Съдържание

НЕСФ 2009, 10. клас — Задача 2. Пет резистора между точките A и B

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2009

Национално есенно състезание по физика, Варна, 31 октомври 2009 г. — Тема 10. клас · 31 октомври 2009 г. · 10 т.

Условие

Пет резистора са свързани както е показано на фигура 2.1.

а) Определете големината на съпротивлението между точките A и B, ако $R_1 = 5Ω$ , $R_2 = 2Ω$ , $R_3 = 3Ω$ , а $R_4 = R_5 = 5Ω$ . Ако между точките A и B е приложено напрежение $U = 10$ V, колко ще бъде токът, който протича през всеки един резистор и отделяната върху тези резистори мощност? [5 т.]

б) Нека в схемата е включен допълнителен резистор $R_6 = 2Ω$ , както е показано на фигура 2.2. Определете и в този случай съставното съпротивление между A и B и токовете през всеки един резистор. [5 т.]

Резисторът $R_1$, последователната двойка $R_2$–$R_3$ и последователната двойка $R_4$–$R_5$ са свързани успоредно между точките A и B. — Фигура 2.1

Същата схема с допълнителен резистор $R_6$, свързан между възела между $R_2$ и $R_3$ и възела между $R_4$ и $R_5$. — Фигура 2.2

Отговори

Решение

а) Съпротивленията $R_2$ и $R_3$ са свързани последователно и дават еквивалентно съпротивление $R_{E1} = R_2 + R_3 = 5\ \Omega$ [0,5 т.]. По същия начин $R_{E2} = R_4 + R_5 = 10\ \Omega$ [0,5 т.]. Трите съпротивления $R_1$ , $R_{E1}$ и $R_{E2}$ са свързани успоредно и еквивалентното им съпротивление се определя от

\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_{E1}} + \frac{1}{R_{E2}}\quad \textbf{[0,5 т.]}

или $1/R = 5/10\ \Omega^{-1}$ , т.е. $R = 2\ \Omega$ [0,5 т.]. Токът определяме от закона на Ом $I = \dfrac{U}{R}$ [0,5 т.], т.е. $I = 5$ A [0,5 т.]. Токовете през съответните съпротивления намираме от $I_1 = U/R_1 = 2A$ , $I_2 = U/R_{E1} = 2A$ и $I_3 = U/R_{E2} = 1A$ . [0,5 т.]

Съответно отделените мощности $P = R_i I_j^2$ [0,5 т.] ще бъдат $P_1 = 10$ W, $P_2 = 4$ W, $P_3 = 6$ W, $P_4 = P_5 = 5$ W [1 т.]

б) Задачата може да решим по два начина –намираме първо токовете и оттам – еквивалентното съпротивление или намираме първо еквивалентното съпротивление, след което определяме токовете.

1. Решение на задачата с намиране на токовете чрез падовете на потенциала.

Токът през резистора $R_1$ се намира непосредствено : $I_1 = U/R_1 = 2$ A. [0,5 т.]

За намирането на останалите шест тока пресмятаме падовете на напрежението при различни комбинации:

R_2I_2 + R_3I_3 = U

R_4I_4 + R_5I_5 = U

R_2I_2 + R_6I_6 + R_5I_5 = U\quad \textbf{[0,5 т.]}

Освен това токовете през отделните резистори са свързани посредством:

I_2 = I_3 + I_6

I_5 = I_4 + I_6\quad \textbf{[0,5 т.]}

За опростяване на изчисленията заместваме стойностите на съпротивленията и напрежението $U$ в първите три уравнения. Токовете $I_3$ и $I_4$ фигурират само в по две уравнения, така че първо ги изключваме тях.

