Съдържание

НЕСФ 2009, 11–12 клас — Задача 1. Излъчване на абсолютно черни тела и дисперсия в призма

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2009

Есенно национално състезание по физика, 31.10–1.11 2009 година, гр. Варна — Тема за 11. и 12. клас · 31 октомври 2009 г. · 10 т.

Условие

(Двете части са независими.)

Част 1. (4 т.)

Две еднакви топчета излъчват като абсолютно черни тела. Мощността на излъчване (енергията, излъчена за 1 s) на първото топче е $P_1 = 10$ W, а на второто е $P_2 = 20$ W. Максимумът в спектъра на излъчване на първото топче е при дължина на вълната $\lambda_1 = 500$ nm. При каква дължина на вълната $\lambda_2$ се намира максимумът в спектъра на излъчване на второто топче?

Част 2.

Тесен сноп светлина, който съдържа две спектрални компоненти – синя светлина с дължина на вълната във вакуум $\lambda_1 = 450$ nm и зелена светлина с дължина на вълната $\lambda_2 = 550$ nm, пада перпендикулярно върху едната стена на стъклена призма с пречупващ ъгъл $\gamma$ (фиг. 1). През другата стена на призмата преминава само една от двете компоненти. Зависимостта на показателя на пречупване $n$ на призмата от дължината на вълната $\lambda$ на светлината във вакуум е показана на фиг. 2. Показателят на пречупване на въздуха е единица.

а) Определете показателите на пречупване $n_1$ и $n_2$ на стъклото съответно за двете спектрални компоненти. [0,5 т.]

б) Постройте хода на лъчите за двете спектрални компоненти и обяснете явлението. Коя компонента преминава през призмата? [3,5 т.]

в) При какви стойности на пречупващия ъгъл $\gamma$ през призмата преминава само едната спектрална компонента? [2 т.]

Фиг. 1. Призмата и двете спектрални компоненти.

Фиг. 2. Показателят на пречупване като функция на дължината на вълната.

Решение

Част 1.

Записваме закона на Стефан за мощността на излъчването на двете топчета:

P_1 = \sigma S T_1^{4}\quad\text{и}\quad P_2 = \sigma S T_2^{4}\qquad \textbf{[1 т.]}

и изразяваме връзката между техните температури:

T_1 = T_2\left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{\frac{1}{4}}\qquad \textbf{[1 т.]}

Абсолютните температури на двете топчета и дължините на вълните, съответстващи на максимумите в спектри им на излъчване, са свързани със закона на Вин:

\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2\qquad \textbf{[1 т.]}

Заместваме $T_1$ и определяме $\lambda_2$ :

\lambda_2 = \left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{\frac{1}{4}}\lambda_1 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{4}}\lambda_1 \approx 420\ \mathrm{nm}\qquad \textbf{[1 т.]}

Част 2.

а) $n_1 = 1{,}725$ ; $n_2 = 1{,}650$ [0,5 т.]

б) Едната компонента преминава през призмата, като се пречупва от втората ѝ стена, а другата претърпява пълно вътрешно отражение [1 т.]

Ходът на двата лъча и оригиналният критерий за правилен чертеж: 1 точка.

Граничният ъгъл на пълно вътрешно отражение се определя от формулата $\sin\alpha_{\text{гр}} = \dfrac{1}{n}$ [0,5 т.]

От формулата се вижда, че граничният ъгъл е по-малък за онзи лъч, за който призмата има по-голям показател на пречупване. Това е синята светлина ( $\lambda_1$ , $n_1$ ). Следователно пълно вътрешно отражение ще се наблюдава за синия лъч [1 т.]

в) От чертежа се вижда, че ъгълът на падане $\alpha$ е равен на пречупващия ъгъл $\gamma$ на призмата (ъгли с взаимно перпендикулярни рамене): $\alpha = \gamma$ [0,5 т.]

За да се наблюдава описаният случай, трябва да е в сила неравенството

\frac{1}{n_1} < \sin\gamma < \frac{1}{n_2}\qquad \textbf{[1 т.]}

Следователно пречупващият ъгъл на призмата трябва да бъде в интервала

35{,}4^\circ < \gamma < 37{,}3^\circ\qquad \textbf{[0,5 т.]}

(При по-малки стойности на пречупващия ъгъл $\gamma$ и двата лъча ще преминат през призмата, а при по-големи те ще претърпят пълно вътрешно отражение.)

Оригинал в Архива: esenni_2009_11-12problems.pdf · официални решения: esenni_2009_11-12solutions.pdf