Съдържание

Условие Часть 1. Спящие коты Часть 2. «Живая» модель Листы ответов Решение

BelPhO 2024, Заключителен етап — Задача 9-3. 9 кл. Задание 3. Теплокровный сферический кот.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2024

Республиканская физическая олимпиада 2024 года. Заключительный этап. Теоретический тур. 9, 10, 11 классы. Вариант 1. · 60 т.

Внимание: Бележка към темата

Сохранены печатные ошибки исходного комплекта: числовые и буквенные расхождения условий, решений и схем оценивания; некоторые повторные номера формул; заполненные образцы оценок в двух безымянных столбцах схем 11 класса. Схемы оценивания добавляют 14 страниц к 90 страницам основного комплекта. Архивный перечень из пяти задач не охватывает все классы и отдельные задачи разминок; сохранены все 12 печатных целых задач и 84 вопроса в рамках.

9 класс. Инструкции

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур 9 класс.

Внимание! Прочтите в первую очередь.

Полный комплект состоит из 3 заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
На отдельном листе приведены формулы приближенных вычислений, используйте их при решении задач, там, где это необходимо.
Решения задач выполняйте на отдельных чистых рабочих листах. Самостоятельно разделите их на черновики и чистовые листы. Рекомендуем сначала решать в черновике, а затем красиво оформить решение на чистовых листах. Решение каждого задания начинайте с нового чистового листа. В решении приведите рисунки (в некоторых задания рисунки необходимы, даже в том случае, когда это не оговорено в условии), исходные уравнения с кратким обоснованием, решения уравнений (комментарии к математическим выкладкам не требуются), окончательные результаты. Окончательные решения обязательно занесите в листы ответов. Чистовые листы пронумеруйте. Черновые листы после окончания работы перечеркните. Черновики проверяться не будут!

4.Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. 5. Все ваши работы сканируются, поэтому пишите только на одной стороне листа. Подписывать рабочие листы и листы ответов запрещается. 6. В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор. 7. После окончания работы сложите листы в следующем порядке: листы ответов; пронумерованные чистовые листы; перечеркнутые черновики. 8. Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады. Пакет содержит:

титульный лист (1 стр.);
лист математических подсказок (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий (8 стр.);
листы ответов (8 стр.);

9 класс. Формулы приближенных вычислений

Формулы приближенных вычислений.

При решении задач Вам могут понадобиться следующие приближенные формулы

$(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x$

формула справедлива при любых (целых. дробных, положительных, отрицательных) значениях степени $\gamma$ .

$\sin x\approx x$ , $\cos x\approx1-\frac{x^2}{2}$

аргументы тригонометрических функций должны быть заданы в радианах.

$e^x\approx1+x$ .

Комментарии.

Во всех формулах величина $x$ безразмерная и значительно меньше 1: $x\ll1$
Для использования этих формул, прежде всего необходимо привести вашу формулу к стандартному виду, которые даны здесь.
В ходе приближенных преобразований соблюдайте правило соблюдения порядка малости: если вы отбрасываете малые величины порядка $x^2$ и выше – отбрасывайте их сразу в промежуточных выкладках; если вы сохраняете величины определенного порядка, то сохраняйте их во всех преобразованиях

9 класс. Уважаемые члены жюри!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур

Решения задач 9 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами. Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

10 класс. Инструкции

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур 10 класс.

Внимание! Прочтите в первую очередь.

Полный комплект состоит из 3 заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
На отдельном листе приведены формулы приближенных вычислений, используйте их при решении задач, там, где это необходимо.
Решения задач выполняйте на отдельных чистых рабочих листах. Самостоятельно разделите их на черновики и чистовые листы. Рекомендуем сначала решать в черновике, а затем красиво оформить решение на чистовых листах. Решение каждого задания начинайте с нового чистового листа. В решении приведите рисунки (в некоторых задания рисунки необходимы, даже в том случае, когда это не оговорено в условии), исходные уравнения с кратким обоснованием, решения уравнений (комментарии к математическим выкладкам не требуются), окончательные результаты. Окончательные решения обязательно занесите в листы ответов. Чистовые листы пронумеруйте. Черновые листы после окончания работы перечеркните. Черновики проверяться не будут!