2.I_2 + 3(I_2 - I_6) = 10

2.I_5 - I_6 = 2

2.I_2 + 2.I_6 + 5.I_5 = 10\quad \textbf{[0,5 т.]}

От второто уравнение определяме $I_5$ и заместваме в третото – получаваме система от две уравнения:

4.I_2 + 9.I_6 = 10

5.I_2 - 3.I_6 = 10\quad \textbf{[0,5 т.]}

Откъдето определяме $I_2$ и $I_6$ , след това $I_5$ , $I_4$ и $I_3$ : $I_2 = 40/19$ A $\approx 2{,}105$ A [0,5 т.]; $I_6 = (5.I_2 - 10)/3$ A $\approx 0{,}175$ A [0,25 т.]; $I_5 = 1 + I_6/2 \approx 1{,}088$ A [0,25 т.]; $I_4 = I_5 - I_6 \approx 0{,}913$ A [0,25 т.]; $I_3 = (10-2.I_2)/3 \approx 1{,}93$ A [0,25 т.]

Пълният ток през системата е $I = I_1 + I_2 + I_4 \approx 5{,}02$ A [0,5 т.] Откъдето определяме еквивалентното съпротивление $R = U/I = 1{,}99\ \Omega$ [0,5 т.]

2а. За да определим съставното съпротивление на схемата, може да заместим три от резисторите (например $R_2$ , $R_3$ и $R_6$ ) с друг набор от три резистора – $R_{23}$ , $R_{26}$ и $R_{36}$ , така че съставните съпротивления между еквивалентни точки да бъдат едни и същи

Вляво: R2 и R3 последователно с отклонение R6. Вдясно: еквивалентната мрежа от R23, R26 и R36. — Преобразуване триъгълник–звезда: резисторите $R_2$ , $R_3$ и $R_6$ (вляво) се заместват с $R_{23}$ , $R_{26}$ и $R_{36}$ (вдясно).

Преначертана схема с четири успоредни клона между A и B: R1, R23, клонът R26–R36 и клонът R4–R5, свързани в средата. — Схемата от фигура 2.2 след заместването — $R_1$ , $R_{23}$ , $R_{26}$ , $R_4$ , $R_{36}$ и $R_5$ между точките A и B.

(1)\quad \frac{R_{26}(R_{23} + R_{36})}{(R_{23} + R_{26} + R_{36})} = R_2 + R_6 = 4\Omega

(2)\quad \frac{R_{23}(R_{26} + R_{36})}{(R_{23} + R_{26} + R_{36})} = R_2 + R_3 = 5\Omega

(3)\quad \frac{R_{36}(R_{23} + R_{26})}{(R_{23} + R_{26} + R_{36})} = R_3 + R_6 = 5\Omega\quad \textbf{[1 т.]}

Делейки почленно (1) и (2) и (2) и (3) от горните уравнения получаваме:

5R_{26}(R_{23} + R_{36}) = 4R_{23}(R_{26}+R_{36})\quad \text{и}\quad R_{23}(R_{26} + R_{36}) = R_{36}(R_{23} + R_{26})

Последното уравнение дава $R_{23} = R_{36}$ , което заедно с предходното води до $2R_{23}=3R_{26}$ и замествайки в което и да е от уравненията (1) – (3) получаваме

R_{23} = R_{36} = 8\Omega\quad \text{и}\quad R_{26} = 16/3\ \Omega\quad \textbf{[1 т.]}

Съпротивлението на отделните елементи и схемата като цяло е:

\frac{1}{R'} = \frac{1}{R_{26}} + \frac{1}{R_4}\ ,\ R' = 80/31\ \Omega \approx 2{,}58\ \Omega

\frac{1}{R''} = \frac{1}{R_{36}} + \frac{1}{R_5}\ ,\ R'' = 40/13\ \Omega \approx 3{,}08\ \Omega

\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_{23}} + \frac{1}{R'+R''}\ ,\ 1/R \approx 0{,}502\ \Omega^{-1}

$R \approx 1{,}99\ \Omega$ [0,5 т.] Пълният ток ще бъде $I = U/R \approx 5{,}02$ A. [0,5 т.]

