Съдържание

Условие Часть 1. Горизонтальный сосуд.Часть 2. Вертикальный сосуд.Листы ответов Решение

BelPhO 2024, Заключителен етап — Задача 10-2. 10 кл. Задание 2. Газовые законы

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2024

Республиканская физическая олимпиада 2024 года. Заключительный этап. Теоретический тур. 9, 10, 11 классы. Вариант 1. · 50 т.

Внимание: Бележка към темата

Сохранены печатные ошибки исходного комплекта: числовые и буквенные расхождения условий, решений и схем оценивания; некоторые повторные номера формул; заполненные образцы оценок в двух безымянных столбцах схем 11 класса. Схемы оценивания добавляют 14 страниц к 90 страницам основного комплекта. Архивный перечень из пяти задач не охватывает все классы и отдельные задачи разминок; сохранены все 12 печатных целых задач и 84 вопроса в рамках.

9 класс. Инструкции

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур 9 класс.

Внимание! Прочтите в первую очередь.

Полный комплект состоит из 3 заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
На отдельном листе приведены формулы приближенных вычислений, используйте их при решении задач, там, где это необходимо.
Решения задач выполняйте на отдельных чистых рабочих листах. Самостоятельно разделите их на черновики и чистовые листы. Рекомендуем сначала решать в черновике, а затем красиво оформить решение на чистовых листах. Решение каждого задания начинайте с нового чистового листа. В решении приведите рисунки (в некоторых задания рисунки необходимы, даже в том случае, когда это не оговорено в условии), исходные уравнения с кратким обоснованием, решения уравнений (комментарии к математическим выкладкам не требуются), окончательные результаты. Окончательные решения обязательно занесите в листы ответов. Чистовые листы пронумеруйте. Черновые листы после окончания работы перечеркните. Черновики проверяться не будут!

4.Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. 5. Все ваши работы сканируются, поэтому пишите только на одной стороне листа. Подписывать рабочие листы и листы ответов запрещается. 6. В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор. 7. После окончания работы сложите листы в следующем порядке: листы ответов; пронумерованные чистовые листы; перечеркнутые черновики. 8. Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады. Пакет содержит:

титульный лист (1 стр.);
лист математических подсказок (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий (8 стр.);
листы ответов (8 стр.);

9 класс. Формулы приближенных вычислений

Формулы приближенных вычислений.

При решении задач Вам могут понадобиться следующие приближенные формулы

$(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x$

формула справедлива при любых (целых. дробных, положительных, отрицательных) значениях степени $\gamma$ .

$\sin x\approx x$ , $\cos x\approx1-\frac{x^2}{2}$

аргументы тригонометрических функций должны быть заданы в радианах.

$e^x\approx1+x$ .

Комментарии.

Во всех формулах величина $x$ безразмерная и значительно меньше 1: $x\ll1$
Для использования этих формул, прежде всего необходимо привести вашу формулу к стандартному виду, которые даны здесь.
В ходе приближенных преобразований соблюдайте правило соблюдения порядка малости: если вы отбрасываете малые величины порядка $x^2$ и выше – отбрасывайте их сразу в промежуточных выкладках; если вы сохраняете величины определенного порядка, то сохраняйте их во всех преобразованиях

9 класс. Уважаемые члены жюри!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур

Решения задач 9 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами. Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

10 класс. Инструкции

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур 10 класс.

Внимание! Прочтите в первую очередь.

Полный комплект состоит из 3 заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
На отдельном листе приведены формулы приближенных вычислений, используйте их при решении задач, там, где это необходимо.
Решения задач выполняйте на отдельных чистых рабочих листах. Самостоятельно разделите их на черновики и чистовые листы. Рекомендуем сначала решать в черновике, а затем красиво оформить решение на чистовых листах. Решение каждого задания начинайте с нового чистового листа. В решении приведите рисунки (в некоторых задания рисунки необходимы, даже в том случае, когда это не оговорено в условии), исходные уравнения с кратким обоснованием, решения уравнений (комментарии к математическим выкладкам не требуются), окончательные результаты. Окончательные решения обязательно занесите в листы ответов. Чистовые листы пронумеруйте. Черновые листы после окончания работы перечеркните. Черновики проверяться не будут!

титульный лист (1 стр.);
лист математических подсказок (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий (7 стр.);
листы ответов (4 стр.);

10 класс. Формулы приближенных вычислений

Формулы приближенных вычислений.