титульный лист (1 стр.);
лист математических подсказок (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий (7 стр.);
листы ответов (4 стр.);

10 класс. Формулы приближенных вычислений

Формулы приближенных вычислений.

При решении задач Вам могут понадобиться следующие приближенные формулы

$(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x$

формула справедлива при любых (целых. дробных, положительных, отрицательных) значениях степени $\gamma$ .

$\sin x\approx x$ , $\cos x\approx1-\frac{x^2}{2}$

аргументы тригонометрических функций должны быть заданы в радианах.

$e^x\approx1+x$ .

Комментарии.

Во всех формулах величина $x$ безразмерная и значительно меньше 1: $x\ll1$
Для использования этих формул, прежде всего необходимо привести вашу формулу к стандартному виду, которые даны здесь.
В ходе приближенных преобразований соблюдайте правило соблюдения порядка малости: если вы отбрасываете малые величины порядка $x^2$ и выше – отбрасывайте их сразу в промежуточных выкладках; если вы сохраняете величины определенного порядка, то сохраняйте их во всех преобразованиях

10 класс. Уважаемые члены жюри!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур

Решения задач 10 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

11 класс. Инструкции

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур

11 класс.

Внимание! Прочтите в первую очередь.

Полный комплект состоит из 3 заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
На отдельном листе приведены формулы приближенных вычислений, используйте их при решении задач, там, где это необходимо.
Решения задач выполняйте на отдельных чистых рабочих листах. Самостоятельно разделите их на черновики и чистовые листы. Рекомендуем сначала решать в черновике, а затем красиво оформить решение на чистовых листах. Решение каждого задания начинайте с нового чистового листа. В решении приведите рисунки (в некоторых задания рисунки необходимы, даже в том случае, когда это не оговорено в условии), исходные уравнения с кратким обоснованием, решения уравнений (комментарии к математическим выкладкам не требуются), окончательные результаты. Окончательные решения обязательно занесите в листы ответов. Чистовые листы пронумеруйте. Черновые листы после окончания работы перечеркните. Черновики проверяться не будут!

титульный лист (1 стр.);
лист математических подсказок (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий (7 стр.);
листы ответов (5 стр.);

11 класс. Формулы приближенных вычислений

Формулы приближенных вычислений.

При решении задач Вам могут понадобиться следующие приближенные формулы

$(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x$

формула справедлива при любых (целых. дробных, положительных, отрицательных) значениях степени $\gamma$ .

$\sin x\approx x$ , $\cos x\approx1-\frac{x^2}{2}$

аргументы тригонометрических функций должны быть заданы в радианах.

$e^x\approx1+x$ .

Комментарии.

Во всех формулах величина $x$ безразмерная и значительно меньше 1: $x\ll1$
Для использования этих формул, прежде всего необходимо привести вашу формулу к стандартному виду, которые даны здесь.
В ходе приближенных преобразований соблюдайте правило соблюдения порядка малости: если вы отбрасываете малые величины порядка $x^2$ и выше – отбрасывайте их сразу в промежуточных выкладках; если вы сохраняете величины определенного порядка, то сохраняйте их во всех преобразованиях

11 класс. Уважаемые члены жюри!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур

Решения задач 11 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Условие

Живые организмы могут существовать в достаточно узком температурном диапазоне. Так, например, нормальная температура человека примерно равна $36{,}5^\circ$ . повышение температуры всего на $5^\circ$ свидетельствует о серьезном заболевании. В каждом организме действуют сложные механизмы терморегуляции, позволяющие поддерживать температуру тела постоянной. В данном задании Вам предстоит проанализировать некоторые проблемы, связанные с терморегуляцией живых теплокровных организмов, используя простые модели.

Будем считать, что исследуемое существо имеет форму однородного шара (далее будем называть его сферическим котом). Внутри тела этого кота в результате постоянно происходит выделение теплоты. Теплопроводность тела высока, поэтому можно считать. что температура во всех его точках одинакова, но может изменяться с течением времени.

Во всех задачах этого задания под температурой тела подразумевается установившаяся температура, которую имеет тело кота после установления теплового равновесия.

Теоретическое введение.