Токът през резисторите $R_1$ и $R_{23}$ определяме от $I_i = U/R_i$ : $I_1 = 2$ A [0,5 т.] и $I_{23} = 1{,}25$ A. Останалите $1{,}77$ A ще текат през резисторите $R'$ и $R''$ , като $I_{26}/I_4 = R_4/R_{26} = 15/16$ и $I_{26}+I_4 = 1{,}77$ A, откъдето намираме $I_{26} = 0{,}856$ A и $I_4 = 0{,}914$ A [0,5 т.]. По същият начин определяме и $I_{36}/I_5 = 5/8$ : $I_{36} = 0{,}681$ A и $I_5 = 1{,}089$ A [0,5 т.]. За да определим токовете в първоначалната схема, е необходимо да се върнем на преобразуването звезда - триъгълник. Токът $I_3$ , който тече през резистора $R_3$ , се формира от токовете $I_{23}$ и $I_{36}$ .

I_3 = I_{23} + I_{36} = 1{,}25 + 0{,}673 = 1{,}931\ \mathrm{A}\quad \textbf{[0,25 т.]}

Съответно $I_2 = I_{23} + I_{26} = 2{,}106$ A, а разликата между тези два тока дава тока, който ще тече през резистора $R_6$ : $I_6 = I_2 - I_3 = 0{,}175$ A [0,25 т.] ( или от $I_5 - I_4$ )

2б. Преобразуването на системата от три резистора в друга схема от три резистора не е единствено. Възможна е и друга реализация, както е показано на фигурите в дясно. Трансформациите са:

r_{24} + r_{26} = \frac{R_2(R_4 + R_6)}{R_2 + R_4 + R_6} = \frac{14}{9}\Omega

Вляво: R2 и R4 успоредно, свързани отдолу през R6. Вдясно: звезда от r24 отгоре и r26, r46 отдолу. — Другата възможна реализация: $R_2$ , $R_4$ и $R_6$ (вляво) се заместват с $r_{24}$ , $r_{26}$ и $r_{46}$ (вдясно).

r_{24} + r_{46} = \frac{R_4(R_2 + R_6)}{R_2 + R_4 + R_6} = \frac{20}{9}\Omega

r_{26} + r_{46} = \frac{R_6(R_4 + R_2)}{R_2 + R_4 + R_6} = \frac{14}{9}\Omega\quad \textbf{[1 т.]}

Откъдето получаваме: $r_{24} = r_{46} = 10/9\ \Omega$ и $r_{26} = 4/9\ \Omega$ [0,5 т.].

При изчисляване на еквивалентните съпротивления получаваме:

r^{'} = r_{26} + R_3 = 4/9 + 3 = 31/9\ \Omega\quad \text{и}\quad r'' = r_{46} + R_5 = 10/9 + 5 = 55/9\ \Omega\quad \textbf{[0,5 т.]}

Общото съпротивление на веригата, съставена от $R_2$ , $R_3$ , $R_4$ , $R_5$ и $R_6$ ще бъде:

r = r_{24} + \frac{r'r''}{r'+r''} = 3{,}314\Omega,\quad \text{а пълното съпротивление:}\quad R = \frac{r.R_1}{r + R_1} = 1{,}99\Omega\quad \textbf{[0,5 т.]}

Пълният ток ще бъде $I = U/R \approx 5{,}02$ A. [0,5 т.] Токът през резистора $R_1$ определяме от $I_i = U/R_i$ : $I_1 = 2$ A [0,5 т.]

Токовете през резисторите $R_3$ и $R_5$ съвпадат с токовете през $r'$ и $r''$ – $I_3 + I_5 = 3{,}02$ A и $I_3/I_5 = r''/r'$ : $I_3 = 1{,}931$ A и $I_5 = 1{,}089$ A [0,5 т.].

Останалите токове определяме от:

I_2 + I_4 = I_3 + I_5 = 3{,}02\ \mathrm{A};\qquad I_2 - I_6 = I_3 = 1{,}931\ \mathrm{A}\quad \text{и}\quad R_2I_2 = U - R_3I_3 = 4{,}207\ \mathrm{V}\quad \textbf{[0,5 т.]}

I_2 = 2{,}103\ \mathrm{A};\qquad I_4 = 0{,}916\ \mathrm{A};\qquad I_6 = 0{,}172\ \mathrm{A}\quad \textbf{[0,5 т.]}

Оригинал в Архива: esenni_2009_10problems.pdf · официални решения: esenni_2009_10solutions.pdf