Съдържание

Условие Часть 1. Математическое введение.Часть 2. Таутохронизм Часть 3. Принцип Ферма Листы ответов Решение

BelPhO 2024, Заключителен етап — Задача 11-3. 11 кл. Задание 3. Таутохронизм и принцип Ферма

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2024

Республиканская физическая олимпиада 2024 года. Заключительный этап. Теоретический тур. 9, 10, 11 классы. Вариант 1. · 70 т.

Внимание: Бележка към темата

Сохранены печатные ошибки исходного комплекта: числовые и буквенные расхождения условий, решений и схем оценивания; некоторые повторные номера формул; заполненные образцы оценок в двух безымянных столбцах схем 11 класса. Схемы оценивания добавляют 14 страниц к 90 страницам основного комплекта. Архивный перечень из пяти задач не охватывает все классы и отдельные задачи разминок; сохранены все 12 печатных целых задач и 84 вопроса в рамках.

9 класс. Инструкции

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур 9 класс.

Внимание! Прочтите в первую очередь.

Полный комплект состоит из 3 заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
На отдельном листе приведены формулы приближенных вычислений, используйте их при решении задач, там, где это необходимо.
Решения задач выполняйте на отдельных чистых рабочих листах. Самостоятельно разделите их на черновики и чистовые листы. Рекомендуем сначала решать в черновике, а затем красиво оформить решение на чистовых листах. Решение каждого задания начинайте с нового чистового листа. В решении приведите рисунки (в некоторых задания рисунки необходимы, даже в том случае, когда это не оговорено в условии), исходные уравнения с кратким обоснованием, решения уравнений (комментарии к математическим выкладкам не требуются), окончательные результаты. Окончательные решения обязательно занесите в листы ответов. Чистовые листы пронумеруйте. Черновые листы после окончания работы перечеркните. Черновики проверяться не будут!

4.Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. 5. Все ваши работы сканируются, поэтому пишите только на одной стороне листа. Подписывать рабочие листы и листы ответов запрещается. 6. В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор. 7. После окончания работы сложите листы в следующем порядке: листы ответов; пронумерованные чистовые листы; перечеркнутые черновики. 8. Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады. Пакет содержит:

титульный лист (1 стр.);
лист математических подсказок (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий (8 стр.);
листы ответов (8 стр.);

9 класс. Формулы приближенных вычислений

Формулы приближенных вычислений.

При решении задач Вам могут понадобиться следующие приближенные формулы

$(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x$

формула справедлива при любых (целых. дробных, положительных, отрицательных) значениях степени $\gamma$ .

$\sin x\approx x$ , $\cos x\approx1-\frac{x^2}{2}$

аргументы тригонометрических функций должны быть заданы в радианах.

$e^x\approx1+x$ .

Комментарии.

Во всех формулах величина $x$ безразмерная и значительно меньше 1: $x\ll1$
Для использования этих формул, прежде всего необходимо привести вашу формулу к стандартному виду, которые даны здесь.
В ходе приближенных преобразований соблюдайте правило соблюдения порядка малости: если вы отбрасываете малые величины порядка $x^2$ и выше – отбрасывайте их сразу в промежуточных выкладках; если вы сохраняете величины определенного порядка, то сохраняйте их во всех преобразованиях

9 класс. Уважаемые члены жюри!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур

Решения задач 9 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами. Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

10 класс. Инструкции

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур 10 класс.

Внимание! Прочтите в первую очередь.

Полный комплект состоит из 3 заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
На отдельном листе приведены формулы приближенных вычислений, используйте их при решении задач, там, где это необходимо.
Решения задач выполняйте на отдельных чистых рабочих листах. Самостоятельно разделите их на черновики и чистовые листы. Рекомендуем сначала решать в черновике, а затем красиво оформить решение на чистовых листах. Решение каждого задания начинайте с нового чистового листа. В решении приведите рисунки (в некоторых задания рисунки необходимы, даже в том случае, когда это не оговорено в условии), исходные уравнения с кратким обоснованием, решения уравнений (комментарии к математическим выкладкам не требуются), окончательные результаты. Окончательные решения обязательно занесите в листы ответов. Чистовые листы пронумеруйте. Черновые листы после окончания работы перечеркните. Черновики проверяться не будут!

