Съдържание

НЕСФ 2007, Специална тема — Задача 3. Клистрон

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2007

Национално есенно състезание по физика, Враца, 16 – 18 ноември 2007 г. — Специална тема · 16 ноември 2007 г. · 10 т.

Условие

Клистрон. Клистронът е електронно-вакуумна лампа, която може да усилва или генерира електромагнитни полета (напрежения) в микровълновата област. Устройството е дадено на Фиг. 2.

От катода К се излъчват електрони с нулева начална скорост, които се ускоряват от напрежението $U_к$ и достигат мрежестия анод А със скорост $v_0$ . Преминавайки през него те достигат плосък кондензатор (също прозрачен за електроните) с радиус r и дебелина d. На този кондензатор се подава високочестотно променливо синусово напрежение с амплитуда $U_1 \ll U_K$ . Между двата кондензатора електроните се движат по инерция, но с вече модулирана от първия кондензатор скорост. При подходящо избрано разстояние l между двата кондензатора, потокът електрони създава във втория кондензатор променлив ток, който индуцира променливо напрежение в него с амплитуда, по-голяма от $U_1$ . Така приборът може да работи като усилвател. При наличие на обратна връзка между двата кондензатора, приборът се превръща в генератор.

Схема на клистрон: катод К, мрежест анод А, ускоряващо напрежение U_K, първи плосък кондензатор с напрежение U₁ и дебелина d, втори кондензатор C на разстояние l, тороидални резонатори с радиуси R₁ и R₂ и вътрешен радиус r, с посоки на магнитната индукция B. — Фиг. 2

а) намерете скоростта $v_0$ на електроните. $U_к$ = 1kV [1т] [1 т.]

б) напрежението $U_1$ = 10 V, честотата му $\nu$ = 10 GHz, а разстоянието между плочите на кондензатора е d = 1 mm. Тъй като времето $\tau$ на преминаване на електрон между плочите на кондензатора е сравнимо с периода $T$ на напрежението $U_1$ , то може да се приеме, че на преминаващите електрони действа ефективно напрежение $U_{eff}\sin(\omega t)$ , където t е момента време, когато електрона преминава през кондензатора, $\omega = 2\pi\nu$ , а $U_{eff}$ може да се приеме за постоянно за времето на преминаване на електрона като $U_{eff} = MU_1$ , $M = \dfrac{\sin(\omega\tau/2)}{\omega\tau/2}$ . Намерете $U_{eff}$ . [1т] [1 т.]

в) намерете приближена формула за скоростта v(t) на електрона след преминаването му през първия кондензатор. [1т] [1 т.]

г) вторият кондензатор е на разстояние l от първия. Намерете приближена формула за момента време $t_2$ , в който електрон преминава през втория кондензатор, ако е преминал през първия в момент време $t_1$ . [1т] [1 т.]

д) нарисувайте качествена графика на функцията $t_2 = f(t_1)$ за стойности на $t_1 \in \left[-T/2, T/2\right]$ . [1т] [1 т.]

е) намерете как се променя токът $I_2(t)$ през втория кондензатор, ако катодния ток е $I_1$ = const. [1т] [1 т.]

ж) при каква минимална дължина $l_{min}$ в определен момент време моментната стойност на $I_2$ ще клони към безкрайност. Пресметнете стойността на $l_{min}$ . [1т] [1 т.]

з) мрежестият плосък кондензатор с радиус r и капацитет C е част от така наречения тороидален резонатор. Той включва и тороидален (с формата на геврек) кух проводник с вътрешен радиус r с индуктивност L. Ако пренебрегнете ръбните ефекти и кривината на тора (т.е. го разглеждате като прав цилиндър) намерете капацитета C и индуктивността L. [1т] [1 т.]

и) ако приемете, че еквивалентната схема на резонатора е трептящ кръг, съставен от капацитета C и индуктивността L, определете радиуса r, така че резонансната честота на резонатора да е $\nu_{рез}$ = 10 GHz. [1т] [1 т.]

