Съдържание

Условие Часть 1. Бросок Часть 2. Дырявый сосуд Листы ответов Решение

BelPhO 2024, Заключителен етап — Задача 9-2. 9 кл. Задание 2. Вытекание

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2024

Республиканская физическая олимпиада 2024 года. Заключительный этап. Теоретический тур. 9, 10, 11 классы. Вариант 1. · 40 т.

Внимание: Бележка към темата

Сохранены печатные ошибки исходного комплекта: числовые и буквенные расхождения условий, решений и схем оценивания; некоторые повторные номера формул; заполненные образцы оценок в двух безымянных столбцах схем 11 класса. Схемы оценивания добавляют 14 страниц к 90 страницам основного комплекта. Архивный перечень из пяти задач не охватывает все классы и отдельные задачи разминок; сохранены все 12 печатных целых задач и 84 вопроса в рамках.

9 класс. Инструкции

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур 9 класс.

Внимание! Прочтите в первую очередь.

Полный комплект состоит из 3 заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
На отдельном листе приведены формулы приближенных вычислений, используйте их при решении задач, там, где это необходимо.
Решения задач выполняйте на отдельных чистых рабочих листах. Самостоятельно разделите их на черновики и чистовые листы. Рекомендуем сначала решать в черновике, а затем красиво оформить решение на чистовых листах. Решение каждого задания начинайте с нового чистового листа. В решении приведите рисунки (в некоторых задания рисунки необходимы, даже в том случае, когда это не оговорено в условии), исходные уравнения с кратким обоснованием, решения уравнений (комментарии к математическим выкладкам не требуются), окончательные результаты. Окончательные решения обязательно занесите в листы ответов. Чистовые листы пронумеруйте. Черновые листы после окончания работы перечеркните. Черновики проверяться не будут!

4.Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. 5. Все ваши работы сканируются, поэтому пишите только на одной стороне листа. Подписывать рабочие листы и листы ответов запрещается. 6. В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор. 7. После окончания работы сложите листы в следующем порядке: листы ответов; пронумерованные чистовые листы; перечеркнутые черновики. 8. Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады. Пакет содержит:

титульный лист (1 стр.);
лист математических подсказок (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий (8 стр.);
листы ответов (8 стр.);

9 класс. Формулы приближенных вычислений

Формулы приближенных вычислений.

При решении задач Вам могут понадобиться следующие приближенные формулы

$(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x$

формула справедлива при любых (целых. дробных, положительных, отрицательных) значениях степени $\gamma$ .

$\sin x\approx x$ , $\cos x\approx1-\frac{x^2}{2}$

аргументы тригонометрических функций должны быть заданы в радианах.

$e^x\approx1+x$ .

Комментарии.

Во всех формулах величина $x$ безразмерная и значительно меньше 1: $x\ll1$
Для использования этих формул, прежде всего необходимо привести вашу формулу к стандартному виду, которые даны здесь.
В ходе приближенных преобразований соблюдайте правило соблюдения порядка малости: если вы отбрасываете малые величины порядка $x^2$ и выше – отбрасывайте их сразу в промежуточных выкладках; если вы сохраняете величины определенного порядка, то сохраняйте их во всех преобразованиях

9 класс. Уважаемые члены жюри!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур

Решения задач 9 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами. Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

10 класс. Инструкции

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур 10 класс.

Внимание! Прочтите в первую очередь.

Полный комплект состоит из 3 заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
На отдельном листе приведены формулы приближенных вычислений, используйте их при решении задач, там, где это необходимо.
Решения задач выполняйте на отдельных чистых рабочих листах. Самостоятельно разделите их на черновики и чистовые листы. Рекомендуем сначала решать в черновике, а затем красиво оформить решение на чистовых листах. Решение каждого задания начинайте с нового чистового листа. В решении приведите рисунки (в некоторых задания рисунки необходимы, даже в том случае, когда это не оговорено в условии), исходные уравнения с кратким обоснованием, решения уравнений (комментарии к математическим выкладкам не требуются), окончательные результаты. Окончательные решения обязательно занесите в листы ответов. Чистовые листы пронумеруйте. Черновые листы после окончания работы перечеркните. Черновики проверяться не будут!

