Съдържание

НЕСФ 2001, Специална тема — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2001

Национално есенно състезание по физика 2001, Специална тема (В. Търново) · 100 т.

Внимание: Бележка към темата

Отпечатано в края на темата: „ЗАДЪЛЖИТЕЛНО СЕ РЕШАВАТ ТРИ ЗАДАЧИ ОТ ДАДЕНИТЕ ЧЕТИРИ.“ Точките на участник се формират от най-добрите три задачи.

Условие

На фигурата са дадени две изотерми на 1 mol от дадено вещество, което може да извършва фазовия преход течност – газ. Системата от това вещество извършва обратимия кръгов процес ГАВСДЕГ като процесита ВС и ЕГ са адиабатни. Газообразната фаза АВСД да се разглежда като идеален газ, а в състоянието Г системата е изцяло в течна фаза. Топлината на изпарение при процеса ГА е постоянна и е $\lambda = 50\ \mathrm{J/mol}$ , температурите на изотермите са $T_1 = 400\ \mathrm{K}$ и $T_2 = 200\ \mathrm{K}$ , $\lg\dfrac{V_B}{V_A} = 0{,}60$ и $\lg\dfrac{V_C}{V_B} = 0{,}75$ , където $V_A$ , $V_B$ и $V_C$ са обемите на системата в състоянията А, В и С съответно.

Универсалната газова константа $R = 8{,}314\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{mol}}$

Диаграма налягане–обем с две изотерми и затворен цикъл през състоянията Г, А, В, С, Д, Е. — $p$ – $V$ диаграма с двете изотерми $T_1$ и $T_2$ , областта на фазовия преход и кръговия процес ГАВСДЕГ; отбелязани са обемите $V_A$ , $V_B$ и $V_C$ .

а/ Да се определят извършената работа $A$ и обмененото ко ичество топлина $Q$ при дадения кръгов процес;

б/ Да се определи коефициента на полезно действие /кпд/ $\eta$ на топлинна машина, чието работно тяло е дадената система и то извършва периодически кръговия процесГАВСДЕГ;

в/ Да се определи коефициента на Поасон $\gamma$ на системата, който участва в уравнението на адиабатния процес ВС, имащо вида $P\cdot V^{\gamma} = \mathrm{const}$ ;

г/ Да се определи изменението $\Delta U_{ДА}$ на вътрешната енергия на систематапри преминаването й от състояние Д в състояние А.

Отговори

Решение

Решение на 2. задача:

а/Понеже изменението на вътрешната енергия на едно тяло при кръгов процес е равно на нула, то извършената работа при дадения кръгов процес е равно на обмененото при него количество топлина –

A = Q. \qquad /1/

Ясно е, че обмененото количество топлина $Q_{ГА}$ при процеса ГА е равно на $\lambda$ . Поради това, че вътрешната енергия на идеален газ не зависи от обема му /закон на Джаул/, обмененото колечиство топлина при изотермен процес в идеален газ е равно на извършената при него работа –

Q_{AB} = RT_1\ln\frac{V_B}{V_A} = 2{,}3\,RT\lg\frac{V_B}{V_A} = A_{AB}. \qquad /2/

Като използваме съотношението

\frac{\delta Q}{T} = dS, \qquad /3/

където $S$ е ентропията на системата и го приложим за дадения кръгов процес, получаваме

\frac{\Delta Q_{ГА}}{T_1} + \frac{Q_{AB}}{T_1} + \frac{Q_{СДЕ}}{T_2} = 0, \qquad /4/

от където като имаме предвид /2/ получаваме

Q_{СДЕ} = -\frac{T_2}{T_1}\left(\lambda + RT_1\ln\frac{V_B}{V_A}\right) = -\frac{T_2}{T_1}\left(\lambda + 2{,}3\,RT_1\lg\frac{V_B}{V_A}\right). \qquad /5/

Тогава

A = Q = \left(\lambda + 2{,}3\,RT_1\lg\frac{V_B}{V_A}\right)\cdot\frac{T_1-T_2}{T_1} = 2319{,}7\ \mathrm{J}. \qquad /6/

б/Кпд $\eta$ се дефинира така

\eta = \frac{A}{Q_1}, \qquad /7/

където $Q_1$ е приетото за един цикъл количество топлина. Очевидно

Q_1 = Q_{ГА} + Q_{AB} = \lambda + RT_1\ln\frac{V_B}{V_A}. \qquad /8/

От /6/, /7/ и /8/получаваме

\eta = \frac{T_1-T_2}{T_1} = 0{,}50.

в/ Уравнението за адиабатен процес в идеален газ може да се напише и така

TV^{\gamma-1} = \mathrm{const.} \qquad /9/

Приложено за адиабатния процес ВС получаваме уравнението

T_1V_B^{\gamma-1} = T_2V_C^{\gamma-1},

откъдето получаваме

\gamma = 1 + \frac{\lg\dfrac{T_1}{T_2}}{\lg\dfrac{V_C}{V_B}} = 1{,}40.

г/ Изменението $\Delta U$ на вътрешната енергия по кръговия процес АВСДА е равно на 0 –

0 = \Delta U = \Delta U_{ДА} + \Delta U_{BC} = \Delta U_{ДА} - A_{BC}.

Работата $A_{BC}$ по адиабатния процес ВС е известна

A_{BC} = \frac{P_CV_C^{\gamma}}{1-\gamma}\left[\frac{1}{V_C^{\gamma-1}} - \frac{1}{V_B^{\gamma-1}}\right] = \frac{RT_1}{\gamma-1}\left[\left(\frac{V_C}{V_B}\right)^{\gamma-1} - 1\right]

Следователно

\Delta U_{ДА} = \frac{RT_1}{\gamma-1}\left[\left(\frac{V_C}{V_B}\right)^{\gamma-1} - 1\right] = 8{,}3\cdot 10^{3}\ \mathrm{J}.

Оригинал в Архива: esenni_2001_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2001_STsolutions.pdf