НЕСФ 2006, 9. клас — Задача 3

• а) $v_2^2 = 7{,}4.10^{10}\ \mathrm{m^2/s^2},\quad v_2 = 2{,}7.10^5\ \mathrm{m/s}$
• б) $v_n^2 = v_0^2 - \frac{|e|.d_1}{m}E\left(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\ldots+\frac{1}{4^{(n-1)/2}}\right)$

След попадане в електричното поле, на електрона ще действа сила с големина

$F = e.E$ (1 т.)

Която ще доведе до постоянно ускорение

$a = \dfrac{e}{m}E$ (1 т.)

Промяната на скоростта с разтоянието се описва от формулата

(*) $2da = v^2 - v_0^2$ (1 т.)

където $v_0$ е началната скорост, а $v$ – крайната скорост в участък с дължина $d$. При навлизането му в електричното поле електронът ще се движи равнозакъснително (силата, а следователно и ускорението му, са насочени срещу посоката на скоростта му) (1 т.) В следващата област електронът ще се движи равноускорително (1 т.) Изобщо в нечетните зони ще се движи равнозакъснително, а в четните – равноускорително.

а) Прилагайки уравнението (*) за първите две зони получаваме:

$2.d_1a - 2.d_2a = 2d_1\dfrac{|e|}{m}E\left(1-\dfrac{1}{2}\right) = v_0^2 - v_2^2$ (1 т.)

$v_2^2 = v_0^2 - d_1\dfrac{|e|}{m}E = (25.10^{10} - 17,6.10^{10})\dfrac{m^2}{s^2}$

или

$v_2^2 = 7,4.10^{10}\ m^2/s^2$, $v_2 = 2,7.10^5\ m/s$ (1 т.)

б) записваме уравненията за всяка област

$-2d_1a = v_1^2 - v_0^2$

$2d_2a = v_2^2 - v_1^2$

$-2d_3a = v_3^2 - v_2^2$

$2d_4a = v_4^2 - v_3^2$

$\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

$2d_na = v_n^2 - v_{n-1}^2$ (1 т.)

Където ускорението $a = \dfrac{|e|}{m}E$ е положителна величина.

Сумирайки уравненията 1..n получаваме

$2.a(d_1-d_2+d_3-d_4+\ldots-d_n) = v_0^2 - v_n^2$

или

$\dfrac{2|e|.d_1}{m}E\left(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}+\ldots+\dfrac{1}{2^{n-2}}-\dfrac{1}{2^{n-1}}\right) = v_0^2 - v_n^2$

$v_n^2 = v_0^2 - \dfrac{2|e|.d_1}{m}E\left(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}+\ldots+\dfrac{1}{2^{n-2}}-\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)$ (1 т.)

$v_n^2 = v_0^2 - \dfrac{|e|.d_1}{m}E\left(1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}+\ldots+\dfrac{1}{4^{(n-1)/2}}\right)$ (1 т.)