Съдържание

Условие Часть 1. Нормальное поле Часть 2. Наклонное поле Листы ответов Решение

BelPhO 2024, Заключителен етап — Задача 10-3. 10 кл. Задание 3. Поле в диэлектрике

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2024

Республиканская физическая олимпиада 2024 года. Заключительный этап. Теоретический тур. 9, 10, 11 классы. Вариант 1. · 65 т.

Внимание: Бележка към темата

Сохранены печатные ошибки исходного комплекта: числовые и буквенные расхождения условий, решений и схем оценивания; некоторые повторные номера формул; заполненные образцы оценок в двух безымянных столбцах схем 11 класса. Схемы оценивания добавляют 14 страниц к 90 страницам основного комплекта. Архивный перечень из пяти задач не охватывает все классы и отдельные задачи разминок; сохранены все 12 печатных целых задач и 84 вопроса в рамках.

9 класс. Инструкции

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур 9 класс.

Внимание! Прочтите в первую очередь.

Полный комплект состоит из 3 заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
На отдельном листе приведены формулы приближенных вычислений, используйте их при решении задач, там, где это необходимо.
Решения задач выполняйте на отдельных чистых рабочих листах. Самостоятельно разделите их на черновики и чистовые листы. Рекомендуем сначала решать в черновике, а затем красиво оформить решение на чистовых листах. Решение каждого задания начинайте с нового чистового листа. В решении приведите рисунки (в некоторых задания рисунки необходимы, даже в том случае, когда это не оговорено в условии), исходные уравнения с кратким обоснованием, решения уравнений (комментарии к математическим выкладкам не требуются), окончательные результаты. Окончательные решения обязательно занесите в листы ответов. Чистовые листы пронумеруйте. Черновые листы после окончания работы перечеркните. Черновики проверяться не будут!

4.Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. 5. Все ваши работы сканируются, поэтому пишите только на одной стороне листа. Подписывать рабочие листы и листы ответов запрещается. 6. В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор. 7. После окончания работы сложите листы в следующем порядке: листы ответов; пронумерованные чистовые листы; перечеркнутые черновики. 8. Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады. Пакет содержит:

титульный лист (1 стр.);
лист математических подсказок (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий (8 стр.);
листы ответов (8 стр.);

9 класс. Формулы приближенных вычислений

Формулы приближенных вычислений.

При решении задач Вам могут понадобиться следующие приближенные формулы

$(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x$

формула справедлива при любых (целых. дробных, положительных, отрицательных) значениях степени $\gamma$ .

$\sin x\approx x$ , $\cos x\approx1-\frac{x^2}{2}$

аргументы тригонометрических функций должны быть заданы в радианах.

$e^x\approx1+x$ .

Комментарии.

Во всех формулах величина $x$ безразмерная и значительно меньше 1: $x\ll1$
Для использования этих формул, прежде всего необходимо привести вашу формулу к стандартному виду, которые даны здесь.
В ходе приближенных преобразований соблюдайте правило соблюдения порядка малости: если вы отбрасываете малые величины порядка $x^2$ и выше – отбрасывайте их сразу в промежуточных выкладках; если вы сохраняете величины определенного порядка, то сохраняйте их во всех преобразованиях

9 класс. Уважаемые члены жюри!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур

Решения задач 9 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами. Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

10 класс. Инструкции

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур 10 класс.

Внимание! Прочтите в первую очередь.

Полный комплект состоит из 3 заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
На отдельном листе приведены формулы приближенных вычислений, используйте их при решении задач, там, где это необходимо.
Решения задач выполняйте на отдельных чистых рабочих листах. Самостоятельно разделите их на черновики и чистовые листы. Рекомендуем сначала решать в черновике, а затем красиво оформить решение на чистовых листах. Решение каждого задания начинайте с нового чистового листа. В решении приведите рисунки (в некоторых задания рисунки необходимы, даже в том случае, когда это не оговорено в условии), исходные уравнения с кратким обоснованием, решения уравнений (комментарии к математическим выкладкам не требуются), окончательные результаты. Окончательные решения обязательно занесите в листы ответов. Чистовые листы пронумеруйте. Черновые листы после окончания работы перечеркните. Черновики проверяться не будут!

