Съдържание

НЕСФ 2001, Специална тема — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2001

Национално есенно състезание по физика 2001, Специална тема (В. Търново) · 75 т.

Внимание: Бележка към темата

Отпечатано в края на темата: „ЗАДЪЛЖИТЕЛНО СЕ РЕШАВАТ ТРИ ЗАДАЧИ ОТ ДАДЕНИТЕ ЧЕТИРИ.“ Точките на участник се формират от най-добрите три задачи.

Условие

В метален диск с радиус $R$ е изрязан цилиндричен отвор с радиус $r = \dfrac{R}{3}$ и с ос, успоредна на перпендикулярната на диска права $O'O''$ , която минава през центъра $O$ на окръжността, ограничаваща една от основите му и отстояща на разстояние $d = \dfrac{2R}{3}$ от тази права /вж. фигурата/. Дискът може да се върти свободно и без триене около споменатата права $O'O''$ , която е хоризонтална и неподвижна. През диска е прехвърлена неразтегаема нишка с нищожно малка маса, в краищата на която са окачени две тела $M_1$ и $M_2$ с маси $m_1$ и $m_2$ съответно като $m_1 \ge m_2$ . Хлъзгането на нишката по периферията на диска да не се отчита. Масата на изрязания диск е $M$ .

Схема на диска с отвор, окачен на хоризонтална ос, с две тела на нишка, прехвърлена през периферията му. — Дискът с радиус $R$ и изрязания цилиндричен отвор с радиус $r = R/3$ ; оста $O'O''$ през центъра $O$ , положението $O'_0$ на центъра на отвора, точките $P_1$ и $P_2$ и телата $M_1$ и $M_2$ , окачени на нишката.

а/ Да се намерят ускоренията на телата $M_1$ и $M_2$ и големината на ъгловото ускорение на диска;

б/ Какво е движението на диска при $m_1 = m_2 = m$ ?

в/ Да се определят силите на опъване на двете части на нишката $M_1P_1$ и $M_2P_2$ при $m_1 = m_2 = \dfrac{M}{2}$ ;

г/ Да се определи периода на движението на диска при малки негови трептения, ако $m_1 = m_2 = \dfrac{M}{2}$ ;

д/ Възможно ли е трептенията на диска да са малки, ако в началния момент центърът на отвора му $O'$ е в положение $O'_0$ ? Обосновете отговора си!

Отговори

Решение

Решение на 1. задача:

а/ Тъй като ускоренията не зависят от началните условия на задачата, то без ограничение на общността на нашите разглеждания можем да считаме, че началното положение на центъра $O'$ е върху оста $Ox$ – положението $O'_0$ . Тогава преместванията в даден момент на $M_1$ и $M_2$ имат големина $\xi$ и

\xi = \varphi R. \qquad /1/

Уравненията на движение на трите тела са (фиг. 1)

\left\{\;\begin{aligned} m_1 a &= m_1 g - T_1\\ -\,m_2 a &= m_2 g - T_2\\ J\varepsilon &= (T_1 - T_2)R - Mg\,|OG|\sin\varphi\\ a &= \varepsilon R \end{aligned}\right. \qquad /2/

където $J$ е инерчния момент на диска спрямо оста $O'O''$ , а $G$ е центъра на масите му.

За да намерим $|OG|$ разглеждаме фиг. 2.От определението на център на масите имаме

0 = Mz_G - \frac{\rho\pi R^2\ell}{9}\,2R, \qquad /3/

където

\rho = \frac{M}{\pi R^2\ell\left(1-\dfrac{1}{9}\right)} = \frac{9M}{8\pi R^2\ell}, \qquad /4/

е плътността на диска, а $\ell$ е дебелината му. От /3/ и /4/ получаваме

|OG| = z_G = \frac{R}{12}. \qquad /5/

За да определим инерчния момент $J$ на диска, използваме адитивността на инерчния момент и теоремата на Щайнер. Получаваме

J + \frac{\pi R^2\rho\ell}{9}\left(\frac{R^2}{2} + \frac{4R^2}{9}\right) = \frac{1}{2}\pi\rho\ell R^4 = \frac{4}{9}MR^2. \qquad /6/

От първото и второто уравнение на системата /2/ получаваме

T_1 = m_1(g-a),\quad T_2 = m_2(g+a), \qquad /7/

а от третото й уравнение и като използваме /7/ и /5/намираме

a = \frac{12(m_1-m_2)g - Mg\sin\varphi}{12\left(\dfrac{4}{9}M + m_1 + m_2\right)} \qquad /8/

Следователно ускорението на $M_1$ е $\vec a_1 = (a,0)$ , а ускорението на $M_2$ е $\vec a_2 = (-a,0)$ . Големината на ъгловото ускорение на диска е $\varepsilon = a/R$ .

б/ Като имаме предвид /8/ и /1/ при $m_1 = m_2 = m$ уравнението на движение на диска добива вида

\varepsilon = -\,\frac{3Mg\sin\varphi}{8R(2M+9m)},

което е уравнение на движение на физично махало.

в/ При $m_1 = m_2 = \dfrac{M}{2}$ големините на ускоренията на телата $M_1$ и $M_2$ са равни на

a = \frac{3g\sin\varphi}{52}.

Тогава от /7/ получаваме

-\vec T_1 = \left(\frac{M}{2}g\left(1 - \frac{3}{52}\sin\varphi\right),\,0\right),\qquad -\vec T_2 = \left(\frac{M}{2}g\left(1 + \frac{3}{52}\sin\varphi\right),\,0\right).

г/ Периодът е

T = 4\pi\sqrt{\frac{13R}{3g}}.

д/ Възможно е, защото при малки трептения енергията на махалото малко се отличаваот енергията му в стабилно равновесно състояние. Когато $O'$ е в положение $O'_0$ махалото е в стабилно равновесно състояние, защото тогава масовият му център има най-малка височина.

Ръкописна схема на силите върху диска и двете тела, с означени опънни сили и тежести. — фиг. 1 от решението — силите, действащи на диска и на телата $M_1$ и $M_2$ , ъгълът $\varphi$ и посоката на $\xi$ .

Ръкописна схема на диска с отвор, показваща разстоянията 2R/3 и z_G по хоризонталната ос. — фиг. 2 от решението — намиране на $|OG| = z_G$ : центърът $O'$ на отвора, центърът $O$ на диска, центърът на масите $G$ и разстоянието $2R/3$ .

Оригинал в Архива: esenni_2001_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2001_STsolutions.pdf