Съдържание

НЕСФ 2006, Специална тема — Задача 2. Токове на Фуко

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2006

Национално есенно състезание по физика 2006, Специална тема · 17 ноември 2006 г. · 10 т.

Условие

Цилиндър с радиус $r_0$ , дължина $h$ ( $h \gg r_0$ ), специфично съпротивление $\rho$ и коефициент на топлопроводност $\kappa$ е поставен в променливо магнитно поле, изменящо се по закона:

\vec{\text{B}} = \vec{\text{B}}_0 \sin(\omega t)

Векторът $\vec{\text{B}}_0$ е успореден на оста на цилиндъра. Индуктивността на цилиндъра се пренебрегва. Намерете:

а) плътността на тока $j(r)$ в тънък слой от цилиндъра с радиус $r$ и дебелина $dr$ . [2 т.]

б) мощността $dP(r)$ отделяща се в този тънък слой. [1 т.]

в) мощността $P$ (усреднена по времето), отделяща се в целия цилиндър [1 т.]

г) след известно време температурата на цилиндъра във всяка една негова точка престава да се променя. Ако цилиндърът излъчва като идеално черно тяло във вакуум с нулева температура, намерете температурата на неговата околна повърхност $T(r_0)$ и я пресметнете.

\omega = 314\,\text{s}^{-1}, \quad \left|\vec{\text{B}}_0\right| = 1\,\text{T}, \quad h = 1\ \text{m}, \quad r_0 = 5\,\text{mm}, \quad \rho = 1{,}55.10^{-8}\,\Omega.\text{m}, \quad \sigma = 5{,}67.10^{-8}\,\text{W}.\text{m}^{-2}.\text{K}^{-4}, \quad \kappa = 400\,\text{W}.\text{m}^{-1}.\text{K}^{-1}

[1 т.]

д) нека уравнението, описващо зависимостта на температурата $T(r)$ в дадена точка, е следното:

\frac{1}{r}\frac{dT(r)}{dr} + \frac{d^{2}T(r)}{dr^{2}} = -\frac{1}{\kappa}\frac{dP(r)}{dV}

, където $\dfrac{dP(r)}{dV}$ е отделената мощност от токовете на Фуко в единица обем на разстояние $r$ от оста. Нека функцията $T(r)$ е от вида:

T(r) = \text{A} - \text{B}r^{4}, \qquad \text{A и B – константи.}

Намерете разликата $\Delta T$ между температурата на оста на цилиндъра $T(0)$ и на неговата повърхност $T(r_0)$ . Ефектът от крайната дължина на цилиндъра се пренебрегва. [3 т.]

е) приемете, че порядъка на отношението на амплитудата на магнитното поле $\text{B}_{i0}$ , което създават индуцираните токове на оста на цилиндъра, към амплитудата на външното магнитно поле $\text{B}_0$ е критерий за възможността да се пренебрегне индуктивността на цилиндъра. Намерете това отношение и оценете дали при дадените параметри на задачата, това пренебрегване е приемливо. Ефектът от крайната дължина на цилиндъра се пренебрегва. [2 т.]

Отговори

Решение

а) В тънък слой от цилиндъра с радиус $r$ ще се индуцира напрежение $E_\text{i}$ , равно на

E_\text{i} = -\frac{d\Phi}{dt} = -\pi r^{2}\frac{d\text{B}}{dt} = -\pi r^{2}\omega \text{B}_0\cos(\omega t) \qquad \textbf{[0.5 т]} \qquad \text{(2.1)}

Това напрежение ще доведе до протичането на ток $dI$ , равен на

dI = \frac{E_\text{i}}{R} = \frac{\pi r^{2}\omega \text{B}_0\cos(\omega t)}{\dfrac{\rho 2\pi r}{dS}}\ , \quad\text{където}\quad dS = h.dr \qquad \textbf{[0.5 т]} \qquad \text{(2.2)}

Плътността на тока $j(r)$ е равна на

j(r) = \frac{dI}{dS} = \frac{r\omega \text{B}_0\cos(\omega t)}{2\rho} \qquad \textbf{[1 т]} \qquad \text{(2.3)}

б) мощността $dP(r)$ , отделяща се в този тънък слой, е равна на:

dP(r) = dI^{2}.R = \frac{E_\text{i}^{\,2}}{R} = \frac{\pi^{2}r^{4}\omega^{2}\text{B}_0^{\,2}\cos^{2}(\omega t)}{\dfrac{\rho 2\pi r}{dS}} = \frac{\pi r^{3}\omega^{2}\text{B}_0^{\,2}\cos^{2}(\omega t)h\,dr}{2\rho} \qquad \textbf{[1 т]} \qquad \text{(2.4)}

в) моментната мощност $P(t)$ , отделяща се в целия цилиндър е

P(t) = \int\limits_{0}^{r_0} dP(r)\,dr = \frac{\pi\omega^{2}\text{B}_0^{\,2}\cos^{2}(\omega t)h}{2\rho}\,\frac{r_0^{\,4}}{4} = \frac{\pi\omega^{2}\text{B}_0^{\,2}r_0^{\,4}h\cos^{2}(\omega t)}{8\rho} \qquad \textbf{[0,5 т]} \qquad \text{(2.5)}

Усреднената по времето мощност $\langle P\rangle$ , отделяща се в целия цилиндър е равна на

\langle P\rangle = \frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T} P(t)\,dt = \frac{\pi\omega^{2}\text{B}_0^{\,2}r_0^{\,4}h}{8\rho}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\pi\omega^{2}\text{B}_0^{\,2}r_0^{\,4}h}{16\rho} \qquad \textbf{[0,5 т]} \qquad \text{(2.6)}