титульный лист (1 стр.);
лист математических подсказок (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий (7 стр.);
листы ответов (4 стр.);

10 класс. Формулы приближенных вычислений

Формулы приближенных вычислений.

При решении задач Вам могут понадобиться следующие приближенные формулы

$(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x$

формула справедлива при любых (целых. дробных, положительных, отрицательных) значениях степени $\gamma$ .

$\sin x\approx x$ , $\cos x\approx1-\frac{x^2}{2}$

аргументы тригонометрических функций должны быть заданы в радианах.

$e^x\approx1+x$ .

Комментарии.

Во всех формулах величина $x$ безразмерная и значительно меньше 1: $x\ll1$
Для использования этих формул, прежде всего необходимо привести вашу формулу к стандартному виду, которые даны здесь.
В ходе приближенных преобразований соблюдайте правило соблюдения порядка малости: если вы отбрасываете малые величины порядка $x^2$ и выше – отбрасывайте их сразу в промежуточных выкладках; если вы сохраняете величины определенного порядка, то сохраняйте их во всех преобразованиях

10 класс. Уважаемые члены жюри!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур

Решения задач 10 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

11 класс. Инструкции

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур

11 класс.

Внимание! Прочтите в первую очередь.

Полный комплект состоит из 3 заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
На отдельном листе приведены формулы приближенных вычислений, используйте их при решении задач, там, где это необходимо.
Решения задач выполняйте на отдельных чистых рабочих листах. Самостоятельно разделите их на черновики и чистовые листы. Рекомендуем сначала решать в черновике, а затем красиво оформить решение на чистовых листах. Решение каждого задания начинайте с нового чистового листа. В решении приведите рисунки (в некоторых задания рисунки необходимы, даже в том случае, когда это не оговорено в условии), исходные уравнения с кратким обоснованием, решения уравнений (комментарии к математическим выкладкам не требуются), окончательные результаты. Окончательные решения обязательно занесите в листы ответов. Чистовые листы пронумеруйте. Черновые листы после окончания работы перечеркните. Черновики проверяться не будут!

титульный лист (1 стр.);
лист математических подсказок (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий (7 стр.);
листы ответов (5 стр.);

11 класс. Формулы приближенных вычислений

Формулы приближенных вычислений.

При решении задач Вам могут понадобиться следующие приближенные формулы

$(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x$

формула справедлива при любых (целых. дробных, положительных, отрицательных) значениях степени $\gamma$ .

$\sin x\approx x$ , $\cos x\approx1-\frac{x^2}{2}$

аргументы тригонометрических функций должны быть заданы в радианах.

$e^x\approx1+x$ .

Комментарии.

Во всех формулах величина $x$ безразмерная и значительно меньше 1: $x\ll1$
Для использования этих формул, прежде всего необходимо привести вашу формулу к стандартному виду, которые даны здесь.
В ходе приближенных преобразований соблюдайте правило соблюдения порядка малости: если вы отбрасываете малые величины порядка $x^2$ и выше – отбрасывайте их сразу в промежуточных выкладках; если вы сохраняете величины определенного порядка, то сохраняйте их во всех преобразованиях

11 класс. Уважаемые члены жюри!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур

Решения задач 11 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Условие

Диэлектрик, помещенный во внешнее электрическое поле, поляризуется, т.е. происходит частичное смещение электрических зарядов (электронов и ядер). Вследствие чего на поверхности однородного диэлектрика возникают индуцированные (поляризационные) заряды, которые создают собственное электрическое поле, как внутри диэлектрика, так и вне его. Если силовые линии электрического поля везде на границе диэлектрика перпендикулярны этой границе, то напряженность электрического поля внутри диэлектрика оказывается в $\varepsilon$ раз меньше, чем напряженность поля при отсутствии диэлектрика (где $\varepsilon$ - диэлектрическая проницаемость диэлектрика).

