Съдържание

Условие Часть 1. Поле в слое Часть 2. Заряды и токи Часть 3. Спасает ли модель масса электрона?Листы ответов Решение

BelPhO 2024, Заключителен етап — Задача 11-2. 11 кл. Задание 2. Магнитное динамо

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2024

Республиканская физическая олимпиада 2024 года. Заключительный этап. Теоретический тур. 9, 10, 11 классы. Вариант 1. · 50 т.

Внимание: Бележка към темата

Сохранены печатные ошибки исходного комплекта: числовые и буквенные расхождения условий, решений и схем оценивания; некоторые повторные номера формул; заполненные образцы оценок в двух безымянных столбцах схем 11 класса. Схемы оценивания добавляют 14 страниц к 90 страницам основного комплекта. Архивный перечень из пяти задач не охватывает все классы и отдельные задачи разминок; сохранены все 12 печатных целых задач и 84 вопроса в рамках.

9 класс. Инструкции

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур 9 класс.

Внимание! Прочтите в первую очередь.

Полный комплект состоит из 3 заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
На отдельном листе приведены формулы приближенных вычислений, используйте их при решении задач, там, где это необходимо.
Решения задач выполняйте на отдельных чистых рабочих листах. Самостоятельно разделите их на черновики и чистовые листы. Рекомендуем сначала решать в черновике, а затем красиво оформить решение на чистовых листах. Решение каждого задания начинайте с нового чистового листа. В решении приведите рисунки (в некоторых задания рисунки необходимы, даже в том случае, когда это не оговорено в условии), исходные уравнения с кратким обоснованием, решения уравнений (комментарии к математическим выкладкам не требуются), окончательные результаты. Окончательные решения обязательно занесите в листы ответов. Чистовые листы пронумеруйте. Черновые листы после окончания работы перечеркните. Черновики проверяться не будут!

4.Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. 5. Все ваши работы сканируются, поэтому пишите только на одной стороне листа. Подписывать рабочие листы и листы ответов запрещается. 6. В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор. 7. После окончания работы сложите листы в следующем порядке: листы ответов; пронумерованные чистовые листы; перечеркнутые черновики. 8. Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады. Пакет содержит:

титульный лист (1 стр.);
лист математических подсказок (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий (8 стр.);
листы ответов (8 стр.);

9 класс. Формулы приближенных вычислений

Формулы приближенных вычислений.

При решении задач Вам могут понадобиться следующие приближенные формулы

$(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x$

формула справедлива при любых (целых. дробных, положительных, отрицательных) значениях степени $\gamma$ .

$\sin x\approx x$ , $\cos x\approx1-\frac{x^2}{2}$

аргументы тригонометрических функций должны быть заданы в радианах.

$e^x\approx1+x$ .

Комментарии.

Во всех формулах величина $x$ безразмерная и значительно меньше 1: $x\ll1$
Для использования этих формул, прежде всего необходимо привести вашу формулу к стандартному виду, которые даны здесь.
В ходе приближенных преобразований соблюдайте правило соблюдения порядка малости: если вы отбрасываете малые величины порядка $x^2$ и выше – отбрасывайте их сразу в промежуточных выкладках; если вы сохраняете величины определенного порядка, то сохраняйте их во всех преобразованиях

9 класс. Уважаемые члены жюри!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур

Решения задач 9 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами. Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

10 класс. Инструкции

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур 10 класс.

Внимание! Прочтите в первую очередь.

Полный комплект состоит из 3 заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
На отдельном листе приведены формулы приближенных вычислений, используйте их при решении задач, там, где это необходимо.
Решения задач выполняйте на отдельных чистых рабочих листах. Самостоятельно разделите их на черновики и чистовые листы. Рекомендуем сначала решать в черновике, а затем красиво оформить решение на чистовых листах. Решение каждого задания начинайте с нового чистового листа. В решении приведите рисунки (в некоторых задания рисунки необходимы, даже в том случае, когда это не оговорено в условии), исходные уравнения с кратким обоснованием, решения уравнений (комментарии к математическим выкладкам не требуются), окончательные результаты. Окончательные решения обязательно занесите в листы ответов. Чистовые листы пронумеруйте. Черновые листы после окончания работы перечеркните. Черновики проверяться не будут!

титульный лист (1 стр.);
лист математических подсказок (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий (7 стр.);
листы ответов (4 стр.);

10 класс. Формулы приближенных вычислений

Формулы приближенных вычислений.