титульный лист (1 стр.);
лист математических подсказок (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий (7 стр.);
листы ответов (4 стр.);

10 класс. Формулы приближенных вычислений

Формулы приближенных вычислений.

При решении задач Вам могут понадобиться следующие приближенные формулы

$(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x$

формула справедлива при любых (целых. дробных, положительных, отрицательных) значениях степени $\gamma$ .

$\sin x\approx x$ , $\cos x\approx1-\frac{x^2}{2}$

аргументы тригонометрических функций должны быть заданы в радианах.

$e^x\approx1+x$ .

Комментарии.

Во всех формулах величина $x$ безразмерная и значительно меньше 1: $x\ll1$
Для использования этих формул, прежде всего необходимо привести вашу формулу к стандартному виду, которые даны здесь.
В ходе приближенных преобразований соблюдайте правило соблюдения порядка малости: если вы отбрасываете малые величины порядка $x^2$ и выше – отбрасывайте их сразу в промежуточных выкладках; если вы сохраняете величины определенного порядка, то сохраняйте их во всех преобразованиях

10 класс. Уважаемые члены жюри!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур

Решения задач 10 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

11 класс. Инструкции

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур

11 класс.

Внимание! Прочтите в первую очередь.

Полный комплект состоит из 3 заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
На отдельном листе приведены формулы приближенных вычислений, используйте их при решении задач, там, где это необходимо.
Решения задач выполняйте на отдельных чистых рабочих листах. Самостоятельно разделите их на черновики и чистовые листы. Рекомендуем сначала решать в черновике, а затем красиво оформить решение на чистовых листах. Решение каждого задания начинайте с нового чистового листа. В решении приведите рисунки (в некоторых задания рисунки необходимы, даже в том случае, когда это не оговорено в условии), исходные уравнения с кратким обоснованием, решения уравнений (комментарии к математическим выкладкам не требуются), окончательные результаты. Окончательные решения обязательно занесите в листы ответов. Чистовые листы пронумеруйте. Черновые листы после окончания работы перечеркните. Черновики проверяться не будут!

титульный лист (1 стр.);
лист математических подсказок (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий (7 стр.);
листы ответов (5 стр.);

11 класс. Формулы приближенных вычислений

Формулы приближенных вычислений.

При решении задач Вам могут понадобиться следующие приближенные формулы

$(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x$

формула справедлива при любых (целых. дробных, положительных, отрицательных) значениях степени $\gamma$ .

$\sin x\approx x$ , $\cos x\approx1-\frac{x^2}{2}$

аргументы тригонометрических функций должны быть заданы в радианах.

$e^x\approx1+x$ .

Комментарии.

Во всех формулах величина $x$ безразмерная и значительно меньше 1: $x\ll1$
Для использования этих формул, прежде всего необходимо привести вашу формулу к стандартному виду, которые даны здесь.
В ходе приближенных преобразований соблюдайте правило соблюдения порядка малости: если вы отбрасываете малые величины порядка $x^2$ и выше – отбрасывайте их сразу в промежуточных выкладках; если вы сохраняете величины определенного порядка, то сохраняйте их во всех преобразованиях

11 класс. Уважаемые члены жюри!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур

Решения задач 11 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Условие

Принцип Ферма (принцип наименьшего времени Ферма) — постулат в геометрической оптике, согласно которому свет выбирает из множества путей между двумя точками тот путь, который потребует наименьшего времени.

Этот принцип, сформулированный в I в. Героном Александрийским для отражения света, в общем виде был сформулирован Пьером Ферма в 1662 году в качестве самого общего закона геометрической оптики.

Википедия

Долгое время принцип Ферма считался мистическим: «Где у света такой мозг, который заранее может рассчитать путь кратчайшего времени?»

Конечно, у света мозга нет, но докажите, что он есть у Вас!

В данном задании вам необходимо решить несколько оптических задач с помощью принципа Ферма. Будем считать, что законы отражения и преломления света Вам не известны, но Вы знаете и верите в принцип Ферма. Закон прямолинейного распространения света использовать разрешено.