В данном задании Вам необходимо продемонстрировать понимание описанного механизма изменения поля в диэлектрике.

Если электрические заряды распределены по поверхности, то удобно ввести такую характеристику зарядов, как их поверхностная плотность:

\sigma=\frac{\Delta q}{\Delta S}.\qquad (1)

где $\Delta q$ - заряд, находящийся на малой площадке площади $\Delta S$ .

Во всех частях этого задания предполагается, что электрические заряды распределены по плоским поверхностям равномерно $\sigma=\mathrm{const}$ , а создаваемое ими электрическое поля является однородным. Т.е. краевыми эффектами следует пренебрегать.

Считайте, что вне диэлектриков находится вакуум.

Часть 1. Нормальное поле

В учебнике физики для 10 класса приведена формула для емкости плоского конденсатора

C=\frac{\varepsilon\varepsilon_0 S}{d}.\qquad (2)

где $S$ - площадь пластин (обкладок) конденсатора, $d$ - расстояние между обкладками, $\varepsilon$ - диэлектрическая проницаемость вещества, находящегося между обкладками, $\varepsilon_0$ - электрическая постоянная.

1.1 Бесконечная равномерно заряженная с поверхностной плотностью заряда $\sigma$ плоскость создает однородное электрическое поле, напряженности $\vec E$ .

1.1 Используя формулу для емкости плоского конденсатора (2), выразите модуль напряженности электрического поля $E$ , создаваемого зарядами на плоскости, через их поверхностную плотность $\sigma$ .

1.2 В однородное электрическое поле напряженности $\vec E_0$ помещена незаряженная плоскопараллельная пластина, изготовленная из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ . Силовые линии поля перпендикулярны пластине.

Диэлектрическая пластина в нормальном поле

1.2 Найдите поверхностную плотность индуцированных зарядов на пластине $\sigma'$ . Выразите значение этой плотности а) через напряженность поля $E_0$ вне пластины; б) через напряженность поля $E$ внутри пластины.

1.3 Силовые линии электрического поля перпендикулярны плоской границе однородного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ (нижняя граница находится бесконечно далеко). Над диэлектриком напряженность поля равна $\vec E_1$ .

1.3 Найдите поверхностную плотность индуцированных на границе зарядов $\sigma'$ . Выразите ее через напряженность поля внутри диэлектрика $E_2$ .

1.4 Плоский конденсатор состоит из двух проводящих параллельных пластин площади $S$ , находящихся на расстоянии $d$ друг от друга, которое значительно меньше размеров пластин. Между пластинами находится непроводящая плоскопараллельная пластинка толщины $\frac d3$ , расположенная параллельно пластинам-обкладкам конденсатора. На обкладках конденсатора равномерно распределены электрические заряды, поверхностные плотности которых равны $\pm\sigma_0$ .

1.4.1 Найдите поверхностные плотности зарядов $\sigma'_1,\sigma'_2$ на поверхностях диэлектрической пластинки (укажите знаки этих зарядов).

1.4.2 Найдите электрическую емкость этого конденсатора $C_0$ .

1.4.3 Найдите давление, которое оказывает электрическое поле на одну из граней диэлектрической пластинки. Укажите, растягивается или сжимается пластинка под действием электрического поля.

Часть 2. Наклонное поле

2.1 Силовые линии однородного электрического поля напряженности $\vec E_1$ образуют угол $\alpha_1$ с нормалью к плоской границе диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ . Внутри диэлектрика вектор напряженности однородного электрического поля $\vec E_2$ направлен под углом $\alpha_2$ к нормали к границе диэлектрика.

2.1.1 Получите «закон преломления» силовых линий, т.е. соотношение, связывающее углы $\alpha_1,\alpha_2$ и диэлектрическую проницаемость $\varepsilon$ .