При решении задач Вам могут понадобиться следующие приближенные формулы

$(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x$

формула справедлива при любых (целых. дробных, положительных, отрицательных) значениях степени $\gamma$ .

$\sin x\approx x$ , $\cos x\approx1-\frac{x^2}{2}$

аргументы тригонометрических функций должны быть заданы в радианах.

$e^x\approx1+x$ .

Комментарии.

Во всех формулах величина $x$ безразмерная и значительно меньше 1: $x\ll1$
Для использования этих формул, прежде всего необходимо привести вашу формулу к стандартному виду, которые даны здесь.
В ходе приближенных преобразований соблюдайте правило соблюдения порядка малости: если вы отбрасываете малые величины порядка $x^2$ и выше – отбрасывайте их сразу в промежуточных выкладках; если вы сохраняете величины определенного порядка, то сохраняйте их во всех преобразованиях

10 класс. Уважаемые члены жюри!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур

Решения задач 10 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

11 класс. Инструкции

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур

11 класс.

Внимание! Прочтите в первую очередь.

Полный комплект состоит из 3 заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
На отдельном листе приведены формулы приближенных вычислений, используйте их при решении задач, там, где это необходимо.
Решения задач выполняйте на отдельных чистых рабочих листах. Самостоятельно разделите их на черновики и чистовые листы. Рекомендуем сначала решать в черновике, а затем красиво оформить решение на чистовых листах. Решение каждого задания начинайте с нового чистового листа. В решении приведите рисунки (в некоторых задания рисунки необходимы, даже в том случае, когда это не оговорено в условии), исходные уравнения с кратким обоснованием, решения уравнений (комментарии к математическим выкладкам не требуются), окончательные результаты. Окончательные решения обязательно занесите в листы ответов. Чистовые листы пронумеруйте. Черновые листы после окончания работы перечеркните. Черновики проверяться не будут!

титульный лист (1 стр.);
лист математических подсказок (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий (7 стр.);
листы ответов (5 стр.);

11 класс. Формулы приближенных вычислений

Формулы приближенных вычислений.

При решении задач Вам могут понадобиться следующие приближенные формулы

$(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x$

формула справедлива при любых (целых. дробных, положительных, отрицательных) значениях степени $\gamma$ .

$\sin x\approx x$ , $\cos x\approx1-\frac{x^2}{2}$

аргументы тригонометрических функций должны быть заданы в радианах.

$e^x\approx1+x$ .

Комментарии.

Во всех формулах величина $x$ безразмерная и значительно меньше 1: $x\ll1$
Для использования этих формул, прежде всего необходимо привести вашу формулу к стандартному виду, которые даны здесь.
В ходе приближенных преобразований соблюдайте правило соблюдения порядка малости: если вы отбрасываете малые величины порядка $x^2$ и выше – отбрасывайте их сразу в промежуточных выкладках; если вы сохраняете величины определенного порядка, то сохраняйте их во всех преобразованиях

11 класс. Уважаемые члены жюри!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур

Решения задач 11 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Условие

Теория возникновения и существования магнитного поля Земли до настоящего времени окончательно не разработана. В данном задании вам предстоит проанализировать примитивную модель, на первый взгляд, позволяющую описать возникновение магнитного поля, благодаря эффекту магнитного динамо.

Не вызывает сомнений, что магнитное поле Земли существует благодаря, во-первых, наличию в ядре Земли хорошо проводящего слоя расплавленного железа, во-вторых, вращению Земли вокруг своей оси.

Рассмотрим следующую модель: тонкий цилиндрический слой проводящего вещества вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью $\omega$ . Обозначим внутренний радиус этого слоя $R$ , а его толщину $h$ , причем $h\ll R$ , удельное электрическое сопротивление этого слоя равно $\rho$ , диэлектрическими и магнитными свойствами слоя пренебрегаем $\varepsilon=\mu=1$ . Этот слой находится в непроводящей среде.

Вращающийся заряженный цилиндрический слой

Основная идея генерации магнитного поля следующая. Пусть на внутренней поверхности слоя случайно возник электрический заряд, поверхностная плотность которого равна $+\sigma$ , тогда на внешней поверхности появится равный по модулю электрический заряд с поверхностной плотностью $-\sigma$ . При вращении слоя эти заряды создают магнитное поле, которое воздействует на электроны в проводящем слое, что может приводить к возникновению электрического тока между внутренней и внешней поверхностью рассматриваемого поля, что, в свою очередь, может приводить к увеличению плотности зарядов и как, следствие, к усилению самого магнитного поля.

