НЕСФ 2008, 11–12 клас — Задача 1. Ски скок

• 1) $h = \frac{v^2}{2g} = 20\ \mathrm{m}$

• 2) $h = \frac{v^2}{2(1-k)g} = 20{,}4\ \mathrm{m}$

• б) $d = \frac{v.t}{\cos\alpha} = 113\ \mathrm{m}\ \ (t = 2v/g = 4\ \mathrm{s})$

• в) $v_1 = \sqrt{v^2 + g^2t^2} = \sqrt{2000} = 44{,}7\ \mathrm{m/s};\quad v_2 = v_x\frac{\sqrt{2}}{2} + v_y\frac{\sqrt{2}}{2} = 42{,}4\ \mathrm{m/s}$

  Толеранс ±0,1 m/s за всяка от двете стойности.

• г) $k_2 = \frac{\dfrac{v_2^2}{2} + g.s_2\sin\alpha}{g.s_2\cos\alpha} = 3{,}5$

а) 1) От закона за запазване на енергията имаме $m.v^2/2 = m.g.h$ (0,5 т) или
$h = v^2/2.g = 20\ \mathrm{m}$ (0,5 т)

2) При наличие на сила на триене $m.g.h = m.v^2/2 + k.N.s$ (1 т), където $N = m.g.\cos(\alpha)$ е реакцията на опората (0,5 т), а $s = h/\sin(\alpha)$ е пътят, изминат от скиора върху шанцата преди скока (0,5 т). При $\alpha = 45^0$ $\sin(\alpha) = \cos(\alpha)$ и $g.h = v^2/2 + k.g.h$ (0,5 т) откъдето намираме
$h = v^2/2(1- k)g = 20{,}4\ \mathrm{m}$ (0,5 т)

б) Тъй като скоростта в началото на скока има само хоризонтална компонента, уравненията за движение са: $x = v.t$ и $y = -g.t^2/2$ (1 т.) (в координатна система с начало – началото на скока). Скиорът ще лети, докато не падне отново върху пистата, т.е. до момента в който $x = -y$ (0,5 т), откъдето намираме времето за летене $t = 2v/g = 4\ \mathrm{s}$ (0,5 т). Дължината на полета намираме от $d = x/\cos(\alpha) = v.t/\cos(\alpha) = 113\ \mathrm{m}$. (1 т.)

в) Скоростта на скиора преди приземяването му е

(1 т.)

Тъй като скиорът при приземяването си търпи нееластичен удар, запазва се само скоростта по посока на склона – скоростта след приземяването му ще бъде
$v_2 = v_x\sqrt{2}/2 + v_y\sqrt{2}/2 = 42{,}4\ \mathrm{m/s}$. (1 т.)

г) Задачата е подобна на условие (а), но сега механичната енергия трябва да се превърне в работа на силата на триене

(0,5 т), откъдето намираме

или $k_2 = 3{,}5$ (0,5 т) – това обяснява правенето на “рало” от скиорите при спиране!