Съдържание

НЕСФ 2007, Специална тема — Задача 2. Автомобилен двигател

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2007

Национално есенно състезание по физика, Враца, 16 – 18 ноември 2007 г. — Специална тема · 16 ноември 2007 г. · 10 т.

Условие

а) $n$ мола идеален газ са затворени в цилиндър с подвижно бутало. Намерете работата $A$ , която извършва газът върху буталото при промяна на обема си от начални температура $T_1$ и обем $V_1$ до крайни температура $T_2$ и обем $V_2$ . Процесът е равновесен и се извършва без обмен на топлина между газа и цилиндъра. Уравнението на състоянието за този процес е $pV^\gamma = const$ . ( $\gamma > 1$ ). Моларният капацитет при постоянен обем на газа е $c_V$ . Отговорът изразете чрез $n$ , $c_V$ , $T_2$ и отношението $r = V_1/V_2$ .[1т] [1 т.]

б) Същият газ е работна среда в топлинен двигател и извършва кръгов цикъл, съставен от две изохори и две адиабати. Начертайте цикъла на p-V диаграма. Намерете коефициента на полезно действие $\eta$ на двигателя. Отговорът изразете чрез r и $\gamma$ . [1т] [1 т.]

в) Автомобил, движещ се със скорост v = 120 km/h, харчи гориво $\Delta V/\Delta l$ = 8,3 l/100 km. При тази скорост оборотите на коляновия вал на двигателя са $\omega = 3200$ об./min. Двигателят е четиритактов, работещ по по-горе описания цикъл на Ото. Има 4 цилиндри с общ обем $V_{двиг.} = 1570\,\text{cm}^3$ . Плътността на бензина е $\rho_б = 730\,\text{kg/m}^3$ . Намерете каква маса гориво се засмуква в един цилиндър при отварянето на входния му клапан. [1т] [1 т.]

г) Ако при затварянето на входния клапан (при максимален обем на газа в цилиндъра) горивната смес има температура 90 $^\text{o}$ C и налягане 1 atm, намерете в този момент парциалното налягане $p_б$ (в atm) на бензиновите пари в цилиндъра. Една молекула бензин има средна маса $m_б = 114$ а.е. [1т] [1 т.]

д) Приемете, че бензинът е съставен от молекули с химична формула $C_8H_{18}$ . Ако при изгарянето на бензина крайните продукти са само въглероден диоксид и вода, намерете каква част $\alpha$ от кислорода в цилиндъра участва в горенето. Въздухът съдържа 21 обемни процента кислород. [2т] [2 т.]

е) Бензинът има специфична топлина на изгаряне $\lambda = 48.7\,\text{MJ/kg}$ . Каква е максималната температура $T_{max}$ на газа в цилиндъра. Обменът на топлина се пренебрегва. Степента на сгъстяване на газа в цилиндрите е r = $V_{max}/V_{min}$ = 8.5. Приемете, че моларният топлинен капацитет на сместа е $c_V = 2,5.R$ и $\gamma = 1.4$ [2т] [2 т.]

ж) Пресметнете мощността $P_{3200}$ на двигателя в к.с. при 3200 об/min [1т] [1 т.]

з) Масата на автомобила с един пътник е 1150 kg. За какво време t автомобилът се ускорява от покой до 100 km/h? Приемете, че се движи с постоянно ускорение и двигателят има средна мощност $P_{3200}$ . Съпротивлението на въздуха се пренебрегва. [1т] [1 т.]

и) Каква марка е автомобила? [0т] :) [0 т.]

Отговори

Решение

Задача 2. Автомобилен двигател.