2.1.2 Найдите отношение модулей напряженностей полей $\frac{E_2}{E_1}$ как функцию диэлектрической проницаемости $\varepsilon$ и угла $\alpha_1$ .

2.2 Диэлектрическую пластину конденсатора, описанного в п. 1.4, повернули на угол $\alpha$ .

Повернутая диэлектрическая пластина в конденсаторе

2.2.1 Найдите емкость конденсатора $C$ с повернутой пластиной.

2.2.2 Найдите относительное изменение емкости конденсатора $\frac{C-C_0}{C_0}$ при повороте пластины на малый угол $\alpha$ . ( $C_0$ - емкость конденсатора, найденная в п. 1.4.2.

Примечание. Считайте, что при повороте пластины распределение зарядов на обкладках конденсатора и на гранях диэлектрической пластины остается равномерным, а электрическое поле в зазорах между обкладками пластинкой остается однородными перпендикулярным обкладкам конденсатора.

Листы ответов

Оригинальный лист ответов: 10 кл. Задание 3. Поле в диэлектрике

Решение

Задание 3. Поле в диэлектрике (Решение)

Часть 1. Нормальное поле

1.1 Бесконечная равномерно заряженная плоскость создает однородное поле, вектор напряженности которого направлен перпендикулярно плоскости. Плоский конденсатор состоит из двух больших параллельных пластин, заряды которых равны по модулю и противоположны по знаку. На рисунке показаны векторы напряженности полей, создаваемых положительно $\vec E_{(+)}$ и отрицательно $\vec E_{(-)}$ заряженными пластинами. Понятно, что модули этих векторов равны $|\vec E_{(+)}|=|\vec E_{(-)}|=E$ искомому значению напряженности поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью. Тогда модуль напряженности поля внутри конденсатора равен $2E$ , а вне конденсатора поле отсутствует.

По определению емкость конденсатора равна отношению заряда одной из обкладок $Q=\sigma S$ к разности потенциалов между обкладками $\Delta\varphi=E_\Sigma d=2Ed$ :

C=\frac Q{\Delta\varphi}=\frac{\sigma S}{2Ed}.\qquad (1)

Приравнивая это выражение к выражению для емкости конденсатора $C=\varepsilon_0S/d$ ,

C=\frac{\varepsilon_0S}{d}=\frac{\sigma S}{2Ed},\qquad (2)

получаем требуемую формулу для напряженности поля, создаваемого одной пластиной:

E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.\qquad (3)

1.2 Электрическое поле внутри пластины является суперпозицией внешнего поля $\vec E_0$ и поля, созданного индуцированными зарядами $E'=\sigma'/\varepsilon_0$

E=E_0-E'=E_0-\frac{\sigma'}{\varepsilon_0}.\qquad (4)

С другой стороны модуль напряженности этого поля в $\varepsilon$ раз меньше напряженности внешнего поля:

\frac{E_0}{\varepsilon}=E_0-E'=E_0-\frac{\sigma'}{\varepsilon_0}.\qquad (5)

Отсюда следует, что поверхностная плотность индуцированных зарядов равна

\sigma'=\varepsilon_0E_0\left(1-\frac1\varepsilon\right)=\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}\varepsilon_0E_0.\qquad (6)

Эту же величину можно выразить через напряженность поля внутри пластины

\sigma'=(\varepsilon-1)\varepsilon_0E.\qquad (7)

1.3 В рассматриваемой здесь ситуации индуцированные заряды создают электрическое поле как внутри диэлектрика, так и над ним. Поэтому напряженности полей вне диэлектрика и внутри него можно представить в виде

E_1=E_0+E'=E_0+\frac{\sigma'}{2\varepsilon_0},\qquad E_2=E_0-E'=E_0-\frac{\sigma'}{2\varepsilon_0},\qquad (7)

где $\vec E_0$ - напряженность внешнего поля, создаваемого всеми остальными зарядами, кроме зарядов на границе диэлектрика.