Мощность теплоты, выделяющейся внутри сферического кота постоянна (т.е. не зависит от температуры тела) и пропорциональна его объему:

W=wV,\qquad(1)

где $w$ - некоторая постоянная величина (тепловыделение), одинаковая для всех котов, независимо от их размеров, $V=\dfrac43\pi R^3$ - объем шара, $R$ - радиус шара. Тепловыделение $w$ живых существ может зависеть от температуры.

Мощность теплоты, уходящей в окружающую среду с любой поверхности пропорциональна разности температур поверхности $t_x$ и окружающей среды $t_0$ , кроме того. она пропорциональна площади поверхности $S$ :

q=\beta S(t_x-t_0)\qquad(2)

где $\beta$ - известная постоянная величина (называется коэффициент теплоотдачи, зависящей от свойств окружающей среды, т.е. воздуха). Площадь поверхности шара $S=4\pi R^2$ .

Согласно закону Фурье плотность потока теплоты $q$ (количество теплоты протекающей в единицу времени через площадку площади $S$ ) через пластинку пропорциональна разности температур на сторонах пластинки и определяется формулой

q=\gamma\frac{t_1-t_2}{h}S,\qquad(3)

здесь $\gamma$ - постоянный коэффициент теплопроводности материала пластинки, $h$ - толщина пластинки

Как вам предстоит показать в дальнейшем, что мощность потока теплоты, уходящей в окружающую среду (даже при наличии одежды) пропорциональна разности температур тела и окружающей среды

q=\alpha(t-t_0).\qquad(4)

коэффициент пропорциональности $\alpha$ в данной формуле называется коэффициентом теплопередачи. Для голого кота этот коэффициент равен $\alpha=\beta S$ .

Часть 1. Спящие коты

В этой части будем считать. что мощность тепловыделения $w$ постоянна, т.е. не зависит от температуры и одинакова для котов любых размеров.

Температура окружающей среды равна $t_0=20^\circ\mathrm C$ , при этом установившаяся температура тела голого кота радиуса $R_0$ равна $t_1=36^\circ\mathrm C$ .

1.1 Почему маленькие дети больше мерзнут?

Рассчитайте, чему будет равна установившаяся температура голого котенка $t_2$ , радиус которого в два раза меньше, чем $R_0$ .

1.2 Почему «греет» шуба?

Благодаря одежде, надетой на котенка, коэффициент теплопередачи уменьшился в 2 раза.

1.2.1 Рассчитайте, чему будет равна установившаяся температура $t_3$ одетого котенка.

Покажите, что одежда действительно может изменить коэффициент теплопередачи.

Обозначим коэффициент теплопередачи голого кота - $\alpha_0$ . Будем считать, что одежда является тонким слоем теплоизоляционного материала с коэффициентом теплопроводности $\gamma$ толщины $h$ (которая значительно меньше радиуса кота $h\ll R$ ). Можно считать, что тепловой контакт между телом кота и нижней поверхностью одежды хороший, потому их температуры равны. Температура верхнего слоя одежды отличается от температуры воздуха.

1.2.2 Покажите, что коэффициент теплопередачи одетого кота тоже может быть описан формулой $q=\alpha(t-t_0)$ , но с другим коэффициентом пропорциональности $\alpha_1$ , отличным от $\alpha_0$ . Выразите значение этого коэффициента через величины $\alpha_0$ , $h$ , $\gamma$

Часть 2. «Живая» модель

В данной части Вам необходимо проанализировать жизнь кота, в рамках более реальной модели. Размер кота остается неизменными. Примем, что мощность тепловыделения этого кота зависит от температуры: она принимает максимальное значение, при некоторой оптимальной температуре $t_{opt}$ и монотонно уменьшается при отклонении температуры от оптимального значения (когда становится очень холодно или слишком жарко). Жизнь кота возможна, если его температура лежит в диапазоне от минимальной температуры $t_{min}=30^\circ$ до максимальной температуры $t_{max}=50^\circ$ . Если температура кота выходит из этого диапазона, кот умирает.

Зависимость мощности тепловыделения от температуры $t$ в указанном диапазоне описывается функцией

W(t)=A(t-t_{min})(t_{max}-t),\qquad(5)

где $A$ - постоянная величина. Вне этого температурного диапазона $W=0$ .

Известно, что при температуре воздуха $t_0^*=20^\circ$ температура голого кота является оптимальной.