титульный лист (1 стр.);
лист математических подсказок (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий (7 стр.);
листы ответов (4 стр.);

10 класс. Формулы приближенных вычислений

Формулы приближенных вычислений.

При решении задач Вам могут понадобиться следующие приближенные формулы

$(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x$

формула справедлива при любых (целых. дробных, положительных, отрицательных) значениях степени $\gamma$ .

$\sin x\approx x$ , $\cos x\approx1-\frac{x^2}{2}$

аргументы тригонометрических функций должны быть заданы в радианах.

$e^x\approx1+x$ .

Комментарии.

Во всех формулах величина $x$ безразмерная и значительно меньше 1: $x\ll1$
Для использования этих формул, прежде всего необходимо привести вашу формулу к стандартному виду, которые даны здесь.
В ходе приближенных преобразований соблюдайте правило соблюдения порядка малости: если вы отбрасываете малые величины порядка $x^2$ и выше – отбрасывайте их сразу в промежуточных выкладках; если вы сохраняете величины определенного порядка, то сохраняйте их во всех преобразованиях

10 класс. Уважаемые члены жюри!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур

Решения задач 10 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

11 класс. Инструкции

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур

11 класс.

Внимание! Прочтите в первую очередь.

Полный комплект состоит из 3 заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
На отдельном листе приведены формулы приближенных вычислений, используйте их при решении задач, там, где это необходимо.
Решения задач выполняйте на отдельных чистых рабочих листах. Самостоятельно разделите их на черновики и чистовые листы. Рекомендуем сначала решать в черновике, а затем красиво оформить решение на чистовых листах. Решение каждого задания начинайте с нового чистового листа. В решении приведите рисунки (в некоторых задания рисунки необходимы, даже в том случае, когда это не оговорено в условии), исходные уравнения с кратким обоснованием, решения уравнений (комментарии к математическим выкладкам не требуются), окончательные результаты. Окончательные решения обязательно занесите в листы ответов. Чистовые листы пронумеруйте. Черновые листы после окончания работы перечеркните. Черновики проверяться не будут!

титульный лист (1 стр.);
лист математических подсказок (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий (7 стр.);
листы ответов (5 стр.);

11 класс. Формулы приближенных вычислений

Формулы приближенных вычислений.

При решении задач Вам могут понадобиться следующие приближенные формулы

$(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x$

формула справедлива при любых (целых. дробных, положительных, отрицательных) значениях степени $\gamma$ .

$\sin x\approx x$ , $\cos x\approx1-\frac{x^2}{2}$

аргументы тригонометрических функций должны быть заданы в радианах.

$e^x\approx1+x$ .

Комментарии.

Во всех формулах величина $x$ безразмерная и значительно меньше 1: $x\ll1$
Для использования этих формул, прежде всего необходимо привести вашу формулу к стандартному виду, которые даны здесь.
В ходе приближенных преобразований соблюдайте правило соблюдения порядка малости: если вы отбрасываете малые величины порядка $x^2$ и выше – отбрасывайте их сразу в промежуточных выкладках; если вы сохраняете величины определенного порядка, то сохраняйте их во всех преобразованиях

11 класс. Уважаемые члены жюри!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур

Решения задач 11 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Условие

Часть 1. Бросок

В данной части вам необходимо описать движение тела, брошенного вертикально вверх, в не совсем обычной системе координат. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Небольшой шарик брошен вертикально вверх с начальной скоростью $v_0$ . Обозначим максимальную высоту подъема шарика $h_0$ . Введем ось координат $z$ , направленную вертикально вниз, начало отсчета которой совпадает с максимальной высотой подъема. Далее под скоростью $v_z$ и ускорением $a_z$ подразумеваются проекции скорости и ускорения шарика на ось $z$ .