Внимание! Решения, в которых явно используются законы отражения и преломления света не рассматриваются и не оцениваются!

Во всех задачах, связанных с зеркалами и линзами, используйте параксиальное приближение, т.е. считайте, что рассматриваются лучи идут на малом расстоянии от оптической оси и под малыми углами к этой оси.

Часть 1. Математическое введение.

Чтобы упростить математические выкладки при решении физических задач, используйте следующие математические формулы.

1.1 Докажите, что при $x\ll a$ справедлива приближенная формула

\sqrt{a^2+x^2}\approx a+\frac{x^2}{2a}.\qquad (1)

Небольшую дугу окружности можно приближенно заменить участком параболы. Пусть центр окружности радиуса $R$ лежит на оси $y$ и окружность касается оси $x$ . Тогда, уравнение соприкасающейся с окружностью в начале координат параболы имеет вид

y=\frac{x^2}{2R}.\qquad (2)

На рисунке показана окружность единичного радиуса и соприкасающаяся с ней парабола.

1.2 Докажите формулу (2) для уравнения соприкасающейся параболы.

Даже если Вы не смогли доказать эти формулы, Вы имеете право использовать их в дальнейшем.

Часть 2. Таутохронизм

Таутохронизм означает постоянство времени. Частным случаем принципа Ферма является принцип таутохронизма. Этот принцип утверждает, что для любой оптической системы, формирующей изображение, время прохождения света от точечного источника $A$ до его изображения $A'$ вдоль любого луча одинаково. Иными словами – точка изображение есть точка $A'$ время достижения которой от источника не зависит от траектории луча света.

Задача 2.1 На рисунке показано вогнутой сферическое зеркало радиуса $R$ : $O$ - центр кривизны зеркала, $C$ - его оптический центр; $OC$ - главная оптическая ось зеркала.

2.1 Используя принцип таутохронизма, докажите, что все лучи $A'A$ , параллельные главной оптической оси после отражения от зеркала пересекутся в одной точке $F$ , которая называется фокусом. Найдите фокусное расстояние зеркала $f=|FC|$ .

Задача 2.2 На рисунке показана плосковыпуклая линза. Радиус сферической поверхности линзы равен $R$ , показатель преломления материала линзы равен $n$ . $O$ - центр кривизны выпуклой поверхности; $C$ - оптический центр линзы, $OC$ - главная оптическая ось линзы.

2.2 Используя принцип таутохронизма, докажите, что все лучи $A'A$ , параллельные главной оптической оси после преломления в линзе от пересекутся в одной точке $F$ , которая называется фокусом. Найдите фокусное расстояние линзы $f=|FC|$ .

Задача 2.3 На главной оптической оси вогнутого сферического зеркала радиуса $R$ находится точечный источник света $A$ на расстоянии $a=|AC|$ от оптического центра зеркала. Изображение этого источника находится в точке $B$ на расстоянии $b=|BC|$ от оптического центра.

Изображение точечного источника в вогнутом зеркале

2.3.1 Используя принцип таутохронизма, докажите, что зеркало формирует действительное изображение точечного источника.

2.3.2 Получите «формулу вогнутого зеркала», связывающую расстояния $a$ и $b$ и фокусное расстояние зеркала $f$ .

Задача 2.4 Как известно, изображения могут быть мнимыми.

2.4.1 Модернизируйте принцип таутохронизма так, чтобы с его помощью можно было рассчитывать положения мнимых изображений. (Приведите свою формулировку, доказательство не требуется).

2.4.2 Покажите, «формула выпуклого зеркала», связывающая расстояние от точечного источника до оптического центра зеркала $a=|AC|$ , расстояние от оптического центра до изображения этого источника $b=|CB|$ и фокусное расстояние зеркала, можно зависать в том же виде, что и «формулу вогнутого зеркала», полученную в п. 2.3.2, если переопределить величины, входящие в эту формулу (укажите, эти величины).

2.4.3 Несмотря на то, что уважаемая «Википедия» называет рассматриваемые принцип Ферма постулатом (утверждением, не требующим доказательства), дайте словесное обоснование (не более 50 слов) принципа таутохронизма.