При решении задач Вам могут понадобиться следующие приближенные формулы

$(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x$

формула справедлива при любых (целых. дробных, положительных, отрицательных) значениях степени $\gamma$ .

$\sin x\approx x$ , $\cos x\approx1-\frac{x^2}{2}$

аргументы тригонометрических функций должны быть заданы в радианах.

$e^x\approx1+x$ .

Комментарии.

Во всех формулах величина $x$ безразмерная и значительно меньше 1: $x\ll1$
Для использования этих формул, прежде всего необходимо привести вашу формулу к стандартному виду, которые даны здесь.
В ходе приближенных преобразований соблюдайте правило соблюдения порядка малости: если вы отбрасываете малые величины порядка $x^2$ и выше – отбрасывайте их сразу в промежуточных выкладках; если вы сохраняете величины определенного порядка, то сохраняйте их во всех преобразованиях

10 класс. Уважаемые члены жюри!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур

Решения задач 10 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

11 класс. Инструкции

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур

11 класс.

Внимание! Прочтите в первую очередь.

Полный комплект состоит из 3 заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
На отдельном листе приведены формулы приближенных вычислений, используйте их при решении задач, там, где это необходимо.
Решения задач выполняйте на отдельных чистых рабочих листах. Самостоятельно разделите их на черновики и чистовые листы. Рекомендуем сначала решать в черновике, а затем красиво оформить решение на чистовых листах. Решение каждого задания начинайте с нового чистового листа. В решении приведите рисунки (в некоторых задания рисунки необходимы, даже в том случае, когда это не оговорено в условии), исходные уравнения с кратким обоснованием, решения уравнений (комментарии к математическим выкладкам не требуются), окончательные результаты. Окончательные решения обязательно занесите в листы ответов. Чистовые листы пронумеруйте. Черновые листы после окончания работы перечеркните. Черновики проверяться не будут!

титульный лист (1 стр.);
лист математических подсказок (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий (7 стр.);
листы ответов (5 стр.);

11 класс. Формулы приближенных вычислений

Формулы приближенных вычислений.

При решении задач Вам могут понадобиться следующие приближенные формулы

$(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x$

формула справедлива при любых (целых. дробных, положительных, отрицательных) значениях степени $\gamma$ .

$\sin x\approx x$ , $\cos x\approx1-\frac{x^2}{2}$

аргументы тригонометрических функций должны быть заданы в радианах.

$e^x\approx1+x$ .

Комментарии.

Во всех формулах величина $x$ безразмерная и значительно меньше 1: $x\ll1$
Для использования этих формул, прежде всего необходимо привести вашу формулу к стандартному виду, которые даны здесь.
В ходе приближенных преобразований соблюдайте правило соблюдения порядка малости: если вы отбрасываете малые величины порядка $x^2$ и выше – отбрасывайте их сразу в промежуточных выкладках; если вы сохраняете величины определенного порядка, то сохраняйте их во всех преобразованиях

11 класс. Уважаемые члены жюри!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур

Решения задач 11 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Условие

Для проведения экспериментов используется следующая установка. Закрытый теплоизолированный цилиндрический сосуд 1 разделен на две части $a$ и $b$ подвижным поршнем 2. Объем поршня значительно меньше объема сосуда. Через небольшие трубки с кранами 3 и 4 в обе части сосуда можно закачивать газ. В части сосуда $a$ находится нагреватель 5, с помощью которого газу можно передавать теплоту.

Теплоемкостью сосуда и поршня можно пренебречь. Трением поршня р стенки сосуда также можно пренебречь. Поршень является теплопроводящим, поэтому газы в разных частях сосуда могут медленно обмениваться теплотой. Во всех экспериментах используется аргон (одноатомный газ). Внутренний объем сосуда равен $2V_0$ .

Часть 1. Горизонтальный сосуд.

В листе ответов приведена Таблица 1, в которой показаны последовательные состояния газов и примерное положение поршня. В этой Таблице приведены известные значения параметров газов. Вам необходимо заполнить эту таблицу, привести значения параметров газов (давление, объем температура) в различных состояниях.

При проведении расчетов, используйте обозначения параметров газов в различных состояниях, приведенные в Таблице 1. При решении уравнений можете использовать численные данные, приведенные в условии. Допускается проведение промежуточных численных расчетов. Все ответы должны быть выражены через значения параметров $P_0,V_0,T_0$ .