й) изведете формулата за $M$ от подусловие б). [1т]

Полезна математика: $\sin\alpha \approx \alpha - \dfrac{\alpha^3}{6}$ , $\cos\alpha \approx 1 - \dfrac{\alpha^2}{2}$ , $\displaystyle\int x^n dx = \dfrac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ , $\dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dy}\dfrac{dy}{dx}$

Полезна физика: $R = 8{,}31\,\text{J/mol.K}$ , $N_A = 6{,}02.10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ , 1 atm = $1{,}013.10^5$ Pa, 1 а.е. = $1{,}66.10^{-27}$ kg, 1kW = 1.36 к.с, $e = 1{,}60.10^{-19}$ C, $m_e = 9{,}11.10^{-31}$ kg, [1 т.]

Отговори

Решение

Задача 3. Клистрон.

а) От закона за запазване на енергията следва: $eU_K = mv_0^2/2$ , откъдето $v_0 = \sqrt{2eU_K/m}$ . (3.1)

След заместване с дадените стойности $v_0 = \sqrt{2.1{,}6.10^{-19}\,\text{C}.10^3\,\text{V}/9{,}11.10^{-31}\,\text{kg}} = 1{,}87.10^7$ m/s [1т] (3.2)

Изчислената скорост е много по-малка от скоростта на светлината, така че нататък може да се използва класическа механика.

б) Времето $\tau$ = $d/v_0$ = $1.10^{-3}$ m / $1{,}87.10^7$ m/s = $5{,}35.10^{-11}$ s. [0.25т] Периодът на променливото напрежение $U_1$ е $T = 1/\nu = 1/10.10^9\,\text{Hz} = 1.10^{-10}\,\text{s}$ . [0.25т] От дадената формула

M = \frac{\sin(\omega\tau/2)}{\omega\tau/2} = \frac{\sin(\pi\tau/T)}{\pi\tau/T} = \frac{\sin(\pi.5{,}35.10^{-11}\text{s}/1.10^{-10}\text{s})}{\pi.5{,}35.10^{-11}\text{s}/1.10^{-10}\text{s}} = 0{,}591.

[0.25т] Следователно $U_{eff} = MU_1 = 0.591.10\,\text{V}$ = 5,91 V [0.25т]

в) Скоростта v(t) на електрона след преминаването му през първия кондензатор е

v(t) = \sqrt{2e(U_K + U_{eff}\sin(\omega t))/m} \approx \sqrt{2eU_K/m}\left(1 + \frac{U_{eff}}{2U_K}\sin(\omega t)\right) = v_0\left(1 + \frac{U_{eff}}{2U_K}\sin(\omega t)\right) \quad [\mathbf{1т}] \qquad (3.3)

г) Моментът време $t_2$ , в който електрон преминава през втория кондензатор, ако е преминал през първия в момент време $t_1$ е $t_2 = t_1 + l/v(t_1)$ . Използвайки (3.3) получаваме

t_2 = t_1 + l\left/\left[v_0\left(1 + \frac{U_{eff}}{2U_K}\sin(\omega t_1)\right)\right]\right. \approx t_1 + \frac{l}{v_0}\left(1 - \frac{U_{eff}}{2U_K}\sin(\omega t_1)\right) = t_1 + \frac{l}{v_0} - \frac{lU_{eff}}{2v_0U_K}\sin(\omega t_1) \quad [\mathbf{1т}] \qquad (3.4)

д) Графиката на функцията $t_2 = f(t_1)$ за стойности на $t_1 \in \left[-T/2, T/2\right]$ изглежда така (виж Фиг. 4): [1т] Забелязва се, че в зависимост от големината на константата пред синуса, в интервала време от един период функцията може да няма локални екстремуми, да има един при $t_1$ = 0 или да има два.

е) Количеството заряд, който преминава през първия кондензатор за време $dt_1$ , ще премине през втория кондензатор за време

dt_2 = \frac{dt_2}{dt_1}dt_1 = \left[1 - \frac{lU_{eff}\omega}{2v_0U_K}\cos(\omega t_1)\right]dt_1.