а) при равновесен адиабатен процес (без обмен на топлина) работата A, която извършват n мола идеален газ върху бутало при промяна на обема на газа от начални температура $T_1$ и обем $V_1$ до крайни температура $T_2$ и обем $V_2$ е: $A = -\Delta U = -nC_V(T_2 - T_1)$ [0.5т] (2.1)

От уравнението за идеален газ следва: $\dfrac{p_1V_1}{T_1} = \dfrac{p_2V_2}{T_2}$ (2.2)

За адиабатния процес е изпълнено: $p_1V_1^{\gamma} = p_2V_2^{\gamma}$ (2.3)

Изразявайки $\dfrac{p_1}{p_2}$ от (2.3) и замествайки в (2.2) се получава: $T_1 = T_2\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{1-\gamma}$ (2.4)

Замествайки (2.4) в (2.1), $A = nC_VT_2\left[\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{1-\gamma} - 1\right] = nC_VT_2\left(r^{1-\gamma} - 1\right)$ [0.5т] (2.5)

б) Топлинният цикъл на p-V диаграма изглежда така (виж Фиг. 3):

Коефициентът на полезно действие $\eta$ е: $\eta = \dfrac{A_{1\to2} + A_{3\to4}}{Q_{23}}$ (2.6)

p–V диаграма на цикъл от две изохори и две адиабати: точки 1, 2, 3, 4, обеми V₂ и V₁, налягане p₁, подадена топлина Q₂₃ и отдадена топлина Q₄₁. — Фиг. 3

Използвайки (2.5) за $\eta$ се получава

\eta = \frac{nC_VT_2\left[\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{1-\gamma} - 1\right] - nC_VT_3\left[\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{1-\gamma} - 1\right]}{nC_V\left(T_3 - T_2\right)}

\eta = 1 - \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{1-\gamma} = 1 - r^{1-\gamma} \quad [\mathbf{1т}] \qquad (2.7)

в) масата на горивото $\Delta m/\Delta t$ , което се подава към цилиндрите за 1 s е

\frac{\Delta m}{\Delta t} = \rho_б\frac{\Delta V}{\Delta t} = \rho_б\frac{\Delta V}{\Delta l}\frac{\Delta l}{\Delta t} = \rho_б v\frac{\Delta V}{\Delta l} \qquad (2.8)

Тъй като цилиндрите са 4 и на всеки 2 оборота на коляновия вал на един цилиндър се подава веднъж гориво, то броя обороти за секунда $\omega = N_{об}/\Delta t$ е два пъти по-малък от броя впръсквания в един цилиндър за секунда $\Delta N_{цил}/\Delta t$ : $\Delta N_{цил}/\Delta t = 2\omega$ (2.9)

Следователно, $\dfrac{\Delta m}{\Delta N_{цил}} = \dfrac{\Delta m/\Delta t}{\Delta N_{цил}/\Delta t} = \dfrac{\rho_б v}{2\omega}\dfrac{\Delta V}{\Delta l}$ [0.5т] (2.10)

При дадените стойности се получава

\frac{\Delta m}{\Delta N_{цил}} = \frac{730\,\text{kg}/\text{m}^3.120\,\text{km}/\text{h}}{2.3200\,об/\text{min}}.\frac{8.3\,\text{l}}{100\,\text{km}} = 1{,}89.10^{-5}\ \text{kg/цил.} \quad [\mathbf{0.5т}] \qquad (2.11)

г) От уравнението за идеалния газ следва: $pV = \dfrac{m}{\mu}RT$ . Използвайки дадените стойности и резултата от предното подусловие:

p_б = \frac{m}{\mu_б}\frac{RT_1}{V_1} = \frac{\Delta m/\Delta N_{цил}}{N_A.m_б}\frac{RT_1}{V_{двиг.}/4} = \frac{1{,}89.10^{-5}\,\text{kg}}{6{,}02.10^{23}\text{mol}^{-1}.114.1{,}66.10^{-27}\text{kg}}\frac{8{,}31\,\text{J}/\text{mol}.\text{K}.(90+273)\,\text{K}}{1570.10^{-6}\,\text{m}^3/4} =

= 1275\ \text{Pa} = 0{,}0126\ \text{atm} = 1.26\ \%\ \text{atm} \quad [\mathbf{1т}] \qquad (2.12)

д) изравнената химична формула за горенето на бензина е:

2C_8H_{18} + 25O_2 \to 16CO_2 + 18H_2O \quad [\mathbf{1т}] \qquad (2.13)

Следователно отношението на молекулите бензин и кислород в реакцията е 1:12,5. Тъй като парциалните налягания на компонентите на газа са пропорционални на броя частици (молекули) на всяка компонента, то частта кислород, която участва в горенето е