Помните, что обыкновенные дроби – числа точные, а десятичные – приближенные!

Сосуд расположили горизонтально, поршень делит сосуд на две равные части. Обе части сосуда заполняют газом и закрывают краны. При этом давление газов в обеих частях сосуда одинаковы и равны $P_0$ . Температура газа в части $b$ равна $T_0$ , а в части $a$ - $\frac32 T_0$ .

Поршень начинает медленно смещаться и через какой-то промежуток времени приходит в состояние равновесия.

1.1 Рассчитайте значения параметров газов (давления, объемы, температуры) в обеих частях сосудов, после установления теплового равновесия.

После достижения равновесия, газу в части $a$ с помощью нагревателя быстро сообщают количество теплоты равное $Q=\frac12 P_0V_0$ .

1.2 Пренебрегая смещением поршня и теплопередачей через поршень за время нагрева, рассчитайте значение параметров газов после прекращения нагревания.

После прекращения нагревания поршень приходит в движение и переходит в состояние равновесия.

Состояние 3 после нагревания и равновесия

1.3 Рассчитайте значения параметров газов в обеих частях сосудов, после установления теплового равновесия.

Часть 2. Вертикальный сосуд.

Обе части сосуда заполнили одинаковыми количествами аргона, и расположили сосуд вертикально.

Поршень находится в равновесии. При этом температуры газа в обеих частях сосуда равны, отношение объемов частей сосуда равно $\frac{V_{0b}}{V_{0a}}=\frac31$ , давление газа в верхней части сосуда - $P_0$ . (которое отличается начального давления в Части 1).

2 Рассчитайте, какое количество теплоты $Q$ необходимо сообщить газу, чтобы после достижения равновесия отношение объемов частей сосуда стало равным $\frac{V_{1b}}{V_{1a}}=\frac21$ .

Примечание. Изменением потенциальной энергии взаимодействия газа с Землей можно пренебречь.

Листы ответов

Оригинальный лист ответов: 10 кл. Задание 2. Газовые законы

Решение

Задание 2. Газовые законы (Решение)

Часть 1. Горизонтальный сосуд.

1.1 При достижении термодинамического равновесия выровняются давления и температуры газов обеих частях сосуда:

P_{1a}=P_{1b}=P_1,\qquad T_{1a}=T_{1b}=T_1.\qquad (1)

Для определения параметров газов запишем уравнения Клапейрона для обеих порций газов

\frac{P_0V_0}{\frac32T_0}=\frac{P_1V_{1a}}{T_1};\qquad\frac{P_0V_0}{T_0}=\frac{P_1V_{1b}}{T_1}.\qquad (2)

Разделим уравнения (2) друг на друга

\frac23=\frac{V_{1a}}{V_{1b}}.\qquad (3)

Добавим условие постоянства объема

V_{1a}+V_{1b}=2V_0.\qquad (4)

Из этих уравнений следует, что объемы газов станут равными

V_{1a}=\frac45V_0;\qquad V_{1b}=\frac65V_0.\qquad (5)

Из уравнений (2) найти значения установившихся давлений и температур нельзя, т.к. в них входят только их отношение. Поэтому следует воспользоваться первым законом термодинамики. Так как давления газов на поршень с разных сторон все время одинаковы, то работа газов по перемещению поршня равны нулю. Система теплоизолирована, поэтому внутренняя энергия газов сохраняется.

Внутреннюю энергию одноатомного газа можно рассчитать по формулам

U=\frac32\nu RT=\frac32PV.\qquad (6)

Здесь использовано уравнение состояния идеального газа $PV=\nu RT$ .

Уравнения закона сохранения энергии в данном случае имеет вид

\frac32P_0V_0+\frac32P_0V_0=\frac32P_1\cdot2V_0.\qquad (7)

из которого следует, что давление газа не изменяется, т.е.