Из этих формул не сложно найти:

E_0=E_1-\frac{\sigma'}{2\varepsilon_0},\qquad E_2=E_0-\frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}=\left(E_1-\frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}\right)-\frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}=E_1-\frac{\sigma'}{\varepsilon_0}.\qquad (8)

Так как силовые линии электрического поля перпендикулярны границе диэлектрика, то $E_1=\varepsilon E_2$ . С учетом этого соотношения, из формулы (8) следует, что плотность индуцированных зарядов равна

\sigma'=(\varepsilon-1)\varepsilon_0E_2.\qquad (9)

1.4 Электрические заряды на обкладках конденсатора $\pm\sigma_0$ создают в пространстве между обкладками и диэлектрической пластиной электрическое поле напряженности

E_0=\frac{\sigma_0}{\varepsilon_0}.\qquad (10)

Напряженность поля внутри диэлектрика равна

E=\frac{E_0}{\varepsilon}=\frac{\sigma_0}{\varepsilon\varepsilon_0}.\qquad (11)

1.4.1 Из формулы (7) следует, что поверхностные плотности зарядов на поверхности пластины равны

\sigma'_1=-\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}\sigma_0;\qquad\sigma'_2=+\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}\sigma_0.\qquad (12)

1.4.2 Для расчета емкости конденсатора воспользуемся определением. Заряд одной из обкладок равен $Q=\sigma_0S$ . Разность потенциалов рассчитаем, как работу сил электрического поля над единичным зарядом:

\Delta\varphi=E_0\frac d3+E\frac d3+E_0\frac d3=E_0\frac{2d}{3}+\frac{E_0}{\varepsilon}\frac d3=\frac{E_0d}{3}\frac{2\varepsilon+1}{\varepsilon}=\frac{\sigma_0d}{3\varepsilon_0}\frac{2\varepsilon+1}{\varepsilon}.\qquad (13)

Следовательно, емкость конденсатора $C=Q/\Delta\varphi$ равна

C_0=\frac{3\varepsilon}{2\varepsilon+1}\frac{\varepsilon_0S}{d}.\qquad (14)

Замечание. Эта формула может быть получена из формулы для емкости последовательно соединенных конденсаторов.

1.4.3 Сила, действующая на заряженное тело, равна произведению заряда тела на напряженность электрического поля, созданного всеми внешними зарядами

F=qE.\qquad (15)

Выделим на поверхности диэлектрической пластины небольшой участок площади $\Delta S$ . Тогда давление электрического поля на этот участок рассчитывается по формуле

P=\frac F{\Delta S}=\frac{\sigma'\Delta SE}{\Delta S}=\sigma'E_\Sigma.\qquad (16)

Здесь $E_\Sigma$ - сумма напряженностей полей: создаваемого зарядами на обкладках конденсатора $E_0=\sigma_0/\varepsilon_0$ ; и поля создаваемого индуцированными зарядами на второй поверхности диэлектрика $E'=\sigma'/(2\varepsilon_0)$ . С учетом направления сил, получим

P=\sigma'\left(\frac{\sigma_0}{\varepsilon_0}-\frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}\right).\qquad (17)

Подставляя значение величины $\sigma'=\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}\sigma_0$ , после простых алгебраических преобразований, окончательно получаем

P=\frac{\varepsilon^2-1}{2\varepsilon^2}\frac{\sigma_0^2}{\varepsilon_0}.\qquad (18)

Часть 2. Наклонное поле

2.1.1 Различие в полях вне диэлектрика $\vec E_1$ и внутри него $\vec E_2$ возникает из-за электрического поля $\vec E'$ , созданного зарядами, индуцированными на поверхности диэлектрика. Разложим векторы напряженностей полей на составляющие параллельны границе и нормальные к ней (см. рис.). Вследствие принципа суперпозиции для электрического поля преобразования этих компонент при переходе через границу можно рассматривать независимо друг от друга.

