Съдържание

НЕСФ 2008, Специална тема — Задача 3. Вечен двигател от II род???

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2008

Национално есенно състезание по физика, Стара Загора, 22-23 ноември 2008 г. — Специална тема · 22 ноември 2008 г. · 10 т.

Условие

Топлинен двигател извършва кръгов процес, изобразен на $p$ – $V$ диаграмата. Работното вещество на двигателя е въздух. В състояние 0 обемът на въздуха е $V_0 = 2.0\ \ell$ , а налягането му – равно на атмосферното налягане $p_0 = 1.0\times 10^5$ Pa. Въздухът се свива адиабатно до състояние 1 с обем

V_1 = \frac{V_0}{k},

където $k$ е т. нар. степен на сгъстяване. В състояние 1 във въздуха се впръсква малко количество гориво, при изгаряне на което въздухът започва да се разширява, докато достигне началния си обем. Процесът $1 \to 0$ се изобразява на $p$ – $V$ диаграмата с права линия.

Приемете, че въздухът е идеален газ от двуатомни молекули, за които могат да се пренебрегнат колебателните степени на свобода.

p-V диаграма с точка 0 при (V0, p0) и точка 1 при (V1, p1); крива адиабата от 0 до 1 и права отсечка от 1 до 0, със стрелки за посоката на обхождане. — $p$ – $V$ диаграма на кръговия процес: адиабатно свиване $0 \to 1$ и разширение $1 \to 0$ по права линия.

а) Получете израз за налягането $p_1$ на газа в състояние 1 като функция на $p_0$ и $k$ . [2 т.]

б) Получете израз за мощността $P$ на двигателя като функция на $p_0$ , $V_0$ , $k$ и работната честота $\nu$ (броят работни цикли за единица време). Пресметнете мощността при $k = 10$ и $\nu = 1800$ цикъла/min. [3 т.]

в) За процеса $1 \to 0$ на разширение получете израз за температурата $T$ на газа като функция на обема $V$ , температурата $T_0$ в състояние 0 и на параметрите $V_0$ и $k$ . [1,5 т.]

г) Пресметнете числено коефициента на полезно действие $\eta$ на двигателя при степен на сгъстяване $k = 10$ . [3,5 т.]

Отговори

Решение

а) От уравнението на адиабатен процес:

(1)\qquad p_0V_0^{\gamma} = p_1V_1^{\gamma}\,.

[0.5]

Въздухът се състои основно от двуатомни молекули с $i = 5$ степени на свобода. Затова, показателят на адиабатата на въздуха е:

(2)\qquad \gamma = \frac{i+2}{i} = \frac{7}{5}\,.

[0.5]

От двете уравнения намираме:

(3)\qquad p_1 = p_0 k^{\gamma}\,.

[1.0]

б) В процеса $0\to 1$ двигателят извършва работа:

(4)\qquad A_{01} = U_0 - U_1 = \frac{i}{2}Rn(T_0 - T_1)\,.

[0.5]

Като вземем предвид, че $pV = nRT$ , получаваме:

(5)\qquad A_{01} = \frac{i}{2}(p_0V_0 - p_1V_1) = -\frac{i}{2}p_0V_0\left(k^{\gamma-1}-1\right).

[0.5]

Работата за процеса $1\to 0$ може да бъде пресметната като площта на трапецовидния участък под отсечката 1–0:

(6)\qquad A_{10} = \frac{(p_1+p_0)}{2}(V_0 - V_1) = \frac{p_0V_0}{2}\left(1+k^{\gamma}\right)\left(1-1/k\right).

[0.5]

Общата работа за един цикъл е:

(7)\qquad A = A_{10} + A_{01} = \frac{p_0V_0}{2}\left[(1+k^{\gamma})(1-1/k) - i\left(k^{\gamma-1}-1\right)\right].

[0.5]

Мощността на двигателя е равна на работата за единица време, т.е.

(8)\qquad P = \nu A = \frac{\nu p_0V_0}{2}\left[(1+k^{\gamma})(1-1/k) - i\left(k^{\gamma-1}-1\right)\right].

