Съдържание

НЕСФ 2001, Специална тема — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2001

Национално есенно състезание по физика 2001, Специална тема (В. Търново) · 120 т.

Внимание: Бележка към темата

Отпечатано в края на темата: „ЗАДЪЛЖИТЕЛНО СЕ РЕШАВАТ ТРИ ЗАДАЧИ ОТ ДАДЕНИТЕ ЧЕТИРИ.“ Точките на участник се формират от най-добрите три задачи.

Условие

Свободна микрочастица с маса в покой $m_0$ извършва праволинейно движение по посока на оста Ох.

Указание: При решаването на задачата използвайте следната формула

(1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x,\quad (|x| \ll 1).

Константата на Планк е $h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}$ .

а/ да се определи вълната $\psi$ , получена от наслагването на две вълни на дьо Бройл на частицата, съответствуващи на нейни скорости с големини $v - \Delta v$ и $v + \Delta v$ , където величината $\Delta v$ е такава, че $\dfrac{|\Delta v|}{v} \ll 1$ ;

б/ Аргументът на по-бързо променящия се множител на $\psi$ разглеждаме като фаза на вълната $\psi$ , а другият множител – като модулираща функция. По-малка или по-голяма от скоростта на светлината във вакуум $c$ е фазовата скорост на вълната $\psi$ , т.е. скоростта, с която се движат геометричните места на точки с една и съща фаза? Какво означава получения резултат?

в/ Скоростта $v_g$ , с която се движат максимумите на модулиращата функция се нарича групова скорост на вълната $\psi$ . Да се определи $v_g$ с точност до величина от порядъка на $\dfrac{|\Delta v|}{v}$ ;

г/ Нека микрочастицата е нерелативистка и в началния момент $t = 0$ тя и локализирана в област с ширина $\Delta x(0)$ . Тогава се казва, че частицата се описва с вълнов пакет $\psi(x,t)$ , който е суперпозиция на вълни но дьо Бройл и в момента $t$ практически е отличен от 0 само в област с ширина $\Delta x(t)$ . Да се определи функцията $\Delta x(t)$ . Каква функция на времето е тя? Ако $m_0 = 1{,}67\cdot 10^{-27}\ \mathrm{kg}$ , а $\Delta x(0) = 10^{-10}\ \mathrm{m}$ , каква е ширината на пакета на частицата в момента $t = 0{,}5\ \mathrm{s}$ ?

Отговори

Решение

Решение на 4.задача:

а/ Реалните части на въ ните на Дьо Бройл, аташирани към частица, която се движи със скорост $v - \Delta v$ и със скорост $v + \Delta v$ са

\mathrm{Re}\,\psi_1 = A\cos(k_1x - \omega_1 t) = A\cos\left(\frac{p_1x}{\hbar} - \frac{E_1t}{\hbar}\right),

\mathrm{Re}\,\psi_2 = A\cos(k_2x - \omega_2 t) = A\cos\left(\frac{p_2x}{\hbar} - \frac{E_2t}{\hbar}\right),\qquad \left(\hbar = \frac{h}{2\pi}\right), \qquad /1/

където $A$ е амплитудата на вълните

E_1 = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\dfrac{(v-\Delta v)^2}{c^2}}} = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}\left(1-\dfrac{\Delta v}{v}\right)^2}} \approx \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}\left\{1 - \frac{v\Delta v}{c^2\left(1-\dfrac{v^2}{c^2}\right)}\right\} = E_0\left\{1 - \frac{v\Delta v}{c^2(1-v^2/c^2)}\right\},\qquad E_0 = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}, \qquad /2/

E_2 = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\dfrac{(v+\Delta v)^2}{c^2}}} = E_0\left\{1 + \frac{v\Delta v}{c^2(1-v^2/c^2)}\right\} \qquad /3/

са енергиите на частицата, когато скоростите й са $v-\Delta v$ и $v+\Delta v$ съответно, а

p_1 = \frac{m_0(v-\Delta v)}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}\left(1-\dfrac{\Delta v}{v}\right)^2}} \approx \frac{m_0(v-\Delta v)}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}\left\{1 - \frac{v\Delta v}{c^2\left(1-\dfrac{v^2}{c^2}\right)}\right\} = \frac{m_0v}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}\left\{1 - \frac{\Delta v}{v(1-v^2/c^2)}\right\},\qquad p_2 = p_0\left\{1 + \frac{\Delta v}{v(1-v^2/c^2)}\right\},\qquad p_0 = \frac{m_0v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}, \qquad /4/

