Листами ответов (8 стр.).

11 класс. Теоретический тур. Вариант I.

Решения задач. 9 класс (для жюри)

Республиканская физическая олимпиада 2024 год (III этап)

Теоретический тур

Решения задач 9 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты их решений, конечно же, не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы физически обоснованы и приводят к правильным ответам, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами.

Каждое задание сопровождается Листами ответов, в которые участники олимпиады должны занести окончательные результаты.

Если окончательный результат не занесен в Лист ответов, но содержится в основном решении, то этот результат также необходимо оценивать.

Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших талантливых школьников!

Теоретический тур. Вариант 1. 9 класс. Решения задач. Бланк для жюри.

Решения задач. 10 класс (для жюри)

Республиканская физическая олимпиада 2024 год (III этап)

Теоретический тур

Решения задач 10 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами.

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших талантливых школьников!

Теоретический тур. Вариант 2. 10 класс. Решения задач. Бланк для жюри.

Решения задач. 11 класс (для жюри)

Республиканская физическая олимпиада 2024 год (III этап)

Теоретический тур

Решения задач 11 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших талантливых школьников!

Теоретический тур. Вариант 1. 11 класс. Решения задач. Бланк для жюри.

Условие

1.1 «Шаг за шагом …» Рассмотрим линейную электрическую цепь из резисторов $R$ и $2R$ , составленную из одинаковых повторяющихся звеньев (Рис. 1). Интересно, что сопротивление $R_{\infty}^{*}$ такой цепи будет конечным даже при бесконечном числе звеньев $(n \to \infty)$ .

Бесконечная лестничная цепь: в верхней ветви последовательно резисторы R, между ветвями поперечные резисторы 2R; справа знак ∞ и многоточие, слева две входные клеммы. — Рис. 1

Пусть $R_n$ – сопротивление конечной линейной цепи при $n$ $(n = 1,2,3,\dots,\infty)$ звеньях. Назовем относительной погрешностью оценки $R_{\infty}^{*}$ величину $\varepsilon_n = \frac{R_n - R_{n+1}}{R_n}$ , выраженную в процентах.

Найдите сопротивления одного звена $R_1$ данной цепи, её двух звеньев $R_2$ , а также относительную погрешность $\varepsilon_1$ оценки $R_{\infty}^{*}$ . Далее проделайте такую же процедуру с $R_2$ и $R_3$ , найдите $\varepsilon_2$ . Продолжайте данную процедуру шаг за шагом до тех пор, пока относительная погрешность $\varepsilon_n$ оценки $R_{\infty}^{*}$ не станет меньше одного процента $(\varepsilon_n \lt 1{,}0\ \%)$ . При каком значении $n$ это произошло? Чему равно $R_n$ ?

1.2 «Линейная бесконечность» Найдите точное значение сопротивления $R_{\infty}^{*}$ всей бесконечной линейной цепочки (Рис. 1).

1.3 «Плоская бесконечность» Из резисторов $R$ и $2R$ на плоскости собрана бесконечная электрическая цепь $AZ$ (Рис. 2), некоторые части которой стерты (затонированы). Известно, что данная цепь обладает следующим свойством: сопротивление $R_{AB}$ первого звена цепи равно сопротивлению $R_{AC}$ её двух первых звеньев, которое, в свою очередь, равно сопротивлению $R_{AD}$ первых трех звеньев цепи и т.д. (до бесконечности). Восстановите стертые (затонированные) участки цепи на рисунке. Найдите сопротивление $R_{\infty}^{**} = R_{AZ}$ восстановленной вами бесконечной плоской цепи.