Часть 3. Принцип Ферма

Задача 3.1 Точка $A$ находится в среде с показателем преломления $n_1$ , точка $B$ в среде с показателем преломления $n_2$ . Луч света выходит из точки $A$ и после преломления на плоской границе двух сред проходит через точку $B$ .

3.1 Используя принцип Ферма получите формулу для закона преломления света.

Задача 3.2 Рассмотрим отражение света от внутренней зеркальной поверхности цилиндрической трубки радиуса $R$ в плоскости, перпендикулярной оси трубки (см. рис). Рассмотрим все возможные траектории светового луча $ACB$ . Точки $A,B,C$ находятся на внутренней поверхности цилиндра. Центр сечения – точка $O$ . Положение точки $C$ задается углом $\varphi$ . Угол $\angle AOB$ - прямой.

3.2.1 Найдите зависимость длины траектории $ACB$ от угла $\varphi$ - $L(\varphi)$ . Постройте схематический график этой зависимости для всех возможных значений $\varphi$ .

3.2.2 Укажите, каким значениям угла $\varphi$ соответствуют истинные траектории луча. Укажите эти значения на построенном графике $L(\varphi)$ .

Задача 3.3 Выводы из проделанной работы.

3.3.1 Уточните формулировку принципа Ферма, так, чтобы она описывала все рассмотренные в данном задании случаи движения луча света.

3.3.2 Дайте словесное обоснование принципа Ферма в общем случае (не более 50 слов).

Листы ответов

Оригинальный лист ответов: 11 кл. Задание 3. Таутохронизм и принцип Ферма

Решение

Задание 3. Таутохронизм и принцип Ферма (Решение)

Часть 1. Математическое введение.

1.1 Для доказательства формулы (1) условия задачи необходимо провести элементарные преобразования на приближенной формулой для степенной функции:

\sqrt{a^2+x^2}=a\left(1+\frac{x^2}{a^2}\right)^{1/2}\approx a\left(1+\frac{x^2}{2a^2}\right)=a+\frac{x^2}{2a}.\qquad (1)

1.2 Уравнение окружности, описанной в условии, имеет вид

x^2+(y-R)^2=R^2.\qquad (2)

Из этого уравнения выразим значение $y$ , используя полученную формулу (1):

x^2+(y-R)^2=R^2\ \Rightarrow\ y-R=\pm\sqrt{R^2-x^2}\ \Rightarrow\ y=R-\left(R-\frac{x^2}{2R}\right)=\frac{x^2}{2R}.\qquad (3)

Из очевидных геометрических соображений выбран знак «минус» перед корнем.

Возможны и другие варианты вывода этой формулы. Например, раскрыть скобки в формуле (2), затем пренебречь величиной $y^2$ :

x^2+(y-R)^2=R^2\ \Rightarrow\ x^2+y^2-2yR+R^2=R^2\ \Rightarrow\ y=\frac{x^2}{2R}.\qquad (3а)

Отметим важное обстоятельство, которое будет использоваться в дальнейшем. Если считать малой величиной $x$ , то величина $y$ является малой величиной второго порядка малости. Поэтому, если использовать приближения первого порядка по $y$ , то следует оставлять величины порядка $x^2$ .

Часть 2. Таутохронизм

Задача 2.1

2.1 Точку фокуса можно рассматривать как изображение бесконечно удаленной точки. Согласно принципу таутохронизма для существования изображения необходимо показать, что существует точка $F$ , время движения до которой одинаково для всех лучей. Из симметрии задачи следует, что эта точка находится на главной оптической оси.

Так как в данном случае свет распространяется в однородной среде, то условие постоянства времени движения равносильно условию равенства длин путей. Возьмем произвольный луч $AA'$ параллельный главной оптической оси и проходящий на расстоянии $x=|CD|$ от нее. Так как падающие лучи параллельны, то расстояние от бесконечно удаленной точки до любой плоскости, перпендикулярной лучам (и главной оптической оси) одинаково для всех этих лучей. для простоты в качестве такой плоскости возьмем плоскость $OA'$ , проходящую через центр кривизны зеркала. Тогда условие таутохронизма может быть сформулировано следующим образом: должна существовать такая точка $F$ , для которой расстояние $l=|AA'|+|AF|$ не зависит от величины $x$ . Из рисунка следует, что это расстояние выражается через параметры системы следующим образом

l=(R-y)+\sqrt{x^2+(f-y)^2}=R+f,\qquad (4)