В пунктах задания 2.1 – 2.5 кот остается голым, т.е. коэффициент теплоотдачи $\alpha_0$ остается постоянным.

2.1 Найдите оптимальную температуру кота $t_{opt}$ .

Предложите такую нормировку мощностей тепловыделения $\overline W=\dfrac WC$ и теплоотдачи $\overline q=\dfrac qC$ , чтобы значения $\overline W(t)$ , $\overline q(t)$ можно было рассчитать численно.

2.2 Укажите, что следует взять в качестве нормировочной постоянной $C$ . Укажите физический смысл этой постоянной. Запишите формулы для зависимостей $\overline W(t)$ , $\overline q(t)$ . Укажите численные значения параметров этих функций.

2.3 На одном бланке постройте: точный график зависимости $\overline W(t)$ и график зависимости $\overline q(t)$ при температурах окружающей среды $t_0^*=20^\circ$ .

Далее в пунктах 2.4 - 2.6 приведите графическую иллюстрацию решения, то есть постройте графики зависимостей $\overline W(t)$ , $\overline q(t)$ при указанных значениях параметров. В этих пунктах допускается численное решение уравнений (без получения окончательной формулы).

2.4 Рассчитайте установившуюся температуры голого кота, если температура окружающего воздуха равна а) $t_0=35^\circ$ ; б) $t_0=25^\circ$ .

2.5 Рассчитайте, в каком диапазоне температур воздуха (от $t_{0min}$ до $t_{0max}$ ) может жить голый кот.

Чтобы не замерзнуть, кот начинает одеваться, изменяя коэффициент теплоотдачи $\alpha$ .

2.6 Предложите такую зависимость коэффициента теплоотдачи $\alpha(t_0)$ от температуры воздуха $t_0$ (при $t_0<20^\circ$ ). чтобы температура кота оставалась оптимальной, независимо от температуры воздуха.

2.7 Постройте график зависимости $\dfrac{\alpha(t_0)}{\alpha_0}$ при $0^\circ<t_0<20^\circ$ .

2.8 Оцените, во сколько раз надо изменить коэффициент теплопередачи, чтобы кот смог выжить при температуре воздуха $t_0=0^\circ$

Листы ответов

Оригинальный лист ответов: 9 кл. Задание 3. Теплокровный сферический кот.

Решение

Задание 3. Теплокровный сферический кот (Решение)

Часть 1. Постоянное тепловыделение.

Основная идея расчета установившейся температуры – выполнение уравнения теплового баланса, когда мощность выделяющейся теплоты равна мощности теплоты. уходящей в окружающую среду

W=q.\qquad (1)

В рассматриваемой в части 1 модели это уравнение имеет вид

wV=\beta S(t-t_0)\ \Rightarrow\ w\frac43\pi R^3=\beta\cdot4\pi R^2(t-t_0).\qquad (2)

Это уравнение перепишем в виде

t-t_0=\frac{wR}{\beta}.\qquad (3)

1.1 Из уравнения (3) следует, что разность между установившейся температурой и температурой окружающей среды пропорциональная радиусу тела. Следовательно, температура котенка будет меньше. Запишем уравнение (1) для кота и для котенка

t_1-t_0=\frac{wR_0}{\beta},\qquad t_2-t_0=\frac{wR_0}{2\beta}.\qquad (4)

Из этих уравнений следует, что

\frac{t_2-t_0}{t_1-t_0}=\frac12\ \Rightarrow\ t_2=t_0+\frac{t_1-t_0}{2}.\qquad (5)

Подстановка численных значений дает следующий результат:

t_1=t_0+\frac{t_1-t_0}{2}=28^\circ.\qquad (6)

1.2.1 Запишем уравнения баланса (3) для голого и для одетого котенка

t_2-t_0=\frac{wR_0}{2\beta_0},\qquad t_3-t_0=\frac{wR_0}{2(\beta_0/2)}=\frac{wR_0}{\beta_0}.\qquad (7)

Из этих уравнений следует, что температура одетого котенка станет равной температуре голого кота

t_3=t_1=36^\circ.\qquad (8)

1.2.2 В данном случае можно записать «двойного» уравнения баланса: мощность выделяющейся теплоты равна мощности теплоты, проходящей через слой одежды, и равна мощности теплоты уходящей в окружающую среду.