Плоская бесконечная цепь AZ, большая часть которой закрыта серым пятном; видны узлы A, B, C, D, Z вдоль верхнего провода, фрагменты проводов слева, знаки ∞ и многоточия слева и справа. — Рис. 2

Отговори

Решение

1.1 «Шаг за шагом …» Для реализации первого шага предложенного алгоритма найдем сопротивления одного звена $R_1$ (Рис. 01, а)) и двух звеньев $R_2$ (Рис. 01, б))

R_1 = R + 2R = 3R\ , \qquad (1)

R_2 = R + \frac{2R\cdot R_1}{2R + R_1} = R + \frac{2R\cdot 3R}{2R + 3R} = \left(1 + \frac{6}{5}\right)R = \frac{11}{5}R = 2\frac{1}{5}R\ . \qquad (2)

Тогда для первого шага $(n = 1)$ в рамках предложенной схемы оценки $R_{\infty}^{*}$ относительная погрешность равна

Две схемы: а) одно звено — резистор R последовательно и 2R поперек, подпись R₁ = 3R; б) два звена — R, 2R, R, 2R, подпись R₂ = 11/5 R. — Рис. 01

\varepsilon_1 = \frac{R_1 - R_2}{R_1} = \frac{3 - \frac{11}{5}}{3} = \frac{4}{15} = 27\ \%\ . \qquad (3)

Поскольку $\varepsilon_1$ существенно больше одного процента $\varepsilon_1 \gg 1\ \%$ , то продолжим процедуру далее.

Цепь из трех звеньев R–2R, подпись R₃ = 43/21 R. — Рис. 02

Для второго шага $(n = 2)$ вычислим сопротивление трех звеньев цепи (Рис. 02) с учетом того, что сопротивление двух звеньев $R_2$ мы уже знаем

R_3 = R + \frac{2R\cdot R_2}{2R + R_2} = R + \frac{2R\cdot\frac{11R}{5}}{2R + \frac{11R}{5}} = \left(1 + \frac{22}{21}\right)R = \frac{43}{21}R = 2\frac{1}{21}R\ , \qquad (4)

Следовательно

\varepsilon_2 = \frac{R_2 - R_3}{R_2} = \frac{\frac{11}{5} - \frac{43}{21}}{\frac{11}{5}} = \frac{16}{231} = 6{,}9\ \%\ . \qquad (5)

Хотя тенденция и наметилась, но продолжаем процедуру далее, поскольку $\varepsilon_2 \gt 1\ \%$ .

Для третьего $(n = 3)$ шага вычислим сопротивление $R_4$ четырех звеньев цепи с учетом (4) (Рис. 03) и правил вычисления батарей резисторов

Цепь из четырех звеньев R–2R, подпись R₄ = 171/85 R. — Рис. 03

R_4 = R + \frac{2R\cdot R_3}{2R + R_3} = R + \frac{2R\cdot\frac{43}{21}R}{2R + \frac{43}{21}R} = \left(1 + \frac{86}{85}\right)R = \frac{171}{85}R = 2\frac{1}{85}R\ . \qquad (6)

Тогда

\varepsilon_3 = \frac{R_3 - R_4}{R_3} = \frac{\frac{43}{21} - \frac{171}{85}}{\frac{43}{21}} = \frac{64}{3655} = 1{,}8\ \%\ , \qquad (7)

т.е. осталось совсем немного, поскольку погрешность оценки близка к одному проценту.

На четвертом шаге $(n = 4)$ нам потребуется также вычислить $R_5$ (с учетом (6))

R_5 = R + \frac{2R\cdot R_4}{2R + R_4} = R + \frac{2R\cdot\frac{171}{85}R}{2R + \frac{171}{85}R} = \left(1 + \frac{342}{341}\right)R = \frac{683}{341}R = 2\frac{1}{341}R\ . \qquad (8)

Соответственно, для $\varepsilon_4$ получим

\varepsilon_4 = \frac{R_4 - R_5}{R_4} = \frac{\frac{171}{85} - \frac{683}{341}}{\frac{171}{85}} = \frac{256}{58311} = 0{,}44\ \%\ . \qquad (9)

Это победа! Таким образом, уже на четвертом шаге $(n = 4)$ мы получили оценку $R_{\infty}^{*}$ с неплохой точностью (менее одного процента!)