са съответните й импулси. От /2/, /3/ и /4/ получаваме

\omega_1 = \frac{E_1}{\hbar} = \omega_0 - \Delta\omega_0,\quad \omega_2 = \frac{E_2}{\hbar} = \omega_0 + \Delta\omega_0,\quad k_1 = \frac{p_1}{\hbar} = (k_0 - \Delta k),\quad k_2 = \frac{p_2}{\hbar} = (k_0 + \Delta k), \qquad /5/

където

k_0 = \frac{m_0v}{\hbar\sqrt{1-v^2/c^2}},\qquad \Delta\omega = \frac{m_0c^2\dfrac{v^2}{c^2}}{\hbar(1-v^2/c^2)^{3/2}}\cdot\frac{\Delta v}{v}, \qquad /6/

\omega_0 = \frac{E_0}{\hbar} = \frac{m_0c^2}{\hbar\sqrt{1-v^2/c^2}},\qquad \Delta k = \frac{m_0\Delta v}{\hbar(1-v^2/c^2)^{3/2}}. \qquad /7/

Така наслагващите се вълни но Дьо Бройл са

\mathrm{Re}\,\psi_1 = A\cos\{(k_0-\Delta k)x - (\omega_0 - \Delta\omega)t\},

\mathrm{Re}\,\psi_2 = A\cos\{(k_0+\Delta k)x - (\omega_0 + \Delta\omega)t\}. \qquad /8/

Като използваме тригонометричната формула

\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha+\beta}{2}, \qquad /9/

за реалната част на вълната $\psi$ получаваме

\mathrm{Re}\,\psi = \mathrm{Re}\,\psi_1 + \mathrm{Re}\,\psi_2 = 2A\cos(x\Delta k - t\Delta\omega)\cos(k_0x - \omega_0 t). \qquad /10/

б/ Фазовата скоростина вълната $\psi$ се определя от условието

k_0\Delta x = \omega_0\Delta t.

Следователно

u = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{\omega_0}{k_0} = \frac{c^2}{v} > c.

в/ Максимумите на модулиращата функция се движат със скорост, определена от условието

\Delta x\cdot\Delta k - \Delta t\cdot\Delta\omega = 0.

Следователно

v_g = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{\Delta\omega}{\Delta k} = v.

г/ Когато една частица е локализирана в дадена област, скоростта й не е определена точно и се характеризира с неопределеност, която се определя от съотношенията за неопределеност на Хайзенберг. Това ни дава основание да считаме, че различни части ва един вълнов пакет има различни скорости /вж. фигурата, която само ни дава представа за същността на явленията/. Нека груповите скорости на двата защриховани вълнови пакета се различават с $\Delta v_g$ . Разстоянието между пакетите при $t = 0$ е приблизително равно на ширината $\Delta x(0)$ на пакета. В момента $t$ ширината на пакета очевидно ще е равна на

\Delta x(t) = t\cdot\Delta v_g, \qquad /11/

при което считаме, че $\Delta x(0) \ll \Delta x(t)$ . От друга страна

\Delta v_g = \frac{\Delta v_g}{\Delta p}\,\Delta p, \qquad /12/

където $p$ е импулса на частицата. Но както знаем /вж. в// $v_g$ е равна на скоростта $v$ на частицата. Тогава от /12/ получаваме

\Delta v_g = \frac{\Delta p}{m_0}. \qquad /13/

От съотношението за неопределеност

\Delta p\cdot\Delta x(0) \approx h,

следва, че

\Delta p = \frac{h}{\Delta x(0)}. \qquad /14/

Като заместим /14/ в /11/ получаваме

\Delta x(t) = \frac{ht}{\Delta x(0)\cdot m_0}. \qquad /15/

Функцията /15/ е линейна.

\Delta x(0{,}5) \approx 2\ \mathrm{km}.

Ръкописна графика на вълнов пакет спрямо x, с означена ширина delta x(0). — Фигурата към решението на подточка г) — два защриховани вълнови пакета $\mathrm{Re}\,\psi$ с различни групови скорости и ширината $\Delta x(0)$ .

Оригинал в Архива: esenni_2001_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2001_STsolutions.pdf