P_{1a}=P_{1b}=P_0.\qquad (8)

Теперь установившуюся температуру можно найти из любого из уравнений (2):

\frac{P_0V_0}{T_0}=\frac{P_1V_{1b}}{T_1}\ \Rightarrow\ T_1=T_0\frac{V_{1b}}{V_0}.\qquad (9)

Используя найденное значение объема, получаем

T_{1a}=T_{1b}=\frac65T_0.\qquad (10)

1.2 Т.к. смещением поршня пренебрегаем, то объемы газов остаются неизменными:

V_{2a}=\frac45V_0;\qquad V_{2b}=\frac65V_0.\qquad (11)

Также остаются неизменными параметры газа в части сосуда $b$ :

P_{2b}=P_0;\qquad T_{2b}=\frac65T_0.\qquad (12)

В процессе нагревания полученная теплота идет на увеличение внутренней энергии газа в части сосуда $a$ :

\frac32P_0V_{1a}+Q=\frac32P_{2a}V_{1a}.\qquad (13)

Подставляем известные значения параметров

\frac32P_0\cdot\frac45V_0+\frac12P_0V_0=\frac32P_{2a}\cdot\frac45V_0.\qquad (14)

и находим

P_{2a}=\frac{17}{12}P_0.\qquad (15)

Значение температуры газа найдем из уравнения состояния Клапейрона (для состояний 0 и 2):

\frac{P_0V_0}{\frac32T_0}=\frac{P_{2a}V_{2a}}{T_{2a}}\ \Rightarrow\ \frac{2P_0V_0}{3T_0}=\frac{17}{12}P_0\cdot\frac45V_0\frac1{T_{2a}},\qquad (16)

из которого следует, что температура газа станет равной

T_{2a}=\frac{17}{10}T_0.\qquad (17)

1.3 После установления равновесия температуры и давления газов в разных частях сосуда станут равными

P_{3a}=P_{3b}=P_3,\qquad T_{3a}=T_{3b}=T_3.\qquad (18)

Для упрощения расчетов рассмотрим переход из состояния 0 в конечное состояние 3 (без промежуточных этапов). Первый закон термодинамики приводит к уравнению

\frac32P_0\cdot2V_0+Q=\frac32P_3\cdot2V_0,\qquad (19)

из которого сразу следует, что давление газа будет равно

P_{3a}=P_{3b}=\frac76P_0.\qquad (20)

Запишем уравнения состояния для обеих порций газов:

\frac{P_0V_0}{\frac32T_0}=\frac{P_3V_{3a}}{T_3};\qquad\frac{P_0V_0}{T_0}=\frac{P_3V_{3b}}{T_3}.\qquad (21)

Сложим эти два уравнения:

\frac53\frac{P_0V_0}{T_0}=\frac{P_3\cdot2V_0}{T_3}.\qquad (22)

и найдем значение конечной температуры:

T_3=\frac65T_0\frac{P_3}{P_0}=\frac75T_0.\qquad (23)

Таким образом:

T_{3a}=T_{3b}=\frac75T_0.\qquad (24)

Наконец, значения объем можно выразить из уравнений (21). Если разделить их друг на друга, получим

\frac{V_{3a}}{V_{3b}}=\frac23.\qquad (25)

Вспоминая. что $V_{1a}+V_{1b}=2V_0$ , находим

V_{3a}=\frac45V_0;\qquad V_{3b}=\frac65V_0.\qquad (26)

Все найденные значения параметров сведены в Таблице 1.

Таблица 1.

№	параметры газа в части $a$	параметры газа в части $b$
0	$P_{0a}=P_0$ ; $V_{0a}=V_0$ ; $T_{0a}=\frac32T_0$	$P_{0b}=P_0$ ; $V_{0a}=V_0$ ; $T_{0b}=T_0$
1	$P_{1a}=P_0$ ; $V_{1a}=\frac45V_0$ ; $T_{1a}=\frac65T_0$	$P_{1b}=P_0$ ; $V_{1b}=\frac65V_0$ ; $T_{1b}=\frac65T_0$
2	$P_{2a}=\frac{17}{12}P_0$ ; $V_{2a}=\frac45V_0$ ; $T_{2a}=\frac{17}{10}T_0$	$P_{2b}=P_0$ ; $V_{2b}=\frac65V_0$ ; $T_{2b}=\frac65T_0$
3	$P_{3a}=\frac76P_0$ ; $V_{3a}=\frac45V_0$ ; $T_{3a}=\frac75T_0$	$P_{3b}=\frac76P_0$ ; $V_{3b}=\frac65V_0$ ; $T_{3b}=\frac75T_0$

Часть 2. Вертикальный сосуд.

При решении данной задачи нет необходимости рассматривать все этапы процесса, можно сразу рассматривать переход от начального к конечному состоянию. Зная отношение объемов и их сумму, легко найти объемы каждой части сосуда.

