НЕСФ 2003, Специална тема — Задача 1

• а) $v_0^{Б} > \sqrt{\frac{g h_0}{2}} = 5{,}5\ \mathrm{m/s}$

• б) 3

  Броят на ударите е N = 3

• в) 0.104 m

Задача 1.

а) Нека вертикалните координати на топчетата А и Б са съответно $x^{А}$ и $x^{Б}$. Нека времето, за което топчето Б се връща на повърхността, без да се удря с топчето А, е $t_{Б}$. То се определя от уравнението

По условие $x_0^{Б} = 0$, а $t = t_{Б}$, когато $x^{Б} = 0$, следователно $0 = v_0^{Б} t_{Б} - \frac{g t_{Б}^2}{2}$, откъдето получаваме

Нека $t_1$ е времето до удара между двете топчета. За да могат двете топчета да се ударят преди топчето Б да се върне на повърхността. $t_1 < t_{Б}$.

Времето $t_1$ можем да намерим от уравнение (1) и уравнението за движение на топчето А:

следователно уравнение (2) се опростява до

Така, приравнявайки $x^{А} = x^{Б}$, получаваме $v_0^{Б} t_1 - \frac{g t_1^2}{2} = h_0 - \frac{g t_1^2}{2}$, откъдето $t_1 = \frac{h_0}{v_0^{Б}}$. Топчетата ще се ударят помежду си преди топчето Б да се удари в повърхността, когато $t_1 < t_{Б}$, или $\frac{h_0}{v_0^{Б}} < \frac{2 v_0^{Б}}{g}$, следователно $v_0^{Б} > \sqrt{\frac{g h_0}{2}}$. При дадените числени стойности за скоростта $v_0^{Б}$ се получава

б) При идеално еластичен удар в повърхността скоростта на топчето Б ще се запазва. Следователно движението му ще бъде периодично с период $t_{Б}$. В такъв случай броят на ударите $N$ на топчето Б в повърхността преди да се удари с топчето А определяме от условието

където $t_A$ е времето за падане на топче А, без да се удари с топче Б, а $t_{Б}$ е времето за падане на топче Б, без да се удари с топче А. $t_{Б}$ е намерено в подусловие а), а $t_A$ намираме от уравнение (2'). При $t = t_A$, $x_A = 0$, получаваме $0 = h_0 - \frac{g t_A^2}{2}$, $t_A = \sqrt{\frac{2 h_0}{g}}$. Така получаваме $\frac{t_A}{t_{Б}} = \frac{\sqrt{2h_0/g}}{2v_0^{Б}/g} = \sqrt{\frac{g h_0}{2}} \cdot \frac{1}{v_0^{Б}}$. При дадените числени стойности $\frac{t_A}{t_{Б}} = \sqrt{\frac{10\ \mathrm{m/s^2} \cdot 6{,}05\ \mathrm{m}}{2}} \cdot \frac{1}{1{,}5\ \mathrm{m/s}} = 3\tfrac{2}{3}$. Броят на ударите е $N = 3$.

в) За да намерим височината на удара $h$ при условията, дадени в подусловие б), уместно е да се разгледа движението на топчетата като се приеме за начален момент момента време, когато топчето Б вече се е ударило $N$ пъти в повърхността. Ако старото време е $t$, то новото време $t' = t - N t_{Б}$. В такъв случай от тук нататък задачата прилича на подусловие а) с тази разлика, че сега топчето А в този момент се намира на височина $h_0^{А}$ и има скорост $v_0^{А}$. $h_0^{А}$ и $v_0^{А}$ се намират от равенствата

Височината на удара $h$ определяме от законите на движение на двете топчета

В момента на удара $t'_{уд}$, $x^{А} = x^{Б} = h$. Тогава

Оттук като заместим в уравнение (7), получаваме

Използвайки дадените числени стойности последователно намираме от формули (1'), (4), (5) и (9)