Съдържание

НЕСФ 2003, Специална тема — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2003

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · Национално есенно състезание по физика · Стара Загора, 28 – 30 ноември 2003 г · Специална тема · 28 ноември 2003 г.

Внимание: Бележка към темата

Скани от 2000-те с влошен текстов слой; някои формули в решенията са възстановени по контекст.

Условие

На лявото рамо на равнораменна везна е поставен метален диск с радиус $R_C = 20\ \mathrm{cm}$ . На дясното рамо на същата везна е поставен тънък кръгов проводник с радиус $R_L = 20\ \mathrm{cm}$ . Точно под диска на лявото рамо е поставен идентичен диск на разстояние $d_C = 2\ \mathrm{mm}$ , а под дясното рамо – идентичен кръгов проводник на разстояние $d_L = 2\ \mathrm{mm}$ . Осите на дисковете и проводниците съвпадат. Тези четири елемента са свързани с проводници с пренебрежима маса и пренебрежимо съпротивление по такъв начин, че двата диска да образуват кондензатор, а по двата проводника да тече ток в една и съща посока. Двата проводника са включени последователно на кондензатора, така че може да се смята, че еквивалентната електрическа верига се състои от последователно включени кондензатор $C$ и индуктивност $L$ , а активното съпротивление във веригата може да се пренебрегне. Когато по веригата не тече ток, везната е в равновесие. След това към тази верига се подава източник на променливо синусово напрежение с амплитуда $U_0$ и с кръгова честота $\omega$ , която може да се променя. Това напрежение създава ток с амплитуда $I_0$ . Намерете:

а) Амплитудата на тока $I_0$ , който тече във веригата [1 т.]

б) Максималната стойност $Q_0$ на натрупания заряд върху всеки от двата диска като функция на $I_0$ [2 т.]

в) Средната сила $F_C$ , с която се привличат двата диска като функция на $I_0$ [2 т.]

г) Средната сила $F_L$ , с която си взаимодействат двата кръгови проводника като функция на $I_0$ [2 т.]

д) Честотата $\nu_{рав}$ , при която везната ще е равновесие. Ако тази установка е предназначена за измерване на скоростта на светлината $c$ , от дадените геометрични параметри и при измерена честота на равновесие $\nu_{рав} = 9{,}525\ \mathrm{MHz}$ , изчислете скоростта на светлината $c$ [2 т.]

е) Устойчиво ли ще е равновесието на везната при честота $\omega_{рав}$ . [1 т.]

Отговори

Решение

Задача 2.

а) Токът във верига, на която е подадено синусово напрежение, е също синусов. Амплитудите на напрежението $U_0$ и тока $I_0$ са свързани с техните ефективни стойности така:

I_{eff} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} \qquad (1)

U_{eff} = \frac{U_0}{\sqrt{2}} \qquad (2)

Ефективните стойности на тока и напрежението са свързани с импеданса $Z$ на веригата с уравнението

U_{eff} = I_{eff} Z \qquad (3)

Импедансът на верига, състояща се от последователно включени кондензатор с капацитет $C$ и проводници с индуктивност $L$ е равен на

Z = \sqrt{(\omega L)^2 + \frac{1}{(\omega C)^2}} \qquad (4)

Следователно амплитудата на тока $I_0$ е равна на

I_0 = \frac{U_0}{\sqrt{(\omega L)^2 + \frac{1}{(\omega C)^2}}} \qquad (5)

б) Промяната на заряда върху плочите на кондензатора (дисковете) $\frac{dQ(t)}{dt}$ е свързана с моментната стойност на тока $I(t) = I_0 \sin(\omega t)$ по следния начин:

\frac{dQ(t)}{dt} = I(t) \qquad (6)

След интегриране се намира, че

Q(t) = \int \frac{dQ(t)}{dt} dt = \int I_0 \sin(\omega t) dt = \frac{I_0}{\omega} \int \sin(\omega t)\, d(\omega t) = -\frac{I_0}{\omega} \cos(\omega t) + C, \text{ където } C = 0. \qquad (7)

Следователно максималната стойност на натрупания заряд $Q_0$ е

Q_0 = \frac{I_0}{\omega} \qquad (8)