где $y=|AD|$ ; $f=|CF|$ - фокусное расстояние зеркала (если фокус существует). Величина $l=R+f$ расстояние от плоскости $OA'$ до фокуса, для луча, распространяющегося вдоль оптической оси. Теперь, надо найти такую зависимость $y=f(x)$ , чтобы равенство (4) выполнялось при любом $x$ . Проводя элементарные алгебраические преобразования, получим:

\begin{aligned}(R-y)+\sqrt{x^2+(f-y)^2}=R+f&\ \Rightarrow\ \sqrt{x^2+(f-y)^2}=y+f\ \Rightarrow\\x^2+f^2-2yf+y^2=y^2+2yf+f^2&\ \Rightarrow\ 4yf=x^2.\end{aligned}\qquad (5)

Итак, если поверхность зеркала описывается функцией

y=\frac{x^2}{4f},\qquad (6)

то все лучи, параллельные оптической оси, придут в точку $F$ одновременно, поэтому эта точка будет являться фокусом. Иными словами, если зеркало является параболическим, то существует фокус для всех лучей, независимо от расстояния от оптической оси.

Как было показано, в п.1.2, для лучей, идущих на малом расстоянии от оптической оси окружность может заменена параболой, поэтому справедливо и обратное утверждение – парабола может быть заменена дугой окружности. Сравнивая формулу (6) с формулой (3),

y=\frac{x^2}{4f}=\frac{x^2}{2R},\qquad (7)

получаем, что фокусное расстояние вогнутого сферического зеркала равно

f=\frac R2.\qquad (8)

Задача 2.2

2.2 Не повторяя всех рассуждений, проведенных при решении предыдущей задачи, сформулируем условие существования фокуса: время, за которой свет проходит расстояние $|A'A|+|AF|$ , не зависит от расстояния $x$ от луча до главной оптической оси.

Пусть свет проходит расстояние $l$ в однородной среде с показателем преломления $n$ , тогда время этого прохождения равно

t=\frac l{c/n}=\frac{nl}{c},\qquad (9)

где $c/n$ - скорость света в этой среде.

Заметим, что вместо того, чтобы учитывать изменение скорости света (что происходит в действительности), при расчете времени прохождения можно считать, что скорость света остается постоянной (и равной скорости света в вакууме $c$ ) а увеличивается длина пути, которая становится равной $nl$ (в оптике эту величину называют оптической длиной пути).

Таким образом, получаем, что условием существования фокуса является выполнение равенства при любых значениях $x$ :

n(R-y)+\sqrt{x^2+(f+y)^2}=nR+f.\qquad (10)

Преобразуем данное равенство

\begin{aligned}n(R-y)+\sqrt{x^2+(f+y)^2}=nR+f&\ \Rightarrow\ \sqrt{x^2+(f+y)^2}=f+ny\ \Rightarrow\\x^2+f^2+2fy+y^2=f^2+2fny+n^2y^2&\ \Rightarrow\ x^2=2(n-1)fy.\end{aligned}\qquad (11)

Если искривленная поверхность линзы описывается уравнением

y=\frac{x^2}{2(n-1)f},\qquad (12)

то равенство (10) будет выполняться при любом значении $x$ , т.е. точка $F$ является фокусом. Но эта функция описывает в параксиальном приближении «дугу окружности» радиуса $R$ :

y=\frac{x^2}{2R}.\qquad (13)

Следовательно, описанная в условии задачи линза обладает фокусом.

