Съдържание

НЕСФ 2006, Специална тема — Задача 3. Елементарни частици и кварки

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2006

Национално есенно състезание по физика 2006, Специална тема · 17 ноември 2006 г. · 10 т.

Условие

I. Зарядите (електричен Q, барионен B, проекция на изотопичния спин $T_z$ и странност S) на една елементарна частица са равни на сумата от зарядите на кварките, които ги изграждат. Мезоните са съставени от два кварка, а барионите – от три. Използвайки Табл. 1 и Табл. 2, определете от какви кварки са съставени:

Таблица 1. Антикварките $\tilde{u}, \tilde{d}, \tilde{s}$ имат противоположни стойности на Q, B, $T_z$ и S.

Кварк	Q	B	T	$T_z$	S
u	2/3	1/3	1/2	1/2	0
d	-1/3	1/3	1/2	-1/2	0
s	-1/3	1/3	0	0	-1

II. Използвайки Таблица 2 и имайки впредвид, че при реакциите на елементарни частици, сумата на всички видове заряди преди и след реакцията е една и съща, определете липсващата частица в дадените по-долу реакции:

III. Неподвижен положителен мюон $\mu^+$ се разпада на позитрон и две неутрини.

Таблица 2. Дадените стойности са за частиците. Техните античастици имат равни стойности за масата и изотопичния спин T и противоположни – за електричния зяряд Q, лептонния заряд L, барионния заряд B, проекцията на изотопичния спин $T_z$ и странността S.

група	частица	символ (частица)	символ (античастица)	маса на покой, MeV	маса на покой, $m_\text{e}$	Q	L	B	T	$T_z$	S
	фотон	$\gamma$	$\gamma$	0	0	0	0	0
лептони	неутрино	$\nu$	$\tilde{\nu}$	0	0	0	+1	0
лептони	електрон	$\text{e}^-$	$\text{e}^+$	0,511	1	-1	+1	0
лептони	мюон	$\mu^-$	$\mu^+$	105,7	206,8	-1	+1	0
мезони	пи-мезони	$\pi^+$	$\pi^-$	139,6	273,2	+1	0	0	+1	+1	0
мезони	пи-мезони	$\pi^0$	$\pi^0$	135,0	264,2	0	0	0	+1	0	0
мезони	ка-мезони	$\text{K}^+$	$\text{K}^-$	493,8	966,3	+1	0	0	+1/2	+1/2	+1
мезони	ка-мезони	$\text{K}^0$	$\tilde{\text{K}}^0$	498,0	974,5	0	0	0	+1/2	-1/2	+1
мезони	ета-мезон	$\eta$	$\eta$	548,8	1074	0	0	0	0	0	0
бариони	протон	$\text{p}$	$\tilde{\text{p}}$	938,3	1836	+1	0	+1	+1/2	+1/2	0
бариони	неутрон	$\text{n}$	$\tilde{\text{n}}$	939,6	1839	0	0	+1	+1/2	-1/2	0
бариони	ламбда-хиперон	$\Lambda^0$	$\tilde{\Lambda}^0$	1115	2183	0	0	+1	0	0	-1
бариони	сигма-хиперони	$\Sigma^+$	$\tilde{\Sigma}^-$	1189	2328	+1	0	+1	+1	+1	-1
бариони	сигма-хиперони	$\Sigma^-$	$\tilde{\Sigma}^+$	1197	2342	-1	0	+1	+1	-1	-1
бариони	сигма-хиперони	$\Sigma^0$	$\tilde{\Sigma}^0$	1192	2333	0	0	+1	+1	0	-1
бариони	кси-хиперони	$\Xi^-$	$\tilde{\Xi}^+$	1321	2585	-1	0	+1	+1/2	-1/2	-2
бариони	кси-хиперони	$\Xi^0$	$\tilde{\Xi}^0$	1314	2572	0	0	+1	+1/2	+1/2	-2
бариони	омега-хиперон	$\Omega^-$	$\tilde{\Omega}^+$	1675	3278	-1	0	+1	0	0	-3

а) $\Omega^-$ (омега-минус-хиперон) [1 т.]

б) $\text{K}^+$ (ка-плюс-мезон) [1 т.]

в) $\Lambda^0$ (ламбда-нула-хиперон) [1 т.]

г) $\pi^- + \text{p} \to \text{K}^+ + \text{K}^- + ?$ [1,5 т.]

д) $\text{K}^- + \text{p} \to \Omega^- + \text{K}^+ + ?$ [1,5 т.]

е) Намерете максимално възможната (без да доказвате, че е такава) кинетична енергия на позитрона. (в единици MeV) [4 т.]

Отговори

Решение

Задача 3. Елементарни частици и кварки.

Подходът, използващ съставяне на уравнения (всяко едно представляващо закон за запазване на даден вид заряд), в които неизвестните са броя кварки от даден вид, изграждащ дадена елементарна частица, е дълъг и тромав. Решението, дадено тук, е евристично:

а) тъй като омега-минус-хиперонът $\Omega^-$ има странност $S = -3$ , то единствената възможност е той да изграден от три s кварка, т.е

\Omega^- = \left(\text{sss}\right) \quad \textbf{[1 т]} \qquad \text{(3.1)}

б) ка-плюс-мезонът $\text{K}^+$ като мезон трябва да е изграден от 2 кварка. Тъй като има странност $S = +1$ , задължително трябва да включва антикварка $\tilde{\text{s}}$ . Тъй като електричният му заряд е $Q = 1$ , вторият кварк трябва да е кваркът u, т.е.