Нормальные и тангенциальные компоненты полей

Так как вектор напряженности поля индуцированных зарядов $\vec E'$ направлен перпендикулярно границе диэлектрика, тангенциальные составляющие векторов равны между собой

\vec E_{2\tau}=\vec E_{2\tau}.\qquad (19)

Как было показано ранее, нормальные составляющие отличаются в $\varepsilon$ раз:

\vec E_{2n}=\frac{\vec E_{1n}}{\varepsilon}.\qquad (20)

Используя эти соотношения легко, получить «закон преломления» для линий напряженности

\operatorname{tg}\alpha_2=\frac{E_{2\tau}}{E_{2n}}=\frac{E_{1\tau}}{(1/\varepsilon)E_{1n}}=\varepsilon\operatorname{tg}\alpha_1.\qquad (21)

Или

\frac{\operatorname{tg}\alpha_2}{\operatorname{tg}\alpha_1}=\varepsilon.\qquad (22)

2.1.2 Для модуля напряженности поля внутри диэлектрика имеем

\begin{aligned}E_2&=\sqrt{E_{2\tau}^2+E_{2n}^2}=\sqrt{E_{1\tau}^2+\frac{E_{1n}^2}{\varepsilon^2}}=\sqrt{E_1^2\cos^2\alpha_1+\frac{E_1^2}{\varepsilon^2}\sin^2\alpha_1}\\&=\frac{E_1}{\varepsilon}\sqrt{\varepsilon^2\cos^2\alpha_1+\sin^2\alpha_1}=\frac{E_1}{\varepsilon}\sqrt{1+(\varepsilon^2-1)\cos^2\alpha_1}.\end{aligned}\qquad (23)

Откуда следует, что отношение модулей равно

\frac{E_2}{E_1}=\frac{\sqrt{1+(\varepsilon^2-1)\cos^2\alpha_1}}{\varepsilon}.\qquad (24)

Обратите внимание, что утверждение «диэлектрик уменьшает поле в $\varepsilon$ раз» в общем случае не верно. В рассмотренном примере; во-первых, изменяется направление вектора индукции, во-вторых, отношение модулей векторов зависит от «угла падения» и не равно $\varepsilon$ .

2.2.1 При неизменных зарядах на обкладках конденсатора при повороте диэлектрической пластинки изменится разность потенциалов между обкладками. Для расчета этой разности потенциалов следует найти работу сил электростатического поля по перемещению единичного пробного заряда от одной обкладки до другой. Вследствие потенциальности поля, эта работа не зависит от траектории движения пробного заряда. Достаточно просто вычислить эту работу для траектории $ABCD$ , показанной на рисунке (отрезки $AC$ и $CD$ перпендикулярны обкладкам конденсатора, отрезок $BC$ перпендикулярен граням пластинки):

\Delta\varphi=U=|AB|\cdot E_0+|BC|\cdot E_{1n}+|CD|\cdot E_0.\qquad (25)

Из рисунка следует, что

|AB|=|CD|=\frac d2-\frac d6\cos\alpha.\qquad (26)

Как было показано ранее

E_{1n}=\frac{E_{0n}}{\varepsilon}=\frac{E_0\cos\alpha}{\varepsilon}.\qquad (27)

Поэтому разность потенциалов между обкладками конденсатора равна

\begin{aligned}\Delta\varphi=U&=|AB|\cdot E_0+|BC|\cdot E_{1n}+|CD|\cdot E_0=2\left(\frac d2-\frac d6\cos\alpha\right)E_0+\frac d3\cdot\frac{E_0\cos\alpha}{\varepsilon}\\&=E_0\left(d-\frac d3\cos\alpha\left(1-\frac1\varepsilon\right)\right)=E_0d\left(1-\frac{\varepsilon-1}{3\varepsilon}\cos\alpha\right).\end{aligned}\qquad (28)

Учитывая, что заряд на одной обкладке равен $Q=\varepsilon_0SE_0$ , получим выражение для емкости конденсатора

C=\frac Q{\Delta\varphi}=\frac{\varepsilon_0SE_0}{E_0d\left(1-\frac{\varepsilon-1}{3\varepsilon}\cos\alpha\right)}=\frac{3\varepsilon}{3\varepsilon-(\varepsilon-1)\cos\alpha}\frac{\varepsilon_0S}{d}.\qquad (29)

