Съдържание

НЕСФ 2001, Специална тема — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2001

Национално есенно състезание по физика 2001, Специална тема (В. Търново) · 125 т.

Внимание: Бележка към темата

Отпечатано в края на темата: „ЗАДЪЛЖИТЕЛНО СЕ РЕШАВАТ ТРИ ЗАДАЧИ ОТ ДАДЕНИТЕ ЧЕТИРИ.“ Точките на участник се формират от най-добрите три задачи.

Условие

а/ Да се намерят законите за трансформация при преход от една инерциална отправна система /ИОС/ К към друга ИОС К' на пълната механична енергия Е и на проекцията $p_x$ върху оста Ох на импулса $\vec p$ на едно тяло, което се движи по оста Ох на ИОС К. Началото О' на ИОС К' се движи със скорост с големина $V$ спрямо ИОС К,абсцисните оси на К и К' постоянно съвпадат, а ординатните им оси, както и апликатните им оси са постоянно успоредни.

б/ Скоростта $\vec v$ на една частица постоянно лежи в координатната равнина $Oxy$ на една ИОС К и сключва ъгъл $\tilde\theta$ с оста $Oy$ . Как се трансформира ъгълът $\tilde\theta$ при преход от ИОС К към ИОС К'? Как се трансформира при този преход ъгълът $\theta$ между посоката на скоростта на един фотон и абсцисната ос $Ox$ на ИОС К?

в/ Явлението, при което посоката на даден светлинен лъч спрямо един наблюдател се променя спрямо друг наблюдател, който се движи спрямо първия, се нарича светлинна аберация. Ако $\theta$ е ъгълът, който сключва светлинен лъч с оста $Ox$ на ИОС К, а $\theta'$ е ъгълът, който сключва този лъч с оста $O'x'$ на ИОС К', то ъгълът $\Delta\theta = \theta' - \theta$ се нарича ъгъл на аберациата. Да зе определи ъгълът на аберацията за лъч, който пада перпендикулярно на оста $Ox$ , ако $V = \dfrac{\sqrt3\,c}{2}$ , където $c$ е скоростта на светлината във вакуум. Да се определи ъгълът на аберациата в общия случай, ако $V \ll c$ с точност до величини от втори порядък на $V/c$ ;

г/ Частица с кинетична енергия $E_k = 1{,}6\cdot 10^{-10}\ \mathrm{J}$ , равна на утроената й енергия на покой се удря в друга такава частица, която е неподвижна.Да се определят пълната механична енергия на системата от двете частици и проекциите на импулсите им върху оста О'x' спрямо ИОС К', неподвижно свързана с центъра на масите на двете частици. Да се определи и скоростта на началото ИОС К' спрямо ИОС К, спрямо която втората частица преди удара е неподвижна.

Отговори

а/ $p'_x=\frac{p_x-\frac{EV}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}},\qquad E'=\frac{E-p_xV}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}$
б/ $\mathrm{tg}\,\theta' = \frac{v\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}\sin\theta}{v\cos\theta - V}$

За фотон ( $v=c$ ): $\mathrm{tg}\,\theta' = \frac{\sqrt{1-V^2/c^2}\,\sin\theta}{\cos\theta - V/c}$ .
в/ $\theta=\frac{3\pi}{2}\Rightarrow\theta'=\frac{7\pi}{6},\ \Delta\theta=-\frac{\pi}{3};\qquad \theta=\frac{\pi}{2}\Rightarrow\theta'=\frac{5\pi}{6},\ \Delta\theta=\frac{\pi}{3}=60^\circ;\qquad V\ll c:\ \Delta\theta=\frac{V}{c}\sin\theta\approx\frac{V}{c}\sin\theta'$

Отпечатаното решение разглежда двата случая $\theta = 3\pi/2$ и $\theta = \pi/2$ за перпендикулярния лъч, а за общия случай $V \ll c$ дава $\Delta\theta = \frac{V}{c}\sin\theta \approx \frac{V}{c}\sin\theta'$ .
г/ $E' = \sqrt{10}\,m_0c^2 = 1{,}69\cdot10^{-10}\ \mathrm{J};\quad p' = \frac{E_k}{\sqrt6\,c} = 2{,}18\cdot10^{-19}\ \mathrm{kg\cdot m/s};\quad V = \frac{\sqrt3}{\sqrt5}c = 2{,}32\cdot10^{8}\ \mathrm{m/s}$

Числената стойност в полето е скоростта $V$ на ИОС К'; пълната енергия и импулсът са дадени в latex.