R_{\infty}^{*} \approx R_n = R_4 = \frac{171}{85}R = 2\frac{1}{85}R = 2{,}012\ R\ . \qquad (10)

Интересно, что на следующем (пятом) шаге (от школьников не требуется!) погрешность составит совсем малую величину (сотые доли процента!)

\varepsilon_5 = \frac{R_5 - R_6}{R_5} = \frac{\frac{683}{341} - \frac{2730}{1364}}{\frac{683}{341}} = \frac{1}{1366} = 0{,}073\ \%\ ,

так что результат $R_5 = \frac{683}{341} = 2\frac{1}{341}R = 2{,}00293R$ уже предельно близок к точному значению $R_{\infty}^{*}$ .

Анализируя полученные результаты $R_n$ , делаем «осторожное предположение», что все они монотонно стремятся к значению $R_{\infty}^{*} = 2R$ , поскольку по мере роста $n$ целая часть дроби перестала меняться, а дробная часть продолжала уменьшаться. ☺

а) Бесконечная лестничная цепь R–2R с многоточием, первое звено отсечено штриховой линией AB; б) эквивалентная схема: звено R и 2R, справа от линии AB сопротивление R∞; слева подпись R∞. — Рис. 04

1.2 «Линейная бесконечность» Для прямого расчета $R_{\infty}^{*} = R_{\infty}$ используется метод «отбрасывания одного звена» или, как шутят олимпиадники, «метод песчинки». (Если от кучи песка отнять песчинку, то все равно останется куча. Если от бесконечности отнять единицу, то останется бесконечность. ☺)

Отсечем от схемы первое звено по линии $AB$ (Рис. 04, а)). Электрическая цепь правее линии $AB$ по-прежнему содержит бесконечное число повторяющихся звеньев («принцип песчинки»), т.е. её сопротивление будет равно $R_{\infty}$ . Следовательно, схему можно перечертить так, как показано на Рис. 04, б). Тогда по правилам расчета электрических сопротивлений получаем

R_{\infty} = R + \frac{2R\cdot R_{\infty}}{2R + R_{\infty}}\ . \qquad (11)

Из (11) после преобразований получаем квадратное уравнение относительно $R_{\infty}$

R_{\infty}^2 - R_{\infty}R - 2R^2 = 0\ , \qquad (12)

решения которого имеют вид

\begin{aligned} R_{\infty 1} &= \frac{R + \sqrt{9R^2}}{2} = 2R \\ R_{\infty 2} &= \frac{R - \sqrt{9R^2}}{2} = -R \end{aligned}\ . \qquad (13)

Второй (отрицательный) корень отбрасываем, поскольку он не имеет физического смысла – сопротивление по определению положительно. Таким образом, сопротивление данной бесконечной цепочки действительно конечно и равно

R_{\infty}^{*} = 2R. \qquad (14)

Если вдуматься, то ничего удивительного здесь нет, поскольку последовательное соединение большого числа резисторов увеличивает сопротивление цепи (до бесконечности), а параллельное – уменьшает (до нуля). Вот и получилась у них «боевая ничья». ☺

1.3 «Плоская бесконечность» При параллельном соединении двух одинаковых резисторов их общее сопротивление уменьшается в два раза, а при последовательном – увеличивается в такое же количество раз.

Восстановленная плоская бесконечная цепь AZ: вдоль верхнего провода узлы A, B, C, D, …, Z с резисторами R между B, C, D; от узла A к каждому следующему узлу идут параллельные ветви с резисторами 2R (первая — от A к B); знаки ∞ и многоточия. — Рис. 05

Удачно комбинируя такие соединения, можно собрать схему с указанными в условии свойствами, т.е. получить «постоянное» сопротивление плоской бесконечной цепи при добавлении следующего звена.

Один из возможных вариантов представлен на Рис. 05.

Понятно, что сопротивление такой бесконечной цепи на плоскости просто равно сопротивлению ее первого звена

R_{\infty}^{**} = R_{AZ} = R_{AB} = R. \qquad (15)

Оригинал в Архива: 3_etap_2024_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2024_theoretical_solutions.pdf