Съдържание

НЕСФ 2009, Специална тема — Задача 3. Материали с отрицателен показател на пречупване

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2009

Национално есенно състезание по физика, Варна, 31 октомври 2009 г. — Специална тема · 31 октомври 2009 г. · 10 т.

Условие

Особено модерно в последното десетилетие е създаването на така наречените метаматериали. Това са изкуствени материали, проектирани да имат свойства, които не са достъпни в природата. Един типичен пример за метаматериал, е материал с едновременно отрицателна диелектрична и магнитна проницаемост. Като следствие, такъв материал има и отрицателен показател на пречупване.

а) Продължете хода на лъча от Фигура 2 и кажете на колко е равен ъгълът на пречупване, ако средата отляво на равнината на падане, е въздух с показател на пречупване $n = 1$ , а отдясно средата е метаматериал с показател на пречупване $n = -1$ . [2 т.]

Вертикална гранична равнина: отляво бяла област с n = 1, отдясно сива област с n = -1. Хоризонтална прекъсната линия е нормалата. Отдолу вляво идва лъч, който сключва ъгъл θ с нормалата и достига границата. — Фигура 2

б) Плоско паралелна пластина с дебелина $d$ е направена от метаматериал с показател на пречупване $n = -1$ и е поставена във въздух с показател на пречупване $n = 1$ . Във въздуха, на разстояние $l$ ( $l < d$ ) от първата стена на пластината, е поставен предмет (Фигура 3). Покажете, че пластината създава два реални образа на предмета, единият от които е вътре в самата пластина, а другият е от другата й страна. Прави или обърнати са двата образа? [2 т.]

Плоскопаралелна сива пластина с дебелина d и показател n = -1, поставена във въздух с n = 1; предмет (човешка фигура) стои във въздуха на разстояние l вляво от първата стена на пластината; хоризонтална прекъсната оптична ос минава през предмета и пластината. — Фигура 3

в) За предишната подточка намерете разстоянието на образите до втората стена на пластината. [2 т.]

г) За материали с отрицателен показател на пречупване е известно, че векторът на Пойнтинг (векторът, който показва посоката на енергийния поток - посоката на разпространение на светлината) и вълновият вектор (векторът, който показва посоката на импулса) имат противоположни посоки, докато за материали с положителен показател на пречупване, векторът на Пойнтинг и вълновият вектор имат еднакви посоки.

В някои практики се използват среди, които са с отрицателен показател на пречупване за честота $\omega$ , и едновременно с това имат положителен показател на пречупване за честота $2\omega$ .

Определете посоката на фотон с честота $2\omega$ , роден от сливането на два фотона с честоти $\omega$ (разпространяващи се в една посока) в такава среда. [4 т.]

Отговори

Решение

а) От закона за пречупването имаме $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$ и конкретно за нашия случай:

\sin\theta = -\sin\theta_2 \Rightarrow \theta_2 = -\theta \qquad [1\text{т}]

Тоест, ъгълът на пречупване е равен по големина на ъгъла на падане и двата ъгъла са от една и съща страна на нормалата - Фигура 2. [1т]

Довършеният ход на лъча: падащият лъч сключва ъгъл θ с нормалата отляво (n = 1), а пречупеният лъч в средата с n = -1 сключва същия по големина ъгъл θ с нормалата, но е от същата страна на нормалата като падащия. — Фигура 2 (към решението на задача 3а)

б) чрез прости геометрични построения се виждат двата образа, които са прави [2т] (виж Фигура 3 и Фигура 4)

Ходът на два снопа лъчи през пластината с n = -1: лъчите от предмета отляво се пресичат вътре в пластината, където се получава първият реален образ, и се пресичат отново вдясно от пластината, където се получава вторият реален образ; и двата образа са прави. — Фигура 3 (към решението на задача 3б); в оригинала вдясно от фигурата е отпечатано „[3 т]“

Построение с отбелязани ъгли θ при двете стени на пластината и с отсечки l, l, d - l и d - l: предметът е на разстояние l пред пластината, първият образ е на разстояние l след първата стена, а вторият образ е на разстояние d - l след втората стена. — Фигура 4 (към решението на задача 3в)

в) От Фигура 4 лесно се съобразява, че двата образа са на разстояние $d-l$ от втората стена на пластината [2т].

г) Понеже материалът е с положителен показател на пречупване за фотони с честота $2\omega$ , то векторът на Пойнтинг и вълновият вектор ще имат еднаква посока за тези фотони (импулсът е в посока на разпространение на фотона). За фотони с честота $\omega$ , векторът на Пойнтинг и вълновият вектор имат обратни посоки, понеже материалът е с отрицателен показател на пречупване (импулсът е обратен на посока на разпространение на фотона).

Отчитайки закона за запазване на импулса, получаваме че посоката на разпространение на фотона с честота $2\omega$ , роден от два фотона с честота $\omega$ , става в обратна посока на фотоните с честота $\omega$ . [4 т]

Оригинал в Архива: esenni_2009_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2009_STsolutions.pdf