Подсказки

Если на боковой поверхности цилиндра находится равномерно распределенный заряд с поверхностной плотностью $\sigma$ , то эти заряды создают радиальное электрическое поле у поверхности цилиндра, напряженность которого равна

E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}.\qquad (1)

Внутри цилиндра электрическое поле отсутствует. В данном задании можно считать, что модуль напряженности электрического поля в рассматриваемом тонком слое постоянен и определяется формулой (1)

Если по обмотке цилиндрического соленоида протекает электрический ток силы $I$ , то этот ток внутри цилиндра создает однородное магнитное поле, направленное вдоль оси цилиндра, модуль которого равен

B=\mu_0nI,\qquad (2)

где $n$ - плотность намотки (число витков на единицу длины). Вне соленоида магнитное поле отсутствует.

Электрическая постоянная $\varepsilon_0=8{,}85\cdot10^{-12}\,\frac{\text{Ф}}{\text{м}}$ . Магнитная постоянная $\mu_0=1{,}26\cdot10^{-6}\,\frac{\text{Гн}}{\text{м}}$ .

Часть 1. Поле в слое

Для описания рассматриваемого явления введем декартовую систему координат внутри слоя:

Ось $x$ - радиально, перпендикулярно боковым поверхностям слоя;

Ось $y$ - по касательной к внутренней поверхности слоя, перпендикулярно его оси;

Ось $z$ - параллельно оси слоя;

начало координат находится на внутренней поверхности слоя.

1.1 В листе ответов укажите направления векторов: напряженности электрического поля $\vec E$ , индукции магнитного поля $\vec B$ , скорости движения $\vec v$ в точке, находящейся внутри слоя на оси $x$ .

1.2 Выразите модуль индукции магнитного поля внутри слоя $B$ через поверхностную плотность зарядов $\sigma$ , угловую скорость вращения $\omega$ и радиус слоя $R$ .

1.3 В листе ответов укажите направления сил, действующих на электрон внутри слоя: $\vec F_E$ со стороны электрического поля, $\vec F_B$ - со стороны магнитного поля.

1.4 Укажите, чему равны модули сил $\vec F_E$ и $\vec F_B$ .

Часть 2. Заряды и токи

В этой части массой электроном следует пренебречь.

2.1 Получите уравнение, описывающее изменение поверхностной плотности зарядов с течением времени $\frac{\Delta\sigma}{\Delta t}$ , включающее только характеристики проводящего слоя и физические постоянные.

2.2 Определите «критическую» скорость движения слоя $V^*=\omega^*R$ , при превышении которой магнитное поле внутри слоя может возрастать с течением времени. Рассчитайте ее численное значение.

Будем считать, что радиус слоя равен $R=3{,}5\cdot10^6\,\text{м}$ (что равно радиусу ядра Земли), удельное электрическое сопротивление слоя $\rho=1{,}4\cdot10^{-6}\,\text{Ом}\cdot\text{м}$ (сопротивление расплавленного железа).

2.3 Рассчитайте длительность суток на Земле, если скорость движения рассматриваемого слоя достигнет критической величины $V^*$ .

2.4 Пусть поверхностная плотность зарядов на поверхностях слоя в некоторый момент равна $\sigma_0$ . Оцените характерное время исчезновения этих зарядов, если угловая скорость вращения слоя равна угловой скорости вращения Земли.

Часть 3. Спасает ли модель масса электрона?

В этой части вам необходимо модифицировать рассматриваемую модель с учетом массы электрона $m_e=9{,}1\cdot10^{-31}\,\text{кг}$ (заряд электрона $e=1{,}6\cdot10\cdot10^{-19}\,\text{Кл}$ ). Считайте, что рассматриваемый слой вращается с угловой скоростью равной угловой скорости вращения Земли.

3.1 Покажите, что при учете массы электрона, возможно существования стационарных зарядов на поверхностях слоя. Получите формулу для поверхностной плотности этих зарядов.

3.2 Рассчитайте индукцию магнитного поля внутри слоя в этом случае. Сравните полученное значение со средним значением индукции магнитного поля на поверхности земли $B_0\approx40\,\text{мкТл}$ .

3.3 Сделайте вывод: описывает ли рассмотренная модель механизм возникновения магнитного поля Земли?

Листы ответов

Оригинальный лист ответов: 11 кл. Задание 2. Магнитное динамо

Решение

Задание 2. Магнитное динамо (Решение).

Часть 1. Поле в слое

1.1 Направления требуемых векторов указаны на рисунке.

