Съдържание

Условие Отговори Решение

BelPhO 2024, Областен етап, 9–11 клас — Задача 4. Задание 10-1. Лихо закручено

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2024

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (III этап). Теоретический тур

9 класс. Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Третий этап республиканской олимпиады по учебному предмету «Физика», 2023-2024 учебный год

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (III этап)

Теоретический тур

9 класс.

Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Полный комплект состоит из трех заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
Каждое задание включает условие задания и Листы ответов. Для решения задач используйте рабочие листы. Часть из них используйте в качестве черновиков. После окончания работы черновые листы перечеркните.

В чистовых рабочих листах приведите решения задач (рисунки, исходные уравнения, математические преобразования, графики, окончательные результаты). Жюри будет проверять чистовые рабочие листы. Кроме того, каждое задание включает Листы ответов. В соответствующие графы Листов ответов занесите окончательные требуемые ответы. Для построения графиков, которые требуется по условию задачи, в Листах ответов подготовлены соответствующие бланки. Графики стройте на этих бланках. Дублировать их в рабочих листах не требуется.

При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы вы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, инженерный калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий с Листами ответов (6 стр.).

9 класс. Теоретический тур. Вариант 1.

10 класс. Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (III этап)

Теоретический тур

10 класс.

Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Полный комплект состоит из трех заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
Каждое задание включает условие задания и Листы ответов. Для решения задач используйте рабочие листы. Часть из них используйте в качестве черновиков. После окончания работы черновые листы перечеркните.

При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, инженерный калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий с Листами ответов (10 стр.).

10 класс. Теоретический тур. Вариант 2.

11 класс. Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (III этап)

Теоретический тур

11 класс.

Внимание! Прочтите это в первую очередь!

Полный комплект состоит из трех заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
Каждое задание включает условие задания и Листы ответов. Для решения задач используйте рабочие листы. Часть из них используйте в качестве черновиков. После окончания работы черновые листы перечеркните.

При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, инженерный калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий с Листами ответов (8 стр.).

11 класс. Теоретический тур. Вариант I.

Решения задач. 9 класс (для жюри)

Республиканская физическая олимпиада 2024 год (III этап)

Теоретический тур

Решения задач 9 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты их решений, конечно же, не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы физически обоснованы и приводят к правильным ответам, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами.

Каждое задание сопровождается Листами ответов, в которые участники олимпиады должны занести окончательные результаты.

Если окончательный результат не занесен в Лист ответов, но содержится в основном решении, то этот результат также необходимо оценивать.

Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших талантливых школьников!

Теоретический тур. Вариант 1. 9 класс. Решения задач. Бланк для жюри.

Решения задач. 10 класс (для жюри)

Республиканская физическая олимпиада 2024 год (III этап)

Теоретический тур

Решения задач 10 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами.

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших талантливых школьников!

Теоретический тур. Вариант 2. 10 класс. Решения задач. Бланк для жюри.

Решения задач. 11 класс (для жюри)

Республиканская физическая олимпиада 2024 год (III этап)

Теоретический тур

Решения задач 11 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших талантливых школьников!

Теоретический тур. Вариант 1. 11 класс. Решения задач. Бланк для жюри.

Условие

Справочные данные и параметры рассматриваемых систем: трением и сопротивлением воздуха в данном задании пренебречь, ускорение свободного падения $g = 9{,}81\ \text{м/с}^2$ .

1.1 «Два шарика на нити» Два небольших шарика массами $m_1$ и $m_2$ , связанные легкой нитью длиной $l$ , вращаются с угловой скоростью $\omega$ в горизонтальной плоскости (Рис. 1). Найдите силы натяжения нитей $T_1$ и $T_2$ , действующие на каждый из шариков, соответственно. Трением и сопротивлением воздуха пренебречь.