Решение

Решение на задача 3:

а/ Като имаме предвид, че

p_x = \frac{m_0 v_x}{\sqrt{1-\dfrac{v_x^2}{c^2}}},\qquad E = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\dfrac{v_x^2}{c^2}}}. \qquad /1/

където $m_0$ е масата при покой, а $v_x$ е проекцията на скоростта $\vec v$ на тялото върху оста Ох, за проекцията $p'_x$ на импулса на тялото върху оста $O'x'$ получаваме последователно

p'_x = \frac{m_0v'_x}{\sqrt{1-\dfrac{v'^2_x}{c^2}}} = \frac{m_0(v_x-V)}{\left(1-\dfrac{v_xV}{c^2}\right)\sqrt{1-\dfrac{(v_x-V)^2}{c^2\left(1-\dfrac{v_xV}{c^2}\right)^2}}} = \frac{m_0(v_x-V)}{\sqrt{\left(1-\dfrac{v_xV}{c^2}\right)^2-\dfrac{(v_x-V)^2}{c^2}}} = \frac{m_0(v_x-V)}{\sqrt{\left(1-\dfrac{V^2}{c^2}\right)\left(1-\dfrac{v_x^2}{c^2}\right)}} = \frac{p_x - EV/c^2}{\sqrt{1-V^2/c^2}}. \qquad /2/

За енергията имаме

E' = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\dfrac{v'^2_x}{c^2}}} = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\dfrac{(v_x-V)^2}{c^2\left(1-\dfrac{v_xV}{c^2}\right)^2}}} = \frac{m_0c^2\left(1-\dfrac{v_xV}{c^2}\right)}{\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}\sqrt{1-\dfrac{v_x^2}{c^2}}} = \frac{E - p_xV}{\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}}. \qquad /3/

Следователно търсените трансформационни формули са

p'_x = \frac{p_x - \dfrac{EV}{c^2}}{\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}},\qquad E' = \frac{E - p_xV}{\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}}. \qquad /4/

б/ Компонентите на скоростта $\vec v$ спрямо $K$ са $v_x = v\sin\tilde\theta$ и $v_y = v\cos\tilde\theta$ , където $v = |\vec v|$ . Компонентите на скоростта $\vec v\,{}'$ на същата частица спрямо $K'$ са $v'_x = v'\sin\tilde\theta'$ и $v'_y = v'\cos\tilde\theta'$ . От закона на Айнщайн за събиране на скоростите

v'_x = \frac{v_x-V}{1-v_xV/c^2},\qquad v'_y = \frac{v_y\sqrt{1-V^2/c^2}}{1-v_xV/c^2}, \qquad /5/

имаме

v'\sin\tilde\theta' = \frac{v\sin\tilde\theta - V}{1-\dfrac{vV}{c^2}\sin\tilde\theta},\qquad v'\cos\tilde\theta' = \frac{v\sqrt{1-V^2/c^2}\,\cos\tilde\theta}{1-\dfrac{vV}{c^2}\sin\tilde\theta}. \qquad /6/

Като разделим двете равенства в /6/, получаваме търсения закон за трансформация

\mathrm{tg}\,\tilde\theta' = \frac{v\sin\tilde\theta - V}{v\sqrt{1-V^2/c^2}\,\cos\tilde\theta}. \qquad /7/

Ако $\theta$ е ъгълът между $\vec v$ и оста $Ox$ , то от /5/ имаме / $v_x = v\cos\theta$ , $v_y = v\sin\theta$ /

v'\cos\theta' = \frac{v\cos\theta - V}{1-\dfrac{vV}{c^2}\cos\theta},\qquad v'\sin\theta' = \frac{v\sqrt{1-V^2/c^2}\,\sin\theta}{1-\dfrac{vV}{c^2}\cos\theta}. \qquad /8/

