НЕСФ 2010, 10. клас — Задача 3. Съпротивление на безкрайни вериги

а)

От безкрайността на веригата следва, че ако съпротивлението между точки А и Б е $R_{АБ}$, то добавяйки още един повтарящ се елемент към безкрайната верига, получаваме същото съпротивление $R_{АБ}$ между точки А и Б. Тоест, имаме еквивалентна верига (показана на Фигура 2 б) на първоначалната верига (показана на Фигура 2 а)

Математически за съпротивлението между точки А и Б получаваме:

[1т]

От квадратичното уравнение физически смисъл има само положителният корен $\Rightarrow$

[2т]

б)

симетрията на задачата е като на предишната точка, с тази разлика, че сега веригата е безкрайна и в двете направления $\Rightarrow$ свежда се лесно до два паралелно свързани резистора, всеки с големина $R\left(\sqrt{5}-1\right)/2 \Rightarrow$

[2т]

в)

Ако в точка А от веригата приложим положителен потенциал, то от съображение на симетрия, към точка Б ще протича ток $i/4$ от общият ток (Фигура 3а). Аналогично, ако към точка Б приложим отрицателен потенциал, то към точка Б ще протича ток $i/4$ от общият ток (Фигура 3б). Използвайки принципа на суперпозицията и прилагайки едновременно и положителното напрежение към точка А и отрицателното към точка Б, то ще получим ток $i/2$, който ще протече между точки А и Б $\Rightarrow$ Използвайки закона на Ом, имаме $U_{АБ} = Ri/2$ или за ефективното съпротивлението между точки А и Б, имаме $R_{АБ} = R/2$ [5т]