Съдържание

НЕСФ 2007, 11–12 клас — Задача 3. Заредена частица в кръстосани полета

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2007

Национално есенно състезание по физика 2007, тема за 11. и 12. клас · 17 ноември 2007 г. · 10 т.

Условие

Частица с маса $m$ и положителен заряд $q$ извършва праволинейно равномерно движение в област от пространството, в която има три взаимно перпендикулярни полета: еднородно електрично поле с интензитет $\vec{E}$ , еднородно магнитно поле с индукция $\vec{B}$ и полето на силата на тежестта $\vec{g}$ (фиг. 3).

Координатна система x, y, z с вектор B по оста y, вектор g надолу по -z и вектор E по оста x. — Фиг. 3. Взаимното разположение на трите полета спрямо координатните оси: $\vec{B}$ по оста $y$ , $\vec{g}$ по $-z$ , $\vec{E}$ по оста $x$ .

а) Определете големините на трите сили, които действат на частицата. Използвайте само величините, дадени в условието на задачата (3 точки).

б) Изразете големините (модулите) на проекциите на магнитната сила върху координатните оси (фиг. 3) чрез големините на компонентите на скоростта $v_x$ и $v_z$ на частицата (2 точки).

в) В даден момент изключват електричното и магнитното поле. Частицата продължава да се движи само под действие на силата на тежестта, като минималната ѝ кинетична енергия при това движение е равна на половината от кинетичната ѝ енергия при равномерното праволинейно движение преди да се изключат двете полета.

Какъв е видът на траекторията на частицата след изключването на двете полета? Начертайте примерна графика (2 точки).

г) Определете трите компоненти $v_x$ , $v_y$ и $v_z$ на скоростта на частицата при нейното равномерно праволинейно движение преди да се изключат полетата (3 точки).

Полезна формула: $v_0 = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$ , където $v_0$ е големината (модулът) на скоростта. [3 т.]

Отговори

Решение

а) На тялото действат:

сила на тежестта с големина $G = mg$ [1 точка]

електрична сила $F_e = qE$ [1 точка]

Тези две сили са взаимно перпендикулярни. Тъй като тялото се движи праволинейно и равномерно, резултантната на трите сили е нула, т.е. магнитната сила има равна големина и противоположна посока на равнодействащата на силата на тежестта и електричната сила:

F_\text{м} = \sqrt{(mg)^2 + (qE)^2}

[1 точка]

б) Магнитната сила е перпендикулярна на оста $y$ . Тя има проекции само върху другите две оси:

F_x = qv_zB \quad \textbf{[1 точка]}

F_z = qv_xB \quad \textbf{[1 точка]}

в) Частицата се движи като тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта. Тъй като кинетичната енергия намалява, частицата се издига нагоре. Кинетичната енергия е минимална в най-горната точка от траекторията, която е парабола. [1 точка]

В най-горната точка от траекторията вертикалната компонента $v_z$ на скоростта на частицата е нула. От факта, че в тази точка кинетичната енергия е равна на половината от началната кинетична енергия следва изводът, че в началния момент $v_z$ е равна на хоризонталната компонента на скоростта, т.е. в началния момент частицата се движи под ъгъл $45^\circ$ (фиг. 1) спрямо хоризонта (равнината $xy$ ). [1 точка]

Параболична траектория в равнина с вертикална ос z; вектор v0 под ъгъл 45 градуса и неговата вертикална компонента vz. — Фиг. 1. Параболичната траектория на частицата след изключване на полетата; началната скорост $v_0$ сключва ъгъл $45^\circ$ с хоризонта, а $v_z$ е вертикалната ѝ компонента.

г) От условието резултантната сила, действаща на частицата, да е равна на нула, следват равенствата:

qE = qv_zB \quad \text{и} \quad v_z = \frac{E}{B}. \qquad \textbf{[1 точка]}

mg = qv_xB \quad \text{и} \quad v_x = \frac{mg}{qB}. \qquad \textbf{[1 точка]}

От фиг. 1 се вижда, че големината на началната скорост е $v_0 = v_z\sqrt{2}$ . Заместваме $v_0$ в равенството $v_0 = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$ и получаваме

v_y = \sqrt{\left(\frac{E}{B}\right)^2 - \left(\frac{mg}{qB}\right)^2}

[1 точка]

Оригинал в Архива: esenni_2007_11-12problems.pdf · официални решения: esenni_2007_11-12solutions.pdf