Съдържание

НЕСФ 2008, 10. клас — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2008

Национално есенно състезание по физика 2008, Тема 10. клас · 22 ноември 2008 г. · 10 т.

Условие

На фиг. 2 е показана зависимостта на съпротивлението $R$ на нелинеен елемент от температурата му $t$ . При протичане на електричен ток, когато елементът се нагрява и температурата му стане $t_1 = 100$ ºC, съпротивлението му скокообразно се изменя от $R_1 = 50\ \Omega$ на $R_2 = 100\ \Omega$ . Аналогично, когато елементът се охлажда, се наблюдава скообразно изменение на съпротивлението му от $R_2$ на $R_1$ при температура $t_2 = 98$ ºC. В случай, че между краищата на елемента е приложено напрежение $U_1 = 60$ V, температурата му е $t_3 = 80$ ºC. Ако приложеното напрежение е $U_2 = 80$ V, във веригата възникват самопроизволни периодични изменения на тока $I_{\min} \rightarrow I_{\max} \rightarrow I_{\min} \rightarrow I_{\max}\ldots$

Графика R(t) с две стъпала: при нагряване R скача от 50 на 100 ома при 100 градуса, при охлаждане се връща на 50 ома при 98 градуса. — фиг. 2 — хистерезисна зависимост на съпротивлението $R$ (в $\Omega$ ) от температурата $t$ (в ºC): скок от 50 на 100 $\Omega$ при 100 ºC при нагряване и обратен скок при 98 ºC при охлаждане.

а) Определете стойностите $I_{\min}$ и $I_{\max}$ . [2 т.]

б) В стационарно (неизменно във времето) състояние отделеното за единица време в елемента количество топлина е

Q = \alpha(t_{\text{елемент}} - t_{\text{среда}})\,.

Намерете коефициента $\alpha$ , ако температурата на околната среда е $t_0 = 20$ ºC. [2 т.]

в) Докажете, че при напрежение е $U_2 = 80$ V във веригата трябва да възникнат самопроизволни периодични изменения на тока. [3 т.]

г) Определете времето за изменение на тока от $I_{\min} \rightarrow I_{\max} \rightarrow I_{\min}$ , т.е. периода $T$ на изменението на тока, ако топлинният капацитет на елемента е $c = 3\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}$ .

Указание. При оценяване на времето, за което елементът преминава от режим с ток $I_{\min}$ в режим с ток $I_{\max}$ , както и обратно, считайте че температурата му е $t_{\mathrm{ср}} = 99$ ºC. [3 т.]

Отговори

Решение

а) В режим на самопроизволни периодични изменения на тока при напрежение $U_2 = 80$ V имаме

I_{\min} = \frac{U_2}{R_2} = 0{,}8\ \mathrm{A}\,,\qquad I_{\max} = \frac{U_2}{R_1} = 1{,}6\ \mathrm{A}\,.

[2 т.]

б) При приложено напрежение $U_1 = 60$ V нелинейният елемент достига стационарно състояние при съпротивление $R_1$ [0,5 т.]. Тогава имаме

\frac{U_1^2}{R_1} = \alpha(t_3 - t_0)\,,

[0,5 т.] откъдето намираме

\alpha = \frac{U_1^2}{R_1(t_3 - t_0)} = 1{,}2\ \mathrm{W/K}\,.

[1 т.]

в) При напрежение $U_2$ и съпротивление на елемента $R_1$ стационарно състояние би се установило при температура $t_4$ , която удовлетворява условието

\frac{U_2^2}{R_1} = \alpha\,(t_4 - t_0)\,,

[0,5 т.] откъдето намираме

t_4 = t_0 + \frac{U_2^2}{\alpha R_1} \approx 126{,}7\ ^{\circ}\mathrm{C}\,.

[0,5 т.]

Тъй като $t_4 > 100\ ^{\circ}\mathrm{C}$ , при достигане на $t_1 = 100\ ^{\circ}\mathrm{C}$ съпротивлението на елемента скообразно се променя и става $R_2$ , а токът – $I_{\min}$ . [0,5 т.]

Аналогично, температурата $t_5$ , при която се установява стационарно състояние, когато съпротивлението е $R_2$ , се определя от

\frac{U_2^2}{R_2} = \alpha\,(t_5 - t_0)\,,

[0,5 т.] откъдето намираме

t_5 = t_0 + \frac{U_2^2}{\alpha R_2} = 73{,}3\ ^{\circ}\mathrm{C}\,.

[0,5 т.]

Следователно при достигане на $t_2 = 98\ ^{\circ}\mathrm{C}$ , съпротивлението на елемента скообразно се връща към стойност $R_1$ . [0,5 т.]

г) Нека времето за нагряване на елемента от $t_2 = 98\ ^{\circ}\mathrm{C}$ до $t_1 = 100\ ^{\circ}\mathrm{C}$ е $\tau_1$ . Тогава имаме

\frac{U_2^2\tau_1}{R_1} = c(t_1 - t_2) + \alpha\,(t_{\mathrm{ср}} - t_0)\tau_1\,,

[1 т.] откъдето намираме

\tau_1 = \frac{c(t_1 - t_2)}{\dfrac{U_2^2}{R_1} - \alpha\,(t_{\mathrm{ср}} - t_0)} \approx 0{,}18\ \mathrm{s}\,.

[0,5 т.]

Аналогично времето $\tau_2$ за охлаждане от $t_1 = 100\ ^{\circ}\mathrm{C}$ до температура $t_2 = 98\ ^{\circ}\mathrm{C}$ се определя от условието

\frac{U_2^2\tau_2}{R_2} + c(t_1 - t_2) = \alpha\,(t_{\mathrm{ср}} - t_0)\tau_2\,,

[1 т.] откъдето намираме

\tau_2 = \frac{c(t_1 - t_2)}{\alpha\,(t_{\mathrm{ср}} - t_0) - \dfrac{U_2^2}{R_2}} \approx 0{,}19\ \mathrm{s}\,.

[0,5 т.]

За периода намираме

T = \tau_1 + \tau_2 \approx 0{,}37\ \mathrm{s}\,.

[1 т.]

Оригинал в Архива: esenni_2008_10problems.pdf · официални решения: esenni_2008_10solutions.pdf