wV=\gamma\frac{t-t_x}{h}S=\beta(t_x-t_0)S.\qquad (9)

Здесь $t_x$ - температура внешней поверхности одежды. Из второй части равенства (9) выразим значение $t_x$

\gamma\frac{t-t_x}{h}S=\beta(t_x-t_0)S\ \Rightarrow\ t_x=\frac{at+t_0}{a+1}.\qquad (10)

где обозначено $a=\frac{\gamma}{h\beta_0}$ . Теперь поток в окружающую среду можно представить в виде:

\beta_0(t_x-t_0)S=\beta\left(\frac{at+t_0}{a+1}-t_0\right)S=\beta\frac{a}{a+1}S(t-t_0).\qquad (11)

Таким образом, мощность потока теплоты от тела кота в окружающую среду пропорционален разности их температур. Полученное выражение формально совпадает с формулой (2), приведенной в условии задачи.

1.2.3 «Новый» коэффициент пропорциональности, как следует из формулы (11), равен

\alpha_1=\beta S\frac{a}{a+1}=\alpha_0\frac{\gamma}{\gamma+h\beta_0}.\qquad (12)

Из этого выражения следует, что при увеличении толщины слоя одежды коэффициент теплопередачи уменьшается, поэтому согласно уравнению (3) температура тела увеличивается.

Отметим, что при больших значениях теплопроводности коэффициент теплопередачи остается неизменным и равным $\alpha_0$ . При малой теплопроводности коэффициент теплопередачи полностью определяется теплопроводностью одежды: $\alpha_1\approx\frac{\gamma}{h}S$ .

Часть 2. «Живая» модель

Основной идеей решения этой части также является уравнение теплового баланса, которое в данной модели имеет вид

A(t-t_{\min})(t_{\max}-t)=\alpha_0(t-t_0),\qquad (13)

которое является квадратным уравнением, поэтому при известных коэффициентах может быть решено аналитически.

2.1 Как оговорено в условии. при оптимальной температуре мощность тепловыделения максимальна. Зависимость $W(t)=A(t-t_{\min})(t_{\max}-t)$ является квадратичной. Значения нулей этой функции очевидны: это $t_{\min}$ и $t_{\max}$ . как известно, вершина параболы находится на середине отрезка между корнями. Следовательно, оптимальная температура кота равна

t_{\mathrm{opt}}=\frac12(t_{\min}+t_{\max})=40^\circ.\qquad (14)

2.2 В уравнении теплового баланса (13) входят две неизвестных константы – коэффициенты пропорциональности $A$ и $\alpha_0$ . Но это уравнение можно переписать следующим образом

\bar A(t-t_{\min})(t_{\max}-t)=(t-t_0).\qquad (15)

В этом уравнении одна неизвестная постоянная величина $\bar A=\frac{A}{\alpha_0}$ , которая может быть найдена из заданного значения $t_0^*=20^\circ$ . Поэтому коэффициента теплоотдачи и служит нормировочной постоянной. Поэтому

C=\alpha_0;\qquad \bar W=\bar A(t-t_{\min})(t_{\max}-t);\qquad \bar q=t-t_0.\qquad (16)

Нормировочная постоянная $C$ (она же $\alpha_0$ ) равна мощности теплоты, уходящей в окружающую среду, пир разности температур поверхности и воздуха равной $1^\circ$ . Отметим, что нормированные мощности измеряются в градусах Цельсия!

В нормированных функциях мощностей имеется только один параметр $\bar A$ , который рассчитывается по дополнительному условию: при $t_0^*=20^\circ$ температура кота оптимальна $t_{\mathrm{opt}}$ . Тогда из уравнения (15) находим:

\bar A=\frac{t_{\mathrm{opt}}-t_0^*}{(t_{\mathrm{opt}}-t_{\min})(t_{\max}-t_{\mathrm{opt}})}=0{,}20\,\frac1{^\circ\mathrm C}.\qquad (17)

2.3 Построение начнем с примитивного графика функции $\bar q(t)=t-t_0$ . График – прямая линия с коэффициентом наклона равным единице, и пересекающая ось температур в точке $t_0$ .