2.2.2 При малых углах поворота следует воспользоваться приближенной формулой $\cos\alpha\approx1-\frac{\alpha^2}{2}$ . В этом случае формула (29) преобразуется к виду

\begin{aligned}C&=\frac{3\varepsilon}{3\varepsilon-(\varepsilon-1)\cos\alpha}\frac{\varepsilon_0S}{d}=\frac{3\varepsilon}{3\varepsilon-(\varepsilon-1)(1-\alpha^2/2)}\frac{\varepsilon_0S}{d}=\frac{3\varepsilon}{2\varepsilon+1+(\varepsilon-1)\alpha^2/2}\frac{\varepsilon_0S}{d}\\&=\frac{3\varepsilon}{2\varepsilon+1}\frac{\varepsilon_0S}{d}\frac1{1+\frac{\varepsilon-1}{2\varepsilon+1}\frac{\alpha^2}{2}}\approx C_0\left(1-\frac{\varepsilon-1}{2\varepsilon+1}\frac{\alpha^2}{2}\right),\end{aligned}\qquad (30)

где использована приближенная формула $1/(1+x)\approx1-x$ .

Окончательно получаем, что относительное изменение емкости конденсатора равно

\frac{\Delta C}{C_0}=-\frac{\varepsilon-1}{2\varepsilon+1}\frac{\alpha^2}{2}.\qquad (31)

Схемы оценивания

Задание 3. Поле в диэлектрике

Пункт	Содержание	Всего за часть	Всего за пункт	Баллы
	Часть 1. Нормальное поле	40
1.1	Определение емкости конденсатора		6	1
	выражение для заряда на обкладке			1
	выражение для разности потенциалов			2
	Формула для напряженности (3)			2
1.2	Основная идея – суперпозиция полей		7	2
	Уравнение (4)			1
	Уравнение (5)			1
	Формула для поверхностной плотности (6)			2
	Формула (7)			1
1.3	Суперпозиция полей (7)		7	2
	Связь между полями (8)			2
	Использование «определения» $\varepsilon$			1
	формула для плотности заряда (9)			2
1.4	Напряженности полей вне и внутри пластины (10)-(11):		20	2
1.4.1	формулы для плотностей зарядов;		4	2
	правильные знаки			2
1.4.2	Емкость конденсатора		4
	Расчет разности потенциалов (13)			2
	Формула для емкости конденсатора (14)			2
1.4.3	Давление поля		10
	формула для давления (16)			2
	Учет напряженности только внешних полей			3
	формула (17)			2
	окончательное выражение (18)			2
	Пластина растягивается			1
	Часть 2. Наклонное поле	25
2.1.1	Постоянство тангенциальных составляющих		7	2
	(обоснование)			1
	Условие для нормальных составляющих (20)			2
	Использование «тангенсов»			1
	Закон преломления (22)			1
2.1.2	Выражение для модуля поля внутри пластины (23)		3	2
	Выражение для отношения полей (24)			1
2.2.1	Выбор траектории для расчета разности потенциалов		10	2
	Выражение для разности потенциалов (25)			1
	Формула для разности потенциалов (28)			4
	Формула для заряда на обкладках			1
	Формула для емкости (29)			2
2.2.2	Использование разложения косинуса		5	1
	Преобразования (30)			2
	Окончательный результат (31)			2
	ВСЕГО за задание 3	65

Итоговая ведомость

Код работы___________

	Задание 1	Задание 2	Задание 3	Всего за ТТ
Оценки после проверки
Подпись проверяющего
Изменения после ознакомления
Итоговые баллы
Подпись участника
Подпись члена жюри

Итоговая ведомость 10 класс: все поля и подписи

Оригинал в Архива: 2024_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2024_theoretical_solutions.pdf · допълнителни данни: 2024_theoretical_shemes.pdf