Для определения фокусного расстояния линзы достаточно приравнять выражения (12) и (13), откуда следует, что оно равно

f=\frac R{n-1}.\qquad (14)

Задача 2.3

2.3.1 По аналогии с предыдущими задачами: для существование изображения в точке $B$ необходимо, чтобы расстояние $|AD|+|DB|$ , не зависело от положения точки $D$ на поверхности зеркала и равнялась расстоянию $|Ac|+|CB|$ . Это условие будет выполнено, если равенство

\sqrt{x^2+(a-y)^2}+\sqrt{x^2+(b-y)^2}=a+b.\qquad (15)

выполняется при любых $x$ . Возводить сумму корней в квадрат – неблагодарная задача, поэтому используем приближенные формулы для преобразования равенства (16). Сначала запишем:

\sqrt{x^2+(a-y)^2}+\sqrt{x^2+(b-y)^2}\approx\sqrt{x^2+a^2-2ay}+\sqrt{x^2+b^2-2by}.\qquad (16)

Здесь мы пренебреги слагаемыми $y^2$ , но оставили величины $x^2$ . Ранее мы показали, что для окружности (сферы и соприкасающейся параболы) величина $y$ пропорциональна $x^2$ , поэтому эти величины являются малыми одного порядка. Величина $y^2$ пропорциональна $x^4$ , поэтому ей можно пренебречь. Используя соотношение между этими малыми величинами, продолжим алгебраические преобразования, используя формулу (1):

\begin{aligned}\sqrt{x^2+a^2-2ay}+\sqrt{x^2+b^2-2by}&=\sqrt{a^2+(x^2-2ay)}+\sqrt{b^2+(x^2-2by)}\\&\approx a+\frac{x^2-2ay}{2a}+b+\frac{x^2-2by}{2a}.\end{aligned}\qquad (17)

Подставим это выражение в равенство (15):

a+\frac{x^2-2ay}{2a}+b+\frac{x^2-2by}{2b}=a+b.\qquad (18)

Откуда следует, что равенство (15) будет выполняться, при следующей зависимости $y(x)$ :

y=\frac{x^2}{4a}+\frac{x^2}{4b}=\left(\frac1a+\frac1b\right)\frac{x^2}{4}.\qquad (19)

В очередной раз получено уравнение параболы, которая может рассматриваться, как параболу, соприкасающуюся с окружностью. В очередной раз, сравнивая выражение (19) с «параболическим уравнением» окружности $y=x^2/(2R)$ , получаем, что существует такое значение $b$ , при котором равенство (15) выполняется для всех лучей, исходящих из точки $A$ . Т.е. изображение этой точки существует.

2.3.2 Из равенства (19) и уравнения «окружности» следует искомая формула зеркала

\frac1a+\frac1b=\frac2R=\frac1f.\qquad (20)

Здесь использовано полученное ранее значение фокусного расстояния $f=R/2$ .

Задача 2.4

2.4.1 Абсолютно очевидно, что в рассматриваемом случае лучи, вышедшие из точки $A$ и отраженные от зеркала не будут вообще пересекаться. Но могут пересечься в одной точке продолжения отраженных лучей. Предположим, что для продолжений лучей расстояния надо считать отрицательными (?!)

2.4.2 В рамках этого предположение условие существования мнимого изображения формулируется следующим образом: величина $|AD|-|DB|$ одинакова для всех лучей, отраженных от зеркала, и равна $|AC|-|CB|=a-b$ . Формально это условие записывается в виде равенства, аналогичного (15):

\sqrt{x^2+(a+y)^2}-\sqrt{x^2+(b-y)^2}=a-b.\qquad (20)

Аналогичные алгебраические выкладки, преобразую это равенство к следующему виду:

\begin{aligned}\sqrt{x^2+(a+y)^2}-\sqrt{x^2+(b-y)^2}&\approx\sqrt{x^2+a^2-2ay}-\sqrt{x^2+b^2-2by}\\&\approx\left(a+\frac{x^2+2ay}{2a}\right)-\left(b+\frac{x^2-2by}{2b}\right)=a-b\ \Rightarrow\ \frac{x^2}{2a}-\frac{x^2}{2b}+2y=0.\end{aligned}\qquad (21)

Используя «параболическое уравнение» окружности $y=x^2/(2R)$ , получаем:

\frac1a-\frac1b=-\frac2R.\qquad (22)

Эта формула совпадает с «формулой вогнутого зеркала», если:

а) считать расстояние до мнимого изображения отрицательным;

б) фокусное расстояние также отрицательно $F=-R/2$ .