Вектор $\vec E$ - вдоль оси $x$ ;

Вектор $\vec B$ - в сторону, противоположную оси $z$ ;

Вектор $\vec v$ - вдоль оси $y$ .

Направления электрического и магнитного полей и скорости

1.2 Формулу для индукции магнитного поля можно получить на основании формулы (2) из условия задачи. Заметим, что величина $nI$ имеет смысл силы тока, приходящейся на единицу длины поверхности цилиндра. При вращении равномерно заряженного цилиндра эта величина может быть представлена в виде

nI\Rightarrow\sigma v=\sigma\omega R.\qquad (1)

Поэтому индукция магнитного поля внутри слоя описывается формулой

B=\mu_0\sigma\omega R.\qquad (2)

1.3 Направления векторов сил, действующих на электрон, показаны на рисунке.

Направления электрической и магнитной сил

1.4 Модуль электрической силы равен (по определению вектора напряженности поля)

F_E=eE=e\frac{\sigma}{\varepsilon_0}.\qquad (3)

Со стороны магнитного поля на электрон действует сила Лоренца. Так как векторы скорости и индукции поля перпендикулярны, то модуль этой силы равен

F_B=evB=e(\omega R)\cdot(\mu_0\sigma\omega R)=e\mu_0(\omega R)^2\sigma.\qquad (4)

Часть 2. Заряды и токи.

2.1 Очевидно, что изменение зарядов на поверхностях слоя происходит благодаря электрическому току, который протекает поперек выделенного слоя. Выделим между боковыми поверхностями проводящего слоя тонкий цилиндр, ось которого перпендикулярна этим поверхностям. Обозначим площадь поперечного сечения этого цилиндра $S$ , его длина равна толщине слоя $h$ . Изменение заряда на торце цилиндра равно силе тока $I'$ , протекающего по цилиндру, т.е.

\frac{\Delta(\sigma S)}{\Delta t}=I'.\qquad (5)

Для расчета силы тока можно воспользоваться законом Ома, в котором в качестве напряжения надо взять работу всех сил, действующих на единичный заряд (назовем, эффективное напряжение). В данном случае это «эффективное» напряжение равно

U_{\text{эф}}=\frac{F_M-F_E}{e}h.\qquad (6)

Электрическое сопротивление цилиндра рассчитывается по известной формуле

r=\rho\frac hS.\qquad (7)

Используя выражения для сил (3)-(4), получим

\frac{\Delta(\sigma S)}{\Delta t}=\frac{U_{\text{эф}}}{r}=\frac{F_M-F_E}{e}h\cdot\frac S{\rho h}=\frac{\sigma}{\rho\varepsilon_0}\left(\varepsilon_0\mu_0(\omega R)^2-1\right)S.\qquad (8)

Окончательно, уравнение для изменения плотности зарядов имеет вид:

\frac{\Delta\sigma}{\Delta t}=\frac{\sigma}{\rho\varepsilon_0}\left(\varepsilon_0\mu_0(\omega R)^2-1\right).\qquad (9)

2.2 Плотность зарядов, следовательно, и индукция поля будут возрастать, если скорость изменения, определяемая уравнением (9), будет положительна, т.е. при

\varepsilon_0\mu_0(\omega R)^2-1>0\ \Rightarrow\ V^*=\omega^*R=\frac1{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}.\qquad (10)

Известно, что эта формула определяет скорость света в вакууме, что также можно получить, подставляя численные значения электрической и магнитной постоянных:

V^*=c=\frac1{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}\approx3{,}0\cdot10^8\,\frac{\text{м}}{\text{с}}.\qquad (11)

Заметим, что этот же результат можно получить из формул (3)-(4), если понять, что для возрастания магнитного поля магнитная сила должна стать больше силы электрической.

2.3 Из формулы (10) следует, что угловая скорость вращения Земли должна стать равной

\omega^*R=c\ \Rightarrow\ \omega^*=\frac cR.\qquad (12)

Заметим, что при этом скорость точек на поверхности Земли должна превысить скорость света почти в два раза! Период вращения (т.е. сутки) при этом равен

T=\frac{2\pi}{\omega^*}=\frac{2\pi R}{c}\approx0{,}073\,\text{с}.\qquad (13)

2.4 Оценим численное значение скорости движения выделенного слоя

V=\omega R=\frac{2\pi R}{T}=\frac{2\pi\cdot3{,}5\cdot10^6\,\text{м}}{24\cdot3600\,\text{с}}\approx2{,}5\cdot10^2\,\frac{\text{м}}{\text{с}}.\qquad (14)

Эта величина значительно меньше скорости света. Отношение силы магнитной к силе электрической, действующей на электрон (первое слагаемое в скобках в уравнении (9)) численно равно $\varepsilon_0\mu_0(\omega R)^2=(V/c)^2\approx7{,}2\cdot10^{-13}$ . Поэтому этой величиной можно пренебречь.