г) При термодинамично равновесие цялата топлинна мощност, образувана от токовете на Фуко, се изразходва за излъчване. Тъй като ( $h \gg r_0$ ), то може да приемем, че

\langle P\rangle = \sigma T(r_0)^{4}.S(r_0) \quad \text{или} \qquad \text{(2.7)}

\frac{\pi\omega^{2}\text{B}_0^{\,2}r_0^{\,4}h}{16\rho} = \sigma T(r_0)^{4}.2\pi r_0 h\ , \quad \text{откъдето} \qquad \text{(2.8)}

T\!\left(r_0\right) = \sqrt[4]{\frac{\omega^{2}\text{B}_0^{\,2}r_0^{\,3}}{32\rho\sigma}} \qquad \textbf{[0,5 т]} \qquad \text{(2.9)}

при дадените стойности

T\!\left(r_0\right) = \sqrt[4]{\frac{\left(314\,\text{s}^{-1}\right)^{2}\left(1\,\text{T}\right)^{2}\left(5.10^{-3}\,\text{m}\right)^{3}}{32.\left(1{,}55.10^{-8}\,\Omega.\text{m}\right)\left(5{,}67.10^{-8}\,\text{W}.\text{m}^{-2}.\text{K}^{-4}\right)}} = 193\ \text{K} \qquad \textbf{[0,5 т]} \qquad \text{(2.10)}

д) намираме първата производна на $T(r)$ :

\frac{dT(r)}{dr} = -4\text{B}r^{3} \qquad \text{(2.11)}

намираме втората производна на $T(r)$ :

\frac{d^{2}T(r)}{dr^{2}} = -12\text{B}r^{2} \qquad \text{(2.12)}

Намираме отделената мощност от токовете на Фуко в единица обем на разстояние $r$ от оста $\dfrac{dP(r)}{dV}$ (използвайки (2.4)):

\left\langle\frac{dP(r)}{dV}\right\rangle = \frac{\pi r^{3}\omega^{2}\text{B}_0^{\,2}\left\langle\cos^{2}(\omega t)\right\rangle h\,dr}{2\rho.2\pi r\,dr\,h} = \frac{\omega^{2}\text{B}_0^{\,2}r^{2}}{8\rho} \qquad \textbf{[0,5 т]} \qquad \text{(2.13)}

замествайки в даденото в условието уравнение:

\frac{1}{r}\frac{dT(r)}{dr} + \frac{d^{2}T(r)}{dr^{2}} = -\frac{1}{\kappa}\frac{dP(r)}{dV}\ , \quad \text{се получава} \qquad \text{(2.14)}

-4\text{B}r^{2} - 12\text{B}r^{2} = -\frac{\omega^{2}\text{B}_0^{\,2}r^{2}}{8\rho\kappa}\ , \quad \textbf{[1 т]} \quad \text{откъдето} \qquad \text{(2.15)}

\text{B} = \frac{\omega^{2}\text{B}_0^{\,2}}{128\rho\kappa} \qquad \text{(2.16)}

Тъй като $T\!\left(r\right) = \text{A} - \text{B}r^{4}$ , разликата $\Delta T$ между температурата на оста на цилиндъра $T(0)$ и на неговата повърхност $T(r_0)$ е

\Delta T = T(0) - T(r_0) = \text{B}r_0^{\,4} = \frac{\omega^{2}\text{B}_0^{\,2}r_0^{\,4}}{128\rho\kappa} \qquad \textbf{[1 т]} \qquad \text{(2.17)}

след заместване с дадените стойности

\Delta T = \frac{\left(314\,\text{s}^{-1}\right)^{2}\left(1\,\text{T}\right)^{2}\left(5.10^{-3}\,\text{m}\right)^{4}}{128.\left(1{,}55.10^{-8}\,\Omega.\text{m}\right)\left(400\,\text{W}.\text{m}^{-1}\text{K}^{-1}\right)} = 0{,}078\,\text{K} \qquad \textbf{[0,5 т]} \qquad \text{(2.18)}

е) амплитудата на магнитното поле $\text{B}_{i0}$ , което създават индуцираните токове на оста на цилиндъра, може да се намери като се използва теоремата за циркулацията, уравнение (2.3) и се интегрира по сечението на проводника (т.е. правоъгълника със страни $h$ и $r_0$ ):

\text{B}_{i0}.h = \mu_0\int\limits_{0}^{r_0}\frac{r\omega \text{B}_0}{2\rho}h\,dr \quad \textbf{[0,5 т]}\ , \quad \text{откъдето} \qquad \text{(2.19)}

\text{B}_{i0} = \frac{\mu_0\omega \text{B}_0 r_\text{o}^{\,2}}{4\rho} \qquad \textbf{[0,5 т]} \qquad \text{(2.20)}

отношението $\dfrac{\text{B}_{i0}}{\text{B}_0}$ ни показва колко пъти магнитното поле, индуцирано от възникналите токаве е по-малко от външното магнитно поле. В нашия случай

\frac{\text{B}_{i0}}{\text{B}_0} = \frac{\mu_0\omega r_\text{o}^{\,2}}{4\rho} = \frac{4\pi.10^{-7}\,\text{H}/\text{m}.314\,\text{s}^{-1}(5.10^{-3}\,\text{m})^{2}}{4.1{,}55.10^{-8}\,\Omega.\text{m}} \approx 0{,}16 \qquad \textbf{[0,5 т]} \qquad \text{(2.20)}

Следователно при дадените параметри на задачата, това пренебрегване е приемливо. [0,5 т]

Оригинал в Архива: esenni_2006_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2006_STsolutions.pdf