Шарик, вертикальная ось z и начальная высота

1.1 Выразите максимальную высоту подъема шарика $h_0$ через начальную скорость $v_0$ и ускорение свободного падения $g$ .

1.2 Чему равны проекции ускорения и начальной скорости шарика на ось $z$ - $a_z$ , $v_{0z}$ ?

1.3 Найдите зависимость скорости шарика $v_z$ от координаты $z$ - $v_z(z)$ .

1.4 Найдите зависимость координаты шарика $z$ от времени $z(t)$ . В качестве параметров этой функции используйте только начальную скорость $v_0$ и ускорение свободного падения $g$ .

1.5 Постройте схематический график зависимости $z(t)$ . Укажите характерные точки этого графика.

Обозначим $\tau_{0,5}$ («время полуподъема») - время, за которое шарик поднимается на высоту $h_0/2$ , равную половине максимальной высоты. Это время $\tau_{0,5}$ может быть выражено через максимальную высоту подъема $h_0$ и ускорение свободного падения следующим образом:

\tau_{0,5}=Ch_0^\alpha g^\beta,\qquad(1)

где $C$ - некоторый безразмерный численный коэффициент, $\alpha$ , $\beta$ - постоянные показатель степеней.

1.6 Найдите значения показателей степеней $\alpha$ , $\beta$ в формуле (1).

1.7 Рассчитайте численное значение коэффициента $C$ в формуле (1).

Часть 2. Дырявый сосуд

В данной части задачи вам необходимо описать процесс вытекания жидкости из сосуда, в стенке которого имеется небольшое отверстие.

В боковой стенке вертикального цилиндрического сосуда с диаметром поперечного сечения $D$ проделали малое круглое отверстие диаметра $d$ вблизи дна сосуда. Обозначим отношение этих диаметров $\eta=\dfrac dD\ll1$ .

В сосуд наливают воду. Уровень воды $z$ в сосуде отсчитывается от середины отверстия. Ось $z$ направлена вертикально вверх. Считайте, что диаметр отверстия значительно меньше высоты уровня воды в сосуде $d\ll z$ . Обозначим скорость вытекания воды из отверстия $\vec v_1$ , скорость опускания уровня воды $\vec V$ . Вязкостью воды следует пренебречь, в этом приближении сохраняется механическая энергия воды, т.е. тепловых потерь нет.

2.1 Найдите зависимость скорости вытекания воды из отверстия $v_1$ от высоты уровня воды в сосуде $v_1(z)$ .

2.2 Найдите зависимость проекции на ось $z$ скорости опускания $V_z$ от высоты уровня $z$ . В качестве параметров этой функции используйте только ускорение свободного падения $g$ и отношение диаметров $\eta$ .

2.3 Чему равно ускорение, с которым опускается уровень воды в сосуде $a_z$ ?

2.4 Найдите зависимость высоты уровня воды в сосуде от времени $z(t)$ . При $t=0$ высота уровня воды в сосуде равна $h_0$ . В качестве параметров функции используйте величины $g$ , $h_0$ , $\eta$ .

2.5 Найдите через, какое время $\tau_{0,5}$ уровень воды в сосуде уменьшится в два раза.

2.6 Рассчитайте численное значение времени «полувытекания» $\tau_{0,5}$ , если $h_0=20\,\text{см}$ , $\eta=\dfrac1{20}$ , $g=10\,\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}$ .

Листы ответов

Оригинальный лист ответов: 9 кл. Задание 2. Вытекание

Решение

Задание 2. Вытекание (решение).