Като разделим равенствата /8/ получаваме закона за трансформация

\mathrm{tg}\,\theta' = \frac{v\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}\,\sin\theta}{v\cos\theta - V}. \qquad /9/

За фотон, при $v = c$ , законът /9/ добива вида

\mathrm{tg}\,\theta' = \frac{\sqrt{1-V^2/c^2}\,\sin\theta}{\cos\theta - \dfrac{V}{c}}. \qquad /10/

в/ Ако $\theta = \dfrac{3\pi}{2}$ , то от /10/ получаваме, че $\mathrm{tg}\,\theta' = \dfrac{1}{\sqrt3}$ и $\theta' = \dfrac{7\pi}{6}$ , така че $\Delta\theta = -\dfrac{\pi}{3}$ . Ако $\theta = \dfrac{\pi}{2}$ , то $\theta' = \dfrac{5\pi}{6}$ и $\Delta\theta = \dfrac{\pi}{3} = 60^\circ$ .

Ако $V \ll c$ , то от /10/ имаме / $(1+x)^{\alpha} \approx 1+\alpha x$ , $(|x| \ll 1)$ /

\mathrm{tg}\,\theta' - \mathrm{tg}\,\theta = \frac{\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}\,\sin\theta}{\cos\theta - \dfrac{V}{c}} - \mathrm{tg}\,\theta \approx \left(1-\frac{V^2}{2c^2}\right)\mathrm{tg}\,\theta\left(1+\frac{V}{\cos\theta}\right) - \mathrm{tg}\,\theta \approx \frac{V}{c}\sin\theta,

\Delta\theta = \frac{V}{c}\sin\theta \approx \frac{V}{c}\sin\theta'.

г/ Получения закон за трансформация в а/ е аналогичен на трансформациите на Лоренц. Подобно както при последните остава инвариантна формата $c^2t^2-x^2-y^2-z^2$ , така и при преход от $K$ в $K'$ инвариантна е квадратичната форма $E^2 - c^2p^2$ . Така в сила е равенството

E'^2 - c^2p'^2_x = E^2 - c^2p_x^2. \qquad /11/

Прилагаме го за системата от двете частици. Спрямо $K'$ сумарния импулс $\vec p\,{}' = 0$ , така че

E'^2 = (E_k + 2m_0c^2)^2 - \frac{c^2m_0^2v^2}{1-\dfrac{v^2}{c^2}}. \qquad /12/

Скоростта $v$ на първата частица спрямо $K$ намираме от формфлата за кинетичната енергия

E_k = m_0c^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}} - 1\right)\ \Longrightarrow\ v = c\,\frac{\sqrt{E_k(E_k+2m_0c^2)}}{m_0c^2 + E_k} = \frac{\sqrt{15}}{4}c,\quad (E_k = 3m_0c^2), \qquad /13/

и тогава от /12/ следва, че

E' = \sqrt{10}\,m_0c^2 = \frac{\sqrt{10}}{3}E_k = 1{,}69\cdot 10^{-10}\ \mathrm{J}. \qquad /14/

Прилагайки закона /11/ за неподвижната спрямо $K$ частица имаме

m_0^2c^4 = \frac{1}{4}E'^2 - c^2p'^2_x \qquad /15/

откъдето получаваме, че големините на импулсите и на двете частици спрямо $K'$ са равни на

p' = \frac{\sqrt3}{\sqrt2}\,m_0c = \frac{E_k}{\sqrt6\,c} = 2{,}18\cdot 10^{-19}\ \frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.

За да определим големината на скоростта $V$ , използваме трансформационната формула /4/ за импулса на втората частица

-\frac{\sqrt3}{\sqrt2}m_0c = -\frac{m_0c^2V}{c^2\sqrt{1-V^2/c^2}}\ \Longrightarrow\ V = \frac{\sqrt3}{\sqrt5}c = 2{,}32\cdot 10^{8}\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.

Ръкописна схема с два лъча, сключващи ъгли theta и theta' с хоризонталната ос, и разликата между тях. — Фигурата към решението на подточка в) — ъглите $\theta$ и $\theta'$ на лъча спрямо осите $Ox$ и $O'x'$ на двете ИОС и ъгълът на аберацията $\Delta\theta$ .

Оригинал в Архива: esenni_2001_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2001_STsolutions.pdf