\alpha = \frac{12{,}5.p_б}{0{,}21(p_1 - p_б)} = \frac{12{,}5.0.0126\,\text{atm}}{0{,}21.0{,}9874\,\text{atm}} \approx 76.0\ \% \quad [\mathbf{1т}] \qquad (2.14)

е) Ще изчислим първо температурата на газа $T_2$ при минимален обем ( $V_2$ ) преди запалването на горивото. От (2.4) следва $T_2 = T_1\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} = (90+273)\,\text{K}.8{,}5^{1{,}4-1} = 854\,\text{K}$ [1т] (2.15)

След изгарянето на бензина температурата се покачва до $T_3$ . Тази температура се намира така:

Q_{23} = \lambda m_б = c_v\frac{m_г}{\mu_г}(T_3 - T_2) \qquad (2.16)

От уравнението на идеалния газ $p_1V_1 = \dfrac{m_г}{\mu_г}RT_1$ , откъдето замествайки $\dfrac{m_г}{\mu_г}$ в (2.16) се получава

T_3 = T_2 + \frac{\lambda m_б RT_1}{c_V p_1V_1} = T_2 + \frac{\lambda m_б RT_1}{\dfrac{5}{2}Rp_1\dfrac{V_{двиг}}{4}} = T_2 + \frac{8}{5}\frac{\lambda m_б T_1}{p_1V_{двиг}} \quad [\mathbf{0.5т}] \qquad (2.17)

След заместване с дадените стойности се получава

T_3 = 854\,\text{K} + \frac{8}{5}\frac{48{,}7.10^6\,\text{J}/\text{kg}.1{,}89.10^{-5}\,\text{kg}.363\,\text{K}}{1{,}013.10^5\,\text{Pa}.1570.10^{-6}\,\text{m}^3} = 854\,\text{K} + 3362\,\text{K} = 4216\,\text{K} \quad [\mathbf{0.5т}] \qquad (2.18)

ж) тъй като $\eta = \dfrac{A}{Q_{вх}} = \dfrac{P.\Delta t}{Q_{вх}}$ , то $P = \dfrac{\eta Q_{вх}}{\Delta t} = \eta\lambda\dfrac{\Delta m_б}{\Delta t} = \eta\lambda 2\omega\dfrac{\Delta m_б}{\Delta N_{цил}}$ (2.19)

От (2.7) за коефициента на полезно действие се получава $\eta = 1 - r^{1-\gamma} = 1 - 8{,}5^{1-1{,}4} = 0{,}575$ [0.5т] (2.20)

Замествайки с дадените и вече намерените стойности

P_{3200} = 0{,}575.48{,}7.10^6\,\text{J}/\text{kg}.2.53{,}3\,\text{s}^{-1}.1{,}89.10^{-5}\,\text{kg} = 56{,}5\ \text{kW} = 76{,}8\ \text{к.с.} \quad [\mathbf{0.5т}] \qquad (2.21)

з) Мощността $P_{ср.} = \dfrac{\Delta E_{кин}}{t} = \dfrac{mv^2}{2t}$ , откъдето $t = \dfrac{mv^2}{2P_{ср}} = \dfrac{1150\,\text{kg}(100/3{,}6)^2(\text{m}/\text{s})^2}{2.56{,}5.10^3\,\text{W}} \approx 7{,}8\,\text{s}$ [1т] (2.22)

и) Данните за обема на двигателя, степента на сгъстяване и разходът на гориво са за Москвич 2141 (Алеко). Поради направените приближения в задачата [идеален цикъл на Ото (липса на топлообмен между газовата смес и цилиндрите), неотчитане на триене на буталата в цилиндрите, както и в останалите движещи се части на автомобила и неотчитане на съпротивлението на въздуха при движението на автомобила] получените резултати в подусловия ж) и з) не отговарят на експерименално измерените параметри на автомобила (мощност $P_{5600}$ = 76 к.с. и $t_{0\to100\ \text{km/h}}$ = 15,5 s).

Оригинал в Архива: esenni_2007_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2007_STsolutions.pdf