Часть 1. Бросок

Полный исходный рисунок шарика с исходным наложением двух изображений

Шарик движется равноускоренно с ускорением свободного падения $\vec g$ , направленным вертикально вниз. Если высота подъема шарика равна $h$ , то введенная координата шарика равна

z=h_0-h.\qquad (1)

1.1 Максимальную высоту подъема проще всего выразить из закона сохранения энергии

\frac{mv_0^2}2=mgh_0.\qquad (2)

Из этой формулы получаем:

h_0=\frac{v_0^2}{2g}.\qquad (3)

1.2 Проекции ускорения и начальной скорости на введенную ось $z$ равны

a_z=+g,\qquad v_{0z}=-v_0.\qquad (4)

1.3 Зависимость скорости шарика от его координаты легко выразить из закона сохранения энергии

\frac{mv_0^2}2=mgh_0=\frac{mv^2}2+mgh.\qquad (5)

Из которого следует (с учетом знака проекции), что

v_z(z)=-\sqrt{2g(h_0-h)}=-\sqrt{2gz}.\qquad (6)

1.4 Из формулы (5) выразим

mgh_0=\frac{mv^2}2+mgh\ \Rightarrow\ h=h_0-\frac{v^2}{2g}.\qquad (7)

Так как движение шарика является равноускоренным, то зависимость скорости от времени описывается функцией

v=v_0-gt.\qquad (8)

Поэтому зависимость координаты $z(t)$ имеет вид

z(t)=h_0-h=\frac{v^2}{2g}=\frac{(v_0-gt)^2}{2g}.\qquad (9)

Примечание. Все формулы этой части могут быть получены чисто «кинематически», используя законы равноускоренного движения. При таком подходе проще всего использовать известную формулу

\Delta x=\frac{v^2-v_0^2}{2a}.

1.5 График функции (9) показан на рисунке

График высоты шарика, все подписи и рамка

Кривая является параболой.

На графике обозначено

$h_0=\frac{v_0^2}{2g}$ - начальная и конечная координата шарика;

$\tau=\frac{v_0}g$ - время подъема шарика.

1.6 Значения показателей степеней могут легко быть найдены, используя метод размерностей

\alpha=\frac12,\quad\beta=-\frac12.\qquad (10)

То есть формула для искомого времени имеет вид

\tau_{0,5}=C\sqrt{\frac{h_0}g}.\qquad (11)

1.7 Для расчета значения коэффициента $C$ подставим выражение (11) для времени и формулу $v_0=\sqrt{2gh_0}$ для начальной скорости в уравнение (9):

z=\frac{(v_0-gt)^2}{2g}\ \Rightarrow\ 2g\frac{h_0}2=\left(\sqrt{2gh_0}-gC\sqrt{\frac{h_0}g}\right)^2\ \Rightarrow\ 1=(\sqrt2-C)^2.\qquad (12)

Из этого уравнения находим два возможных значения коэффициента $C$ :

C_{1,2}=\sqrt2\pm1.\qquad (13)

Два корня имеют физический смысл: шарик находится на половине высоты дважды – при подъеме и при спуске. По смыслу задачи необходимо выбрать меньший корень, поэтому

C=\sqrt2-1.\qquad (14)

Примечание. Результаты могут быть получены и с помощью непосредственного решения уравнения (9) без перехода к безразмерным параметрам.

Часть 2. Дырявый сосуд

2.1 Рассмотрим процесс вытекания за малый промежуток времени $\Delta t$ . Пусть за это время уровень воды в сосуде изменился от $z$ до $z-\Delta z$ . Поэтому потенциальная энергия воды в сосуде уменьшилась на величину

\Delta U=\Delta mgz\qquad (15)

где $\Delta m$ - масса воды, вытекшей из сосуда за рассматриваемый промежуток времени. Такая же масса воды протекла через отверстие, унося кинетическую энергию

\Delta E_k=\frac{\Delta m v_1^2}2.\qquad (16)

Так как площадь поперечного сечения сосуда значительно больше диаметра отверстия, то кинетической энергией воды, находящейся в сосуде, можно пренебречь. На основании закона сохранения механической энергии можно записать

\frac{\Delta mv_1^2}2=\Delta mgz.\qquad (17)

Откуда следует, что скорость вытекания воды из отверстия равна

v_1=\sqrt{2gz}.\qquad (18)

2.2 Изменение объема воды в сосуде равно объему вытекшей воды, поэтому

SV\Delta t=s_1v_1\Delta t,\qquad (19)

где $S,s_1$ площади поперечного сечения сосуда и отверстия, соответственно.