в) Моментната сила $F_C(t)$ , с която ще си взаимодействат двата диска (двете плочи на кондензатора), е равна на

F_C(t) = Q(t) E_{диск}(t), \text{ където } E_{диск}(t) = \frac{F_C(t)}{2}, \qquad (9)

$E_C(t)$ – електричното поле в кондензатора, съставено от електричните полета, които създават двата диска. $E_C(t)$ е свързано с напрежението $U_C(t)$ : $E_C(t) = \frac{U_C(t)}{d_C}$ , а $U_C(t) = \frac{Q(t)}{C}$ , където $C = \frac{\varepsilon_0 S}{d_C} = \frac{\varepsilon_0 \pi R_C^2}{d_C}$ . Следователно

F_C(t) = \frac{Q(t)^2 d_C}{2 d_C \varepsilon_0 \pi R_C^2} = \frac{Q(t)^2}{2 \varepsilon_0 \pi R_C^2}. \qquad (10)

Формулата е аналогична на формулата за отделено количество топлина върху съпротивление при променлив ток:

Q(t) = I^2(t) R, \quad Q_{ср} = I_{eff}^2 R. \qquad (11)

Аналогично можем да въведем ефективна стойност на заряда $Q_{eff} = \frac{Q_0}{\sqrt{2}}$ . Тогава за средната сила $F_C$ ще получим

F_C = \frac{I_0^2}{4 \pi \varepsilon_0 \omega^2 R_C^2} \qquad (12)

г) Моментната сила $F_L(t)$ , с която ще си взаимодействат двата проводника може да се получи приближено по следния начин: тъй като разстоянието между проводниците $d_L \ll R_L$ , може да се приеме, че магнитното поле, което създава всеки един от проводниците в точка от другия проводник е приблизително същото, каквото би създавал прав безкраен проводник, а то е

B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d_L} \qquad (13)

Моментната сила, която ще действа на всеки един от проводниците по закона на Ампер (тя ще е сила на привличане) ще е равна на

F_L(t) = B(t) I(t) 2 \pi R_L = \frac{\mu_0 I^2(t) R_L}{d_L} \qquad (14)

Използвайки разсъжденията в подточка в) по същия начин се получава за средната сила

F_L = \frac{\mu_0 I_{eff}^2 R_L}{d_L} = \frac{\mu_0 I_0^2 R_L}{2 d_L} \qquad (15)

д) Везната ще бъде в равновесие, когато двете сили $F_C$ и $F_L$ се уравновесяват. От равенства (12) и (15) получаваме

\frac{I_0^2}{4 \pi \varepsilon_0 \omega_{рав}^2 R_C^2} = \frac{\mu_0 I_0^2 R_L}{2 d_L}. \qquad (16)

След опростяване получаваме

\omega_{рав} = \sqrt{\frac{d_L}{2 \varepsilon_0 \mu_0 \pi R_C^2 R_L}} = c \sqrt{\frac{d_L}{2 \pi R_C^2 R_L}}. \qquad (17)

При измерена честота $\nu_{рав} = 9{,}525\ \mathrm{MHz}$ за скоростта на светлината $c$ се получава

c = \omega_{рав} \sqrt{\frac{2 \pi R_C^2 R_L}{d_L}} = 2 \pi \nu_{рав} \sqrt{\frac{2 \pi R_C^2 R_L}{d_L}} = 2 \pi \cdot 9{,}525 \cdot 10^6\ \mathrm{s^{-1}} \sqrt{\frac{2 \pi \cdot (2 \cdot 10^{-1}\ \mathrm{m})^2 \cdot 2 \cdot 10^{-1}\ \mathrm{m}}{2 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{m}}} = 3{,}000 \cdot 10^8\ \mathrm{m/s} \qquad (18)

е) Тъй като силата $F_C$ на зависи от разстоянието между дисковете, а силата $F_L$ зависи от разстоянието $d_L$ между проводниците като $F_L \propto \frac{1}{d_L}$ , равновесието ще е неустойчиво.

Оригинал в Архива: esenni_2003_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2003_STsolutions.pdf