В начальном состоянии:

объем нижней части $V_{0a}=\frac12V_0$ ;

объем верхней части $V_{0b}=\frac32V_0$ .

Начальное состояние вертикального сосуда, полная подпись и схема

Если давление газа в верхней части сосуда равно $P_0$ , то давление в нижней части равно $P_0+\Delta P$ , где $\Delta P$ - давление, которое создает поршень.

В конечном состоянии:

объем нижней части $V_{1a}=\frac43V_0$ ;

объем верхней части $V_{1b}=\frac23V_0$ .

Конечное состояние вертикального сосуда, полная подпись и схема

Обозначим давление газа в верхней части сосуда $P_1$ , тогда давление в нижней части - $P_1+\Delta P$ .

Запишем уравнение первого закона термодинамики:

Q=\Delta U+A.\qquad (27)

При вертикальном положении сосуда газ совершает работу по подъему поршня, которая равна

A=\Delta P\left(\frac23V_0-\frac12V_0\right)=\frac16\Delta PV_0.\qquad (28)

Эта величина также равна изменению потенциальной энергии поршня в поле тяжести Земли.

Выразим изменение внутренней энергии газа через значения давлений и объемов:

\begin{aligned}\Delta U&=\frac32\left(P_1\cdot\frac43V_0+(P_1+\Delta P)\cdot\frac23V_0\right)-\frac32\left(P_0\cdot\frac32V_0+(P_0+\Delta P)\cdot\frac12V_0\right)\\&=\frac32\left(P_1V_0+\Delta P\cdot\frac23V_0\right)-\frac32\left(P_0V_0+\Delta P\cdot\frac12V_0\right)=\frac32(P_1-P_0)V_0+\frac14\Delta PV_0.\end{aligned}\qquad (29)

Далее необходимо найти значения $\Delta P$ и $P_1$ . Для этого воспользуемся равенством масс газов в обеих частях сосудов. Для начального состояния можно записать

\frac32P_0V_0=\frac12(P_0+\Delta P)V_0.\qquad (30)

Отсюда следует

\Delta P=2P_0.\qquad (31)

Для конечного:

\frac43P_1V_0=\frac23(P_1+\Delta P)V_0,\qquad (30)

что дает

P_1=2P_0.\qquad (32)

Подставляя полученные значения в формулу (29), получим

\Delta U=\frac32(P_1-P_0)V_0+\frac14\Delta PV_0=2P_0V_0.\qquad (33)

Теперь можно вычислить количество сообщенной газу теплоты

Q=\Delta U+A=2P_0V_0+\frac16\cdot2P_0V_0=\frac73P_0V_0.\qquad (34)

Схемы оценивания

Задание 2. Газовые законы

Пункт	Содержание	Всего за часть	Всего за пункт	Баллы
	Часть 1. Горизонтальный сосуд.	35
1.0	Уравнение состояния газа;		6	2
	1 закон термодинамики;			2
	Выражение для внутренней энергии газа.			2
1.1	Условия термодинамического равновесия (1)-(2)		13	2
	Уравнения состояния (2)-(3)			2
	Значения объемов $V_{1a}$ , $V_{1b}$			2
	Уравнение закона сохранения энергии (7)			2
	Газ работы не совершает			1
	Значения давлений (8)			2
	Значения температуры (10)			2
1.2	Значения объемов и параметров в части $b$ неизменны		9	2
	Изменение энергии равно количеству теплоты. Уравнение (13)			2
	Значение давления (15)			3
	Значение температуры (17)			2
1.3	Условия равновесия (18)		7	1
	Значение давлений (20)			3
	Значения температур (22)			3
	Часть 2. Вертикальный сосуд.	15
2.1	Значения начальных объемов		15	1
	Значения конечных объемов			1
	Уравнение 1 закона термодинамики (27)			1
	Разность давлений постоянна			1
	Вычисление работы газа (28) (изменение потенциальной энергии поршня)			2
	Вычисление изменения внутренней энергии (29)			3
	Вычисление $\Delta P$			2
	Выражение для изменения внутренней энергии (33)			2
	Окончательное выражение для количества теплоты (34)			2
	ВСЕГО за задание (2)	50

Оригинал в Архива: 2024_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2024_theoretical_solutions.pdf · допълнителни данни: 2024_theoretical_shemes.pdf