НЕСФ 2007, Специална тема — Задача 3. Клистрон

Национално есенно състезание по физика, Враца, 16 – 18 ноември 2007 г. — Специална тема · 16 ноември 2007 г. · 10 т.

Условие

Клистрон. Клистронът е електронно-вакуумна лампа, която може да усилва или генерира електромагнитни полета (напрежения) в микровълновата област. Устройството е дадено на Фиг. 2.

От катода К се излъчват електрони с нулева начална скорост, които се ускоряват от напрежението $U_к$ и достигат мрежестия анод А със скорост $v_0$. Преминавайки през него те достигат плосък кондензатор (също прозрачен за електроните) с радиус r и дебелина d. На този кондензатор се подава високочестотно променливо синусово напрежение с амплитуда $U_1 \ll U_K$. Между двата кондензатора електроните се движат по инерция, но с вече модулирана от първия кондензатор скорост. При подходящо избрано разстояние l между двата кондензатора, потокът електрони създава във втория кондензатор променлив ток, който индуцира променливо напрежение в него с амплитуда, по-голяма от $U_1$. Така приборът може да работи като усилвател. При наличие на обратна връзка между двата кондензатора, приборът се превръща в генератор.

а) намерете скоростта $v_0$ на електроните. $U_к$ = 1kV [1т] [1 т.]

б) напрежението $U_1$ = 10 V, честотата му $\nu$ = 10 GHz, а разстоянието между плочите на кондензатора е d = 1 mm. Тъй като времето $\tau$ на преминаване на електрон между плочите на кондензатора е сравнимо с периода $T$ на напрежението $U_1$, то може да се приеме, че на преминаващите електрони действа ефективно напрежение $U_{eff}\sin(\omega t)$, където t е момента време, когато електрона преминава през кондензатора, $\omega = 2\pi\nu$, а $U_{eff}$ може да се приеме за постоянно за времето на преминаване на електрона като $U_{eff} = MU_1$, $M = \dfrac{\sin(\omega\tau/2)}{\omega\tau/2}$. Намерете $U_{eff}$. [1т] [1 т.]

в) намерете приближена формула за скоростта v(t) на електрона след преминаването му през първия кондензатор. [1т] [1 т.]

г) вторият кондензатор е на разстояние l от първия. Намерете приближена формула за момента време $t_2$, в който електрон преминава през втория кондензатор, ако е преминал през първия в момент време $t_1$. [1т] [1 т.]

д) нарисувайте качествена графика на функцията $t_2 = f(t_1)$ за стойности на $t_1 \in \left[-T/2, T/2\right]$. [1т] [1 т.]

е) намерете как се променя токът $I_2(t)$ през втория кондензатор, ако катодния ток е $I_1$ = const. [1т] [1 т.]

ж) при каква минимална дължина $l_{min}$ в определен момент време моментната стойност на $I_2$ ще клони към безкрайност. Пресметнете стойността на $l_{min}$. [1т] [1 т.]

з) мрежестият плосък кондензатор с радиус r и капацитет C е част от така наречения тороидален резонатор. Той включва и тороидален (с формата на геврек) кух проводник с вътрешен радиус r с индуктивност L. Ако пренебрегнете ръбните ефекти и кривината на тора (т.е. го разглеждате като прав цилиндър) намерете капацитета C и индуктивността L. [1т] [1 т.]

и) ако приемете, че еквивалентната схема на резонатора е трептящ кръг, съставен от капацитета C и индуктивността L, определете радиуса r, така че резонансната честота на резонатора да е $\nu_{рез}$ = 10 GHz. [1т] [1 т.]

й) изведете формулата за $M$ от подусловие б). [1т]

Полезна математика: $\sin\alpha \approx \alpha - \dfrac{\alpha^3}{6}$, $\cos\alpha \approx 1 - \dfrac{\alpha^2}{2}$, $\displaystyle\int x^n dx = \dfrac{1}{n+1}x^{n+1} + C$, $\dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dy}\dfrac{dy}{dx}$

Полезна физика: $R = 8{,}31\,\text{J/mol.K}$, $N_A = 6{,}02.10^{23}\ \text{mol}^{-1}$, 1 atm = $1{,}013.10^5$ Pa, 1 а.е. = $1{,}66.10^{-27}$ kg, 1kW = 1.36 к.с, $e = 1{,}60.10^{-19}$ C, $m_e = 9{,}11.10^{-31}$ kg, [1 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: esenni_2007_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2007_STsolutions.pdf