Два шарика m₁ и m₂ на концах нити длиной l, вращающиеся с угловой скоростью ω (круговые стрелки у концов); вектор g направлен вниз. — Рис. 1

1.2 «Три шарика на нити» Усложним задачу и добавим к середине нити длиной $l$ третий небольшой шарик массой $m_3$ (Рис. 2). При вращении такой системы на горизонтальной плоскости оказалось, что модуль силы натяжения легкой нити у первого шарика равен $T_1$ , а у второго, соответственно, $T_2$ . Найдите массу $m_3$ третьего шарика и угловую скорость $\omega$ вращения системы, считая массы шариков $m_1$ и $m_2$ известными.

Нить с шариками m₁ и m₂ на концах и шариком m₃ посередине; отрезки l/2 и l/2, угловая скорость ω, вектор g вниз. — Рис. 2

1.3 «Космическое вращение» Космическая станция состоит из двух отсеков массами $m_1$ и $m_2$ , соединенных длинным однородным тросом длины $l$ . Станция вращается вокруг оси, перпендикулярной тросу, при этом модуль силы натяжения троса вблизи одного отсека равен $T$ , а вблизи другого $T + \Delta T$ $(\Delta T \ll T)$ . Найдите массу соединительного троса $m_{\text{т}}$ и угловую скорость $\omega_{\text{кс}}$ вращения космической станции.

Космическая станция: отсеки m₁ (малый цилиндр) и m₂ (большой цилиндр), соединенные тросом массой mт и длиной l; вращение с угловой скоростью ωкс. — Рис. 3

Отговори

Решение

1.1 «Два шарика на нити» Вращение шариков (материальных точек) на легкой нити по плоскости будет происходить вокруг их центра масс – точки $O$ (Рис. 01). При этом сама точка $O$ будет оставаться неподвижной относительно гладкой горизонтальной плоскости, т.к. нет горизонтальных сил, способных «сдвинуть» систему с места (силы натяжения нитей $\vec{T}_1$ и $\vec{T}_2$ внутренние, их сумма равна нулю).

Шарики m₁ и m₂ на нити, центр масс O делит нить на отрезки l₁ и l₂; силы T₁ и T₂ направлены к O; через O проходит штриховая вертикальная ось вращения с угловой скоростью ω. — Рис. 01

Таким образом, траектории шариков будут представлять собой горизонтальные окружности радиусами $l_1$ и $l_2$ с центром в точке $O$ . Радиусы траекторий шариков найдем из традиционной системы уравнений для центра масс двух материальных точек (см. Рис. 01)

\begin{cases} l_1 + l_2 = l \\ m_1 l_1 = m_2 l_2 \end{cases}. \qquad (1)

Из (1) находим искомые расстояния до центра масс (оси вращения системы)

\begin{cases} l_1 = \frac{m_2}{m_1 + m_2}l \\ l_2 = \frac{m_1}{m_1 + m_2}l \end{cases}. \qquad (2)

Поскольку трения в системе нет, то угловая скорость вращения шариков вокруг точки $O$ будет по инерции оставаться постоянной $\omega = const$ .

Из второго закона Ньютона с учетом (2) для движения первого шарика в горизонтальной плоскости найдем

m_1\omega^2 l_1 = T_1 \quad \Longrightarrow \quad T_1 = m_1\omega^2\frac{m_2}{m_1 + m_2}l = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\omega^2 l\ . \qquad (3)

Аналогично для второго шарика

m_2\omega^2 l_2 = T_2 \quad \Longrightarrow \quad T_2 = m_2\omega^2\frac{m_1}{m_1 + m_2}l = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\omega^2 l\ . \qquad (4)

Как следует из (3) и (4), силы натяжения нитей в такой системе (нить легкая) одинаковы и равны

T_1 = T_2 = T = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\omega^2 l = \mu\omega^2 l\ , \qquad (5)

где $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ – т.н. «приведенная масса», вспомогательная величина с размерностью массы, часто возникающая при описании системы двух тел. Так из (5) следует, что сила натяжения, действующая на каждый из шариков, равна силе натяжения $T$ при движении тела с приведенной массой $\mu$ на нити длиной $l$ с той же угловой скоростью $\omega$ .