Тогда уравнение (9) приобретает совсем простой вид

\frac{\Delta\sigma}{\Delta t}=-\frac{\sigma}{\rho\varepsilon_0}.\qquad (15)

Характерное время исчезновения зарядов можно получить, если разделить начальную плотность заряда на скорость его убывания в начальный момент времени, т.е.

\tau=\frac{\sigma_0}{|\Delta\sigma/\Delta t|_0}=\frac{\sigma_0}{\sigma_0/(\rho\varepsilon_0)}=\rho\varepsilon_0\approx1{,}4\cdot10^{-6}\cdot8{,}8\cdot10^{-12}\approx1{,}2\cdot10^{-17}\,\text{с}.\qquad (16)

Часть 3. Спасает ли модель масса электрона?

3.1 Учет массы электрона приводит к тому, что необходимо принять во внимание его центростремительное ускорение (или центробежную силу в неинерциальной системе отсчета). Как было показано выше, силой Лоренца в данной задаче можно пренебречь, поэтому условие стационарности зарядов может быть сформулировано в виде: электрическая сила обеспечивает электрону необходимое центростремительное ускорение:

m_e\omega^2R=e\frac{\sigma}{\varepsilon_0}.\qquad (17)

Отсюда следует, что стационарное значение плотности заряда равно

\bar\sigma=\frac{m_e}{e}\varepsilon_0\omega^2R.\qquad (18)

3.2 Индукция поля, создаваемого этими зарядами в соответствии с формулой (2), равна

B=\mu_0\bar\sigma\omega R=\frac{m_e}{e}\varepsilon_0\mu_0\frac{(\omega R)^3}{R}\approx\frac{9{,}1\cdot10^{-31}}{1{,}6\cdot10^{-19}}\cdot\frac{(2{,}5\cdot10^2)^3}{(3\cdot10^8)^2\cdot3{,}5\cdot10^6}\approx2{,}8\cdot10^{-28}\,\text{Тл},\qquad (19)

что на 23 порядка меньше магнитного поля Земли.

3.3 Полученные результаты однозначно свидетельствуют, что рассмотренная модель принципиально не может описать возникновение магнитного поля Земли

Схемы оценивания

Задание 2. Магнитное динамо

Два последних столбца исходной таблицы не имеют заголовков; все напечатанные оценки сохранены.

Пункт	Содержание	Всего за часть	Всего за пункт	Баллы
	Часть 1. Поле в слое	15
1.1	Направления векторов		4
	вектор $\vec v$			1	1	1
	вектор $\vec E$			1	1	1
	вектор $\vec B$			2	0	2
1.2	Магнитное поле		4
	плотность тока (1)			2	0	2
	Формула (2)			2	0	0
1.3			2
	Направления сил 1×2			2	0	1
1.4			5
	Модуль электрической силы (3)			2	1	2
	Модуль магнитной силы (4)			3	1	3
	Часть 2. Заряды и токи	25
2.1	Формула для силы тока (5)		10	1
	Формула для «напряжения» (6)			3
	Формула для сопротивления (7)			1	1	1
	Закон Ома			1
	Уравнение (9)			4
2.2	Идея: производная должна быть положительна		5	2	0	0
	Выражение для скорости (10)			1	0	0
	Численное значение (11)			2	0	0
2.3	Результат: формула (13),		3	2	0	0
	численное значение			1
2.4	Приближение (15)		7	2	0	0
	с численным обоснованием			1
	Формулы для оценки времени (16)			3	0	0
	Численное значение			1	0	0
	Часть 3. Спасает ли модель масса электрона?	10
3.1	Учет центробежной силы		5	1	0	0
	Уравнение стационарности (17)			2	0	0
	Плотность заряда (18)			2	0	0
3.2	Индукция магнитного поля		4		0	0
	формула,			1
	численное значение			3
3.3	Отрицательный ответ		1	1	0	0
	За неправильное округление (-1)
	ВСЕГО за задание 2	50			5	13

Оригинальная схема оценивания: 11 кл. Задание 2. Магнитное динамо

Оригинал в Архива: 2024_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2024_theoretical_solutions.pdf · допълнителни данни: 2024_theoretical_shemes.pdf