2.4.3 Геометрическая оптика является приближением волновой оптики. Поэтому принцип таутохронизма можно обосновать следующим образом:

Каждому лучу можно поставить в соответствие некоторую волну.
Если все эти волны проходят от источника до изображения за одно и тоже время, то фазы этих волн одинаковы;
В результате интерференции в точке изображения реализуется максимум интенсивности.

Часть 3. Принцип Ферма

Задача 3.1

3.1 Пусть луч идет от точки $A$ к точке $B$ (см. рис.), преломляясь на границе раздела сред в некоторой точке $C$ . Положение этой точки задается расстоянием $x$ от точки $D$ . Расстояние $DE$ обозначим $l$ , тогда расстояние $CE$ равно $(l-x)$ . Время движения света по пути $ACB$ равно

Траектория для принципа Ферма при преломлении

\tau(x)=\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{c/n_1}+\frac{\sqrt{b^2+(l-x)^2}}{c/n_2}=\frac{n_1\sqrt{a^2+x^2}+n_2\sqrt{b^2+(l-x)^2}}c.\qquad (23)

По принципу Ферма при движении по истинной траектории это время минимально. Чтобы найти экстремум функции (23), необходимо вычислить производную и приравнять ее к нулю:

\tau'(x)=\left(n_1\sqrt{a^2+x^2}+n_2\sqrt{b^2+(l-x)^2}\right)'=\frac{2n_1x}{2\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{2n_2(l-x)}{2\sqrt{b^2+(l-x)^2}}=0.\qquad (24)

Но, как следует из рисунка,

\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}=\sin\alpha;\qquad\frac{l-x}{\sqrt{b^2+(l-x)^2}}=\sin\beta.\qquad (25)

Поэтому из формул (24) – (25) следует закон преломления света:

n_1\sin\alpha=n_2\sin\beta.\qquad (26)

Задача 3.2

3.2.1 Для расчета длины траектории воспользуемся простой формулой для длины хорды $l=|AB|$ , которую в общем виде можно записать следующим образом:

l=2R\left|\sin\frac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\right|.\qquad (27)

Четыре траектории отражения внутри цилиндра

Длина траектории луча с одним отражением от внутренней поверхности $ACB$ равна сумме длин двух хорд, поэтому может быть описана формулой

L=2R\left(\sin\frac\varphi2+\left|\sin\left(\frac\varphi2-\frac\pi4\right)\right|\right).\qquad (28)

Перепишем эту формулу для двух интервалов значений угла $\varphi$ .

При $\varphi\le\pi/2$

L=2R\sin\frac\varphi2+2R\sin\frac{\pi/2-\varphi}{2}=4R\sin\frac\pi8\cos\left(\frac\pi8-\frac\varphi2\right).\qquad (29)

При $\varphi\ge\pi/2$

L=2R\sin\frac\varphi2+2R\sin\frac{\varphi-\pi/2}{2}=4R\sin\left(\frac\varphi2-\frac\pi8\right)\cos\left(\frac\pi8\right).\qquad (30)

Схематический график этой зависимости показан на рисунке.

Полный график длины траектории от угла, две ветви, точки, оси и рамка — Длина траектории. угол (градусы)

3.2.2 Истинные траектории луча, удовлетворяющие закону отражения света, реализуются при

\varphi=\begin{cases}\dfrac\pi4,\\\dfrac\pi4+\pi=\dfrac{5\pi}4.\end{cases}\qquad (31)

При этих значениях длины траекторий максимальны.

Задача 3.3 Выводы из проделанной работы.

3.3.1 Принцип Ферма неоходимо уточнить следующим образом:

свет выбирает из множества путей между двумя точками тот путь, который потребует экстремального (минимального или максимального) или стационарного (не зависящего от траектории) времени.

Математически это утверждение можно выразить таким образом. Пусть длина траектории описывается некоторой функцией от параметра $\xi$ , определяющего траекторию, $L(\xi)$ . Тогда истинным траекториям соответствуют значения параметров $\xi^*$ , для которых производная обращается в нуль:

L'(\xi^*)=0.\qquad (32)

3.3.2 Обоснование принципа Ферма следует из волновых свойств света. Вблизи точки экстремума при изменении параметра от стационарного значения $\xi^*$ на малую величину $\Delta\xi$ длина траектории изменяется на величину порядка $(\Delta\xi)^2$ . Поэтому вблизи точки экстремума существует широкий диапазон траекторий, длины которых изменяются на очень малую величину. Волны, распространяющиеся вдоль этих траектория приходят в точку наблюдения с малой разностью фаз, поэтому для них выполняется условие максимума интерференции.