Нормированные мощности, оси, подписи и рамка

График функции $\bar W(t)=\bar A(t-t_{\min})(t_{\max}-t)$ ; является параболой, ветви которой направлены вниз. Нули и положение вершины этой функции были «найдены» ранее. Максимальное значение функции $\bar W(t)$ можно рассчитать, подставив значение $t=t_{\mathrm{opt}}$ : $\bar W(t)=\bar A(t_{\mathrm{opt}}-t_{\min})(t_{\max}-t_{\mathrm{opt}})=20^\circ$ .

Заметим, что это значение можно определить и по функции $\bar q(t)$ . Эта прямая проходит через вершину параболы. Точка пересечения прямой с осью температур отстоит от температуры вершины параболы на $20^\circ$ . Так как наклон прямой равен 1, то значение мощности в точке пересечения с параболой тоже равно $20^\circ$ .

Так как авторы заданий любезно разрешили проводить промежуточные расчеты, то запишем уравнение теплового баланса «в числах».

\bar A(t-t_{\min})(t_{\max}-t)=(t-t_0)\ \Rightarrow\ \frac15(t-30)(50-t)=t-t_0.

Здесь мы записали значение $\bar A=0{,}20=\frac15$ . После приведения подобных членов, получим

t^2-75t+(150-5t_0)=0.\qquad (18)

2.4 Для расчета установившейся температуры, надо решить квадратное уравнение (18) при нужном значении температуры воздуха. Так при $t_0=35^\circ$ это уравнение имеет два корня $t_{(1)}=28{,}5^\circ$ , $t_{(2)}=46{,}5^\circ$ . Первый корень надо отбросить, так как он выходит за пределы диапазона жизнедеятельности.

При $t_0=25^\circ$ корнями уравнения (18) являются $t_{(1)}=32^\circ$ , $t_{(2)}=43^\circ$ .

График равновесных температур, обе прямые, парабола, оси и рамка

Чтобы понять смысл двух корней дадим графическую иллюстрацию этих решений. На графике «видны» корни уравнения как точки пересечения прямых с параболой. Но эти корни являются точками равновесия, которое может быть, как устойчивым, так и неустойчивым! Легко показать, что только больший корень $t_{(2)}$ (на ниспадающей ветви параболы) является устойчивым. Действительно, при температуре большей $t_{(2)}$ мощность потерь превысит мощность тепловыделения, поэтому кот начнет остывать. Если температура станет меньше значения $t_{(2)}$ ситуация обратная: мощность тепловыделения превышает мощность потерь, поэтому температура будет повышаться. Аналогичные рассуждения приводят к выводы, что меньший корень неустойчив, поэтому это значение температуры реализовываться не будет.

Таким образом, установившиеся температуры равны:

\text{при }t_0=35^\circ:\ t=46{,}5^\circ;\qquad \text{при }t_0=25^\circ:\ t=43^\circ.\qquad (19)

2.5 Чтобы найти допустимый диапазон температур воздуха, мысленно построим на графике мощностей тепловыделения и теплопотерь несколько прямых графиков $\bar q(t)$ при различных значениях температуры воздуха $t_0$ . Кот сможет жить при температуре воздуха $t_0$ , если соответствующая прямая пресекается с параболой $\bar W(t)$ . На рисунке показаны «крайние» прямые. Не сложно заметить, что максимальная температура воздуха равна

Граничные температуры воздуха, парабола, прямые и рамка

t_{0\max}=t_{\max}=50^\circ.\qquad (20)

Минимальной температуре воздуха соответствует прямая, которая является касательной к параболе. Теперь заметим, что в этом случае уравнение баланса (18) имеет единственный корень, при этом дискриминант уравнения обращается в нуль! Записываем значения дискриминанта и приравниваем его к нулю

D=\left(\frac{75}{2}\right)^2-(1500-5t_0)=0.\qquad (21)

Из этого условия находим минимальную температуру воздуха, при которой кот выживает:

t_{0\min}\approx19^\circ.\qquad (22)

2.6 Уравнение теплового баланса с изменяющимся коэффициентом теплоотдачи в нормированном виде имеет вид

\bar A(t-t_{\min})(t_{\max}-t)=\frac{\alpha}{\alpha_0}(t-t_0).\qquad (23)