Три шарика m₁, m₃, m₂ на нити, центр масс O; расстояния l − x от m₁ до O и x от O до m₂; силы T₁ и T₂, ось вращения через O с угловой скоростью ω, вектор g вниз. — Рис. 02

1.2 «Три шарика на нити» При добавлении третьего шарика на середину нити физика процесса не изменится – центр масс $O$ трех шариков (Рис. 02) по-прежнему будет неподвижным при вращении системы на горизонтальной плоскости. Соответственно, через точку $O$ будет проходить вертикальная ось вращения всей системы с постоянной угловой скоростью $\omega$ .

Однако теперь модули $T_1$ и $T_2$ сил натяжения легких нитей, связывающих грузы, будут различными, поскольку шарик $m_3$ имеет массу, и для его ускоренного движения нужна ненулевая разность сил.

Пусть расстояние от шарика с массой $m_2$ до центра масс $O$ равно $x$ (Рис. 02). Второй закон Ньютона для движения каждого из шариков в горизонтальной плоскости примет вид

m_2\omega^2 x = T_2\ , \qquad (6)

m_1\omega^2(l - x) = T_1\ , \qquad (7)

m_3\omega^2\left(\frac{l}{2} - x\right) = T_2 - T_1\ . \qquad (8)

Разделив (6) на (7), придем к равенству

\frac{m_2 x}{m_1(l - x)} = \frac{T_2}{T_1}\ , \qquad (9)

из которого найдем

x = \frac{m_1 T_2}{m_1 T_2 + m_2 T_1}l\ . \qquad (10)

Подставляя (10) в (6), найдем угловую скорость вращения шариков

\omega = \sqrt{\frac{m_1 T_2 + m_2 T_1}{m_1 m_2 l}}\ , \qquad (11)

а подставляя (10) в (8), найдем массу $m_3$ третьего шарика

m_3 = \frac{2m_1 m_2(T_2 - T_1)}{m_2 T_1 - m_1 T_2}\ . \qquad (12)

1.3 «Космическое вращение» Для решения этого пункта достаточно догадаться, что роль третьего шарика массой $m_3$ здесь играет трос, центр масс которого находится на половине длины $\frac{l}{2}$ , т.е. в той же точке где находился третий шарик (это важно!).

Следовательно, можно просто аккуратно воспользоваться формулами (11) и (12) с учетом условия малости $(\Delta T \ll T)$ разности сил натяжения концов троса (вдоль самого троса эта сила меняется, но уравнения записываются для движения центра масс тела!).

Будем считать, что второй отсек массивнее первого $(m_2 \gt m_1)$ , тогда понятно, что $T_2 = T + \Delta T$ , а $T_1 = T$ .

Соответственно, масса троса, соединяющего отсеки космической станции, будет равна

m_{\text{т}} = \frac{2m_1 m_2(T_2 - T_1)}{m_2 T_1 - m_1 T_2} = \frac{2m_1 m_2\Delta T}{(m_2 - m_1)T + m_2\Delta T} = \{\Delta T \ll T\} \approx \frac{2m_1 m_2\Delta T}{(m_2 - m_1)T}\ , \qquad (13)

а угловая скорость вращения станции

\omega_{\text{кс}} = \sqrt{\frac{m_1 T_2 + m_2 T_1}{m_1 m_2 l}} = \sqrt{\frac{(m_1 + m_2)T + m_1\Delta T}{m_1 m_2 l}} = \{\Delta T \ll T\} \approx \sqrt{\frac{(m_1 + m_2)T}{m_1 m_2 l}} = \sqrt{\frac{T}{\mu l}}\ , \qquad (14)

где $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ – приведенная масса отсеков станции (без массы троса!).

Обратите внимание, что результат (14) напрямую следует из (5), поскольку масса троса гораздо меньше массы каждого из отсеков по отдельности.

Оригинал в Архива: 3_etap_2024_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2024_theoretical_solutions.pdf