[0.5]

Като заместим с $\nu = 30$ цикъла/s, $p_0 = 1.0\times 10^5$ Pa, $V_0 = 2.0\times 10^{-3}$ m $^3$ , $k = 10$ , пресмятаме:

(9)\qquad P = 47.8\ \mathrm{kW}.

[0.5]

в) Ъгловият коефициент на отсечката 1-0 е:

(10)\qquad C = \frac{p_1 - p_0}{V_1 - V_0} = -\frac{p_0}{V_0}\frac{(k^{\gamma}-1)}{(1-1/k)}

[0.5]

Тогава, за произволен обем налягането се дава с формулата:

(11)\qquad p = p_0 + C(V - V_0) = p_0\left[1 + \frac{k^{\gamma}-1}{1-1/k}\left(1-\frac{V}{V_0}\right)\right].

[0.5]

Като вземем предвид, че $T = \dfrac{pV}{nR}$ , получаваме:

(12)\qquad T = T_0\left[1 + \frac{k^{\gamma}-1}{1-1/k}\left(1-\frac{V}{V_0}\right)\right]\frac{V}{V_0}\,.

[0.5]

г) КПД на топлинната машина се пресмята като:

(13)\qquad \eta = \frac{Q^{(+)}}{A}\,,

където $Q^{(+)}$ е общото количество топлина, получено от газа по време на работния цикъл. При малко изменение на обема, газът обменя количество топлина:

(14)\qquad \delta Q = \frac{i}{2}nRdT + pdV = nR\left(\frac{i}{2}dT + \frac{T}{V}dV\right).

[0.5]

Газът получава топлина, когато $\delta Q > 0$ , т.е.

(15)\qquad \frac{i}{2}\frac{dT}{dV} + \frac{T}{V} = 2.5\frac{dT}{dV} + \frac{T}{V} > 0\,.

[0.5]

Удобно е да заместим $k$ и $\gamma$ с техните числени стойности и да представим израза (12) във вида:

(16)\qquad T = T_0\left(a - b\frac{V}{V_0}\right)\frac{V}{V_0},

където $a = 27.8$ , $b = 26.8$ . Тогава, $dT/dV = T_0/V_0\,(a - 2bV/V_0)$ и газът получава топлина, когато:

(17)\qquad 2.5\left(a - 2b\frac{V}{V_0}\right) + \left(a - b\frac{V}{V_0}\right) = 3.5a - 6b\frac{V}{V_0} > 0 \qquad \text{т.е.}

(18)\qquad V < V_2 \equiv V_0\frac{3.5a}{6b} = 0.605V_0 \quad \text{(участъкът 1-2 от отсечката 1-0)}.

[0.5]

Като вземем предвид, че $V_1 = V_0/10$ , $p_1 = 25.1p_0$ и $p_2 = 11.6p_0$ , намираме:

(19)\qquad A_{12} = \frac{(p_1+p_2)}{2}(V_2 - V_1) = 9.27\,p_0V_0

(20)\qquad \Delta U = \frac{i}{2}(p_2V_2 - p_1V_1) = 11.3\,p_0V_0

(21)\qquad Q^{(+)} = Q_{12} = A_{12} + \Delta U = 20.6\,p_0V_0

[1.0]

От уравнение (7) намираме общата работа за един цикъл:

(22)\qquad A = 7.97\,p_0V_0,

откъдето пресмятаме КПД:

(23)\qquad \eta = \frac{Q^{(+)}}{A} = 0.387

[1.0]

p-V диаграма на цикъла с допълнителна точка 2 между V1 и V0; стрелка Q(+) сочи към участъка 1-2, стрелка Q(-) — навън от участъка 2-0. — $p$ – $V$ диаграмата с отбелязана точка 2 при $V_2$ : върху участъка 1–2 газът получава топлина $Q^{(+)}$ , а върху 2–0 отдава $Q^{(-)}$ .

Оригинал в Архива: esenni_2008_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2008_STsolutions.pdf