Качествена графика на t₂ = t₁ + A − B·sin(ωt₁) за t₁ от −T/2 до T/2 при Bω = 0, Bω < 1, Bω = 1 и Bω > 1; отбелязани нива −T/2+A−B, −T/2+A и T/2+A+B. — Фиг.3

Тъй като $I_2(t_2)dt_2 = I_1(t_1)dt_1$ , то $I_2(t_2) = \dfrac{I_1(t_1)}{\dfrac{dt_2}{dt_1}}$ , или

I_2(t_2) = \frac{I_1(t_1)}{1 - \dfrac{lU_{eff}\omega}{2v_0U_K}\cos(\omega t_1)} \quad [\mathbf{1т}] \qquad (3.5)

ж) Моментната стойност на $I_2(t_2)$ ще клони към безкрайност, когато знаменателя в (3.5) стане равен на нула, т.е $1 - \dfrac{lU_{eff}\omega}{2v_0U_K}\cos(\omega t_1) = 0$ , откъдето $l_{min} = \dfrac{2v_0U_K}{U_{eff}\omega}$ [0.5т] (3.6)

При дадените стойности $l_{min} = \dfrac{2.1{,}87.10^7\ \text{m/s}\,.10^3\,\text{V}}{5{,}91\ \text{V}\,.2\pi.10^{10}\ \text{Hz}} \approx 10{,}0$ cm [0.5т] (3.7)

з) Капацитетът $C$ на кръглият кондензатор е $C = \dfrac{\varepsilon_0\pi r^2}{d}$ . [0.25т] (3.8)

Индуктивносттта L на тороидалния кух проводник може да се намери така: по определение $L = \dfrac{\Phi}{I} = \dfrac{B\pi r^2}{I}$ . [0.25т] Магнитната индукция $B$ се намира от теоремата за циркулацията (при пренебрегване на кривината магнитното поле вътре е еднородно): $B.2\pi(r+r) = \mu_0 I$ [0.25т], откъдето $L = \dfrac{\mu_0 I\pi r^2}{2\pi.2r.I} = \dfrac{\mu_0 r}{4}$ [0.25т] (3.9)

и) резонансната честота на трептящ кръг е $\omega_{рез} = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ [0.25т] (3.10)

Използвайки (3.8) и (3.9) $\omega_{рез} = \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{\mu_0 r}{4}.\dfrac{\varepsilon_0\pi r^2}{d}}} = 2c\sqrt{\dfrac{d}{\pi r^3}}$ [0.5т] (3.11)

Следователно $r = \dfrac{1}{\pi}\sqrt[3]{d\left(\dfrac{c}{\nu}\right)^2} \approx 3{,}1$ mm [0.25т] (3.12)

й) Ефективното напрежение $U_{eff}\sin(\omega t_1)$ може да се намери така:

U_{eff}\sin(\omega t_1) = \frac{1}{\tau}\int_{t_1-\tau/2}^{t_1+\tau/2}U_1\sin(\omega t)dt = \frac{U_1}{\omega\tau}\int_{t_1-\tau/2}^{t_1+\tau/2}\sin(\omega t)d(\omega t) = \frac{U_1}{\omega\tau}\left(\left.\left(-\cos(\omega t)\right)\right|_{t_1-\tau/2}^{t_1+\tau/2}\right) \quad [\mathbf{0.5т}] \qquad (3.13)

След тригонометрични преобразувания

U_{eff}\sin(\omega t_1) = \frac{U_1}{\omega\tau}\begin{pmatrix}-\cos(\omega t).\cos(\omega\tau/2) + \sin(\omega t).\sin(\omega\tau/2) + \\ + \cos(\omega t).\cos(\omega\tau/2) + \sin(\omega t).\sin(\omega\tau/2)\end{pmatrix} = \frac{\sin(\omega\tau/2)}{\omega\tau/2}U_1\sin(\omega t) \qquad (3.14)

Следователно $M = \dfrac{\sin(\omega\tau/2)}{\omega\tau/2}$ [0.5т] (3.15)

Оригинал в Архива: esenni_2007_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2007_STsolutions.pdf