Необходимо, чтобы при любом значении $t_0$ один из корней этого уравнения был равен $t_{\mathrm{opt}}=40^\circ$ . Вспомним, что при этой температуре, мощность тепловыделения максимальна ( $\bar W_{\max}=20^\circ$ ). Таким образом, из уравнения (23) получаем, что необходимая зависимость имеет вид

\frac{\alpha}{\alpha_0}=\frac{\bar W_{\max}}{t_{\mathrm{opt}}-t_0}=\frac{20}{40-t_0}.\qquad (24)

Изменение коэффициента теплопередачи приводит к изменению наклона прямой, являющейся графиком зависимости $\bar q(t)$ . Все эти прямые должна проходить через вершину параболы и пересекать ось температур в точке $t_0$ (см. рисунок)

Прямые переменного теплообмена, парабола, оси и рамка

2.7 График зависимости $\frac{\alpha(t_0)}{\alpha_0}$ показан на рисунке. Понятно, что при понижении температуры теплоотдачу (следовательно, и коэффициент теплопередачи) надо уменьшать.

Коэффициент теплопередачи от температуры, все точки, оси и рамка

2.8 Для строго определения нужного коэффициента надо построить касательную к параболе, проходящую через начало координат. однако для оценки можно принять, что прямая отдачи проходит через вершину параболы. В этом случае, искомое значение можно найти по формуле (24) при $t_0=0^\circ$ .

Поэтому

\frac{\alpha}{\alpha_0}=0{,}5.\qquad (25)

т.е. коэффициент теплоотдачи надо уменьшить в два раза.

Схемы оценивания

Задание 3. Теплокровный сферический кот

Пункт	Содержание	Всего за часть	Всего за пункт	Баллы
	Часть 1. Спящие коты	18
	Основная идея – тепловой баланс		6	2
	Уравнение баланса (2)			2
	Выражение для температур (3)			1
1.1	Формула для температуры		3	2
	Численное значение			1
1.2.1	Формула для температуры		3	2
	Численное значение			1
1.2.2	Уравнение баланса (9)		6	3
	Температура границы (10)			1
	Уравнение (11)			1
	Формула для коэффициента (12)			1
	Часть 2. «Живая» модель	42
2.1	Оптимальная температура: формула, численное значение (1+1)		2	2
2.2	Нормировочная постоянная $C=\alpha_0$ ;		5	1
	физический смысл;			1
	формулы для $\bar W$ , $\bar q$ (1+1);			1
	численное значение постоянной $\bar A$ ;			2
2.3	График $\bar W(t)$ :		7
	- парабола, ветви вниз;			1
	- указаны точки нулей;			1
	- правильные координаты вершины;			1
	График $\bar q(t)$ :
	- прямая;			1
	- коэффициент наклона 1;			1
	- проходит через вершину параболы;			1
	- правильное значение нуля.			1
2.4	Уравнение (18);		14	2
	Графическая иллюстрация: две «правильные» прямые;			2
	температура $t_0=35^\circ$ : Численные значения корней уравнения (18)			2
	Выбран больший корень			1
	температура $t_0=25^\circ$ : Численные значения корней уравнения (18);			2
	Выбран больший корень;			1
	Показана устойчивость и неустойчивость корней.			4
2.5	Графическая иллюстрация:		6
	- прямая для максимальной температуры;			1
	- прямая для минимальной температуры (касательная к параболе)			1
	Указана максимальная температура			1
	Касательная – дискриминант равен нулю			2
	Численное значение минимальной температуры			1
2.6	Уравнение баланса (23)		3	1
	Зависимость (24)			1
	Графическая иллюстрация (прямые, проходящие через вершину параболы)			1
2.7	График зависимости $\alpha(t_0)$ кривая, выпуклостью вниз;		2	2
2.8	Приближение (прямая проходит через вершину параболы)		3	2
	Численное значение коэффициента			1
	ВСЕГО за задание 3	60

Итоговая ведомость

Код работы___________

	Задание 1	Задание 2	Задание 3	Всего за ТТ
Оценки после проверки
Подпись проверяющего
Изменения после ознакомления
Итоговые баллы
Подпись участника
Подпись члена жюри

Итоговая ведомость 9 класс: все поля и подписи

Оригинал в Архива: 2024_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2024_theoretical_solutions.pdf · допълнителни данни: 2024_theoretical_shemes.pdf