Схемы оценивания

Задание 3. Таутохронизм и принцип Ферма

Два последних столбца исходной таблицы не имеют заголовков. Напечатанные оценки и накопительные числа в столбце «Оценки» сохранены буквально.

Пункт	Содержание	Всего за часть	Всего за пункт	Баллы	Оценки
	Часть 1. Математическое введение.	3
1.1	Разложение (1)		1	1		1	1
1.2	Уравнение окружности		2	1		1	1
	Разложение (3)			1		1	1
	Часть 2. Таутохронизм
	«Традиционные выводы известных формул не оцениваются!
	Задача 2.1	10			13
2.1	Основная идея – постоянство времени			2		2	2
	Рисунок: ход луча;			1		0	2
	- указание геометрических параметров $y$ , $f$			1
	Формула для пути луча (4)			2		2	2
	Разложение (5)			2		0	2
	Функция поверхности (6)			1		0	1
	Формула для фокусного расстояния			1		0	1
	Задача 2.2	10			23
2.2	Рисунок: ход луча;			1		0	2
	- указание геометрических параметров $y$ , $f$			1
	Время движения в среде (9)			1		1	1
	Равенство (10)			2		2	2
	Разложение (11)			2		0	2
	Функция поверхности (12)			1		0	1
	Формула для фокусного расстояния (14)			2		2	2
	Задача 2.3	10			33
2.3.1	Рисунок: ход луча;		9	1		0	9
	- указание геометрических параметров $y$ , $f$			1
	Равенство (15)			2		0
	Разложение (16) - (17)			3		0
	Формула (19)			1		0
	Вывод: есть постоянство времени			1
2.3.2	Формула (20)		1	1
	Задача 2.4	7			40
2.4.1	Предложение считать «расстояния» отрицательными		2	2		2	2
2.4.2	Рисунок: ход луча;		5	1		0	2
	- указание геометрических параметров $y$ , $f$			1
	Равенство (20)			1		0	1
	Разложение (21)			1		0	1
	Формула (22)			1		1	1
2.4.3	Обоснование принципа:		5
	- волновая природа света;			2		1	2
	- интерференция волн;			2		0	2
	- все волны в одной фазе, поэтому максимум!			1		1	1
	Часть 3. Принцип Ферма
	Задача 3.1	10			55
3.1	Рисунок с указанием всех параметров			2		0	2
	Идея: время должно быть минимальным			2		0	2
	Выражение для времени распространения (23)			2		0	2
	Выражение для производной (24)			2		0	2
	Геометрические соотношения (25)			1		1	1
	Закон преломления (26)			1		1	1
	Задача 3.2	10			65
3.2.1	Формула для длины хорды (27)		8	1		1	1
	Формула для длины пути (28)			3		1	3
	Схематический график:					0	0
	- две ветви синусоиды;			1
	- первая ниже второй;			1
	- два максимума с правильным указанием координат			2
3.2.2	Правильные значения точек отражения		2	2		2	2
	Задача 3.3	5
3.3.1	Формулировка: время движение экстремально или стационарно			2		1	2
3.3.2	Обоснование:					0	3
	- вблизи «стационарной» точки время распространения света по близким траекториям почти одинаково;			1
	- различие времен имеет второй порядок малости;			1
	- максимум интерференции			1
	ИТОГО за Задание 3	70				24	65

Оригинальная схема оценивания: 11 кл. Задание 3. Таутохронизм и принцип Ферма

Итоговая ведомость

Код работы___________

	Задание 1	Задание 2	Задание 3	Всего за ТТ
Оценки после проверки
Подпись проверяющего
Изменения после ознакомления
Итоговые баллы
Подпись участника
Подпись члена жюри

Итоговая ведомость 11 класс: все поля и подписи

Оригинал в Архива: 2024_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2024_theoretical_solutions.pdf · допълнителни данни: 2024_theoretical_shemes.pdf