Из формулы (19) следует, что

V=\frac{s_1}S v_1.\qquad (20)

Учитывая, что отношение площадей равно квадрату отношения диаметров, используя формулу (18) получим зависимость скорости опускания от высоты

V(z)=\left(\frac dD\right)^2v_1=\eta^2\sqrt{2gz}.\qquad (21)

С учетом направления оси $z$ , запишем искомую зависимость проекции этой скорости от высоты

V_z(z)=-\sqrt{2(\eta^4g)z}.\qquad (21)

2.3 Функция (21) полностью аналогична зависимости (6), полученной для равноускоренного движения шарика в поле тяжести земли, если заменить величину $g$ на модифицированное значение $\eta^4g$ . Кроме того, для этих зависимостей одинаковы начальные условия (при $t=0$ $z=h_0$ ), поэтому законы движения также полностью аналогичны! Следовательно, далее можно использовать все формулы, полученные для движения шарика (не забывая в них изменить значение ускорения).

Так ускорение уровня воды равно

a_z=+\eta^4g.\qquad (22)

2.4 С помощью найденной аналогии на основании формулы (9) запишем закон движение границы

z(t)=\frac{(V_0-\eta^4gt)^2}{2\eta^4g}.\qquad (23)

Начальная скорость движения определяется формулой (21), поэтому закон движения уровня воды имеет вид

z(t)=\frac{\left(\sqrt{2\eta^4gh_0}-\eta^4gt\right)^2}{2\eta^4g}.\qquad (23)

2.5 Время «полувытекания» найдем с помощью формулы (11) и найденным значением коэффициента (14)

\tau_{0,5}=(\sqrt2-1)\sqrt{\frac{h_0}{\eta^4g}}.\qquad (24)

2.6 подстановка численных значений приводит к результату

\tau_{0,5}=(\sqrt2-1)\sqrt{\frac{h_0}{\eta^4g}}=(\sqrt2-1)\cdot20^2\sqrt{\frac{0{,}20}{10}}\approx23\,\text{с}.\qquad (25)

Схемы оценивания

Задание 2. Вытекание

Пункт	Содержание	Всего за часть	Всего за пункт	Баллы
	Часть 1. Бросок	20
1.1	Формула (3)		2	2
1.2	Проекции ускорения и начальной скорости (1+1)		2	2
1.3	Формула для $v_z(z)$ (6)		4	3
	Указан знак минус			1
1.4	Закон равноускоренного движения		4	1
	Формула (9)			3
1.5	График зависимости $z(t)$ :		4
	-парабола ветви вверх;			1
	- максимальные значения $h_0$ ;			1
	- вершина параболы - $\tau$ ;			1
	- максимальное время $2\tau$ .			1
1.6	Показатели степеней $\alpha$ и $\beta$ (1+1)		2	2
1.7	Значение $C$ (решение квадратного уравнения)		2	1
	выбран меньший корень			1
	Часть 2. Дырявый сосуд	20
2.1	Использование закона сохранения энергии		6	2
	Изменение потенциальной энергии			1
	Кинетическая энергия струи			1
	формула (18)			2
2.2	Уравнение равенства объемов (19)		5	2
	Отношение площадей через отношение диаметров			1
	Формула (21)			1
	указание знака			1
2.3	Использование аналогии с движением шарика		5	2
	формула для ускорения			2
	правильный знак			1
2.4	Формула (23)		1	1
	Подстановка выражения для начальной скорости			1
2.5	Формула для времени (24)		1	1
2.6	Численное значение времени		2	2
	(за не правильное округление -1)
	ВСЕГО за задание	40

Оригинал в Архива: 2024_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2024_theoretical_solutions.pdf · допълнителни данни: 2024_theoretical_shemes.pdf