\text{K}^+ = \left(\text{u}\tilde{\text{s}}\right) \quad \textbf{[1 т]} \qquad \text{(3.2)}

в) тъй като ламбда-нула-хиперонът $\Lambda^0$ има странност $S = -1$ , задължително трябва да включва кварка s. Тъй като електричния му заряд е $Q = 0$ , единствената комбинация е останалите два кварка да са u и d, т.е.

\Lambda^0 = \left(\text{uds}\right) \quad \textbf{[1 т]} \qquad \text{(3.3)}

г) в реакцията $\pi^- + \text{p} \to \text{K}^+ + \text{K}^- + ?$ трябва да се запазват всички видове заряди. Прилагаме закона за запазване на тези заряди последователно.

От закона за запазване на електричния заряд Q следва

-1 + 1 = +1 - 1 + Q_? \qquad \text{(3.4)}

т.е. $Q_? = 0$

От закона за запазване на барионния заряд B следва

0 + 1 = 0 + 0 + \text{B}_? \qquad \text{(3.5)}

т.е. $\text{B}_? = 1$

От закона за запазване на странността S следва

0 + 0 = 1 - 1 + S_? \qquad \text{(3.6)}

т.е. $S_? = 0$

Проверявайки в Таблица 2, единствената частица, имаща такива заряди, е неутрона n [1.5 т].

д) в реакцията $\text{K}^- + \text{p} \to \Omega^- + \text{K}^+ + ?$ трябва да се запазват всички видове заряди. Прилагаме закона за запазване на тези заряди последователно.

От закона за запазване на електричния заряд Q следва

-1 + 1 = -1 + 1 + Q_? \qquad \text{(3.7)}

т.е. $Q_? = 0$

От закона за запазване на барионния заряд B следва

0 + 1 = 1 + 0 + \text{B}_? \qquad \text{(3.8)}

т.е. $\text{B}_? = 0$

От закона за запазване на странността S следва

-1 + 0 = -3 + 1 + S_? \qquad \text{(3.9)}

т.е. $S_? = 1$

Проверявайки в Таблица 2, единствената частица, имаща такива заряди, е ка-нула-мезона $\text{K}^0$ [1,5 т].

е) при разпада на неподвижният положителен мюон $\mu^+$ на позитрон и две неутрини се запазва релативистката енергия и импулс на системата:

E_{0\mu^+} = E_{\text{e}^+} + E_{\nu 1} + E_{\nu 2} \qquad \text{(3.10)}

0 = \vec{p}_{\text{e}^+} + \vec{p}_{\nu 1} + \vec{p}_{\nu 2} \qquad \text{(общо } \textbf{[0,5 т]}\text{)} \qquad \text{(3.11)}

Импулсът (оттам и кинетичната енергия) на позитрона ще бъде максимален, когато импулсите на двете неутрини са противоположни на импулса на позитрона [0,5 т]:

\left|p_{\text{e}^+}\right| = \left|p_{\nu 1}\right| + \left|p_{\nu 2}\right| \qquad \text{(3.12)}

Уравненията, свързващи релативистките енергия и импулс за позитрона и неутрините, са:

E_{\text{e}^+}^{\,2} = E_{0\text{e}^+}^{\,2} + p_{\text{e}^+}^{\,2}.c^{2} \qquad \textbf{[0,5 т]} \qquad \text{(3.13)}

E_{\nu i}^{\,2} = p_{\nu i}^{\,2}.c^{2} \quad (i = 1,2) \qquad \textbf{[0,5 т]} \qquad \text{(3.14)}

Замествайки (3.12), (3.13) и (3.14) в (3.10) се получава

E_{0\mu^+} = E_{\text{e}^+} + p_{\nu 1}.c + p_{\nu 2}.c = E_{\text{e}^+} + p_{\text{e}^+}.c = E_{\text{e}^+} + \sqrt{E_{\text{e}^+}^{\,2} - E_{0\text{e}^+}^{\,2}} \qquad \text{(3.15)}

Решавайки (3.15) след преобразувания, за $E_{\text{e}^+}$ резултатът е:

E_{\text{e}^+} = \frac{E_{0\mu^+}^{\,2} + E_{0\text{e}^+}^{\,2}}{2E_{0\mu^+}} \quad \textbf{[1 т]} \qquad \text{(3.16)}

а за кинетичната енергия:

E_{\text{e}^+\text{кин}} = E_{\text{e}^+} - E_{0\text{e}^+} = \frac{\left(E_{0\mu^+} - E_{0\text{e}^+}\right)^{2}}{2E_{0\mu^+}} = \frac{\left(m_{0\mu^+} - m_{0\text{e}^+}\right)^{2}.c^{2}}{2m_{0\mu^+}} \quad \textbf{[0.5 т]} \qquad \text{(3.17)}

След заместването със стойностите от Таблица 2 , се получава

E_{\text{e}^+\text{кин}} = \frac{\left(105{,}7\,\text{MeV} - 0{,}5\,\text{MeV}\right)^{2}}{2.105{,}7\,\text{MeV}} = 52{,}4\ \text{MeV} \quad \textbf{[0.5 т]} \qquad \text{(3.18)}

Оригинал в Архива: esenni_2006_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2006_STsolutions.pdf