Съдържание

НЕСФ 2010, 11–12 клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2010

Национално есенно състезание по физика, 6 ноември 2010 г. — Задачи, Тема 11-12 клас · 6 ноември 2010 г. · 10 т.

Условие

Върху хоризонтална равнина се намира триъгълна призма с маса $M$ . Върху стената й, която сключва с хоризонта ъгъл $\alpha$ , е поставено трупче с маса $m$ . Силите на триене между двете тела и между призмата и хоризонталната повърхност са пренебрежимо малки.

Триъгълна призма с маса M, легнала с хоризонтален катет върху хоризонтална равнина; върху наклонената ѝ стена, сключваща с хоризонта ъгъл α, лежи правоъгълно трупче с маса m. — Фиг. 1а

Определете:

а) големините на ускоренията, с които ще се движат призмата и трупчето (по 4 точки за всяко от двете ускорения) [8 т.]

б) силата на взаимодействие между призмата и трупчето (2 точки)

Отговори

Решение

Решение на Задача 1

а) Имайки в предвид, че призмата ще се движи по хоризонталната равнина, въвеждаме координатната система по указания начин на Фиг. 1б.

Силова диаграма: върху призмата M действат N нагоре, Mg надолу и R' по нормалата към наклона надолу-наляво; върху трупчето m действат mg надолу и R по нормалата нагоре-надясно. Вдясно е нанесена координатната система OXY. — Фиг. 1б

На призмата действат силата на тежестта $M\vec{g}$ , реакцията на хоризонталната равнина $\vec{N}$ и силата на натиск от страна на трупчето $\vec{R}'\left(\vec{R}' = -\vec{R}\right)$ . Вторият принцип на Нютон във векторна форма, записан за призмата, има вида:

M\vec{g} + \vec{R}' + \vec{N} = m\vec{a}_1, \qquad (1.1)

където $\vec{a}_1$ е ускорението на призмата. Скаларните уравнения, съответстващи на (1.1), са:

-R\sin\alpha = Ma_{1X}

-R\cos\alpha - Mg + N = Ma_{1Y} \qquad (1.2\text{а-б})

Тъй като призмата не се движи във вертикална посока

a_{1Y} = 0 \qquad \text{(2 точки)} \qquad (1.3)

На трупчето действат силата на тежестта $m\vec{g}$ и реакцията на призмата $\vec{R}\left(\vec{R} = -\vec{R}'\right)$ . Вторият принцип на Нютон във векторна форма, записан за трупчето, има вида:

m\vec{g} + \vec{R} = m\vec{a}_2, \qquad (1.4)

където $\vec{a}_2$ е ускорението на призмата. Скаларните уравнения, съответстващи на (1.4) са:

R\sin\alpha = ma_{2X}

R\cos\alpha - mg = ma_{2Y} \qquad (1.5\text{а-б})

Уравненията (1.2) и (1.5) представляват система от четири уравнения за петте неизвестни величини: $R, N, a_{1X}, a_{2X}, a_{2Y}$ .

Последното необходимо уравнение може да бъде получено чрез кинематичните величини описващи движението на двете тела.

Две наложени положения на призмата и трупчето; отбелязани са хоризонталното преместване на призмата s_1X, хоризонталното преместване на трупчето s_2X и вертикалното му преместване s_2Y. — Кинематична схема към Задача 1 (преместванията $s_{1X}$ , $s_{2X}$ и $s_{2Y}$ )

От фигурата се вижда, че

\frac{s_{2Y}}{s_{1X}+s_{2X}} = tg\,\alpha \qquad (1.6)

И двете тела се движат равноускорително $a_{1X} < 0, a_{2X} > 0, a_{2Y} < 0$ с нулеви начални скорости.

s_{1X} = \left|\frac{a_{1X}t^2}{2}\right| = -\frac{a_{1X}t^2}{2},\ \ s_{2X} = \frac{a_{2X}t^2}{2},\ s_{2Y} = \left|\frac{a_{2Y}t^2}{2}\right| = -\frac{a_{2Y}t^2}{2} \qquad (1.7)

Използвайки (1.7) , (1.6) може да бъде записано във вида:

\frac{a_{2Y}}{a_{1X}-a_{2X}} = tg\,\alpha \qquad (1.8)

Последното уравнение представлява и петото необходимо уравнение за намиране на неизвестните величини: $R, N, a_{1X}, a_{2X}, a_{2Y}$ .

Решение на получената система от 5 уравнения:

Разделяйки (1.2а) на (1.5а), получаваме:

a_{1X} = -\frac{m}{M}a_{2X}. \qquad (1.9)

Замествайки (1.9) в (1.8) получаваме:

\frac{a_{2Y}}{a_{2X}} = -\left(1+\frac{m}{M}\right)tg\,\alpha \qquad (1.10)

Разделяйки (1.5б), на (1.5а) получаваме:

\frac{a_{2Y}}{a_{2X}} = \frac{R\cos\alpha - mg}{R\sin\alpha} \qquad (1.11)

От приравняването на (1.10) и (1.11) получаваме

R = \frac{Mmg\cos\alpha}{M+m\sin^2\alpha} \qquad \text{(2 точки)} \qquad (1.12)

Замествайки в (1.10) , $a_{2X} = \dfrac{R\sin\alpha}{m}$ от (1.5а) и $R$ с израза (1.12) получаваме:

a_{2Y} = -\frac{\left(M+m\right)}{\left(M+m\sin^2\alpha\right)}g\sin^2\alpha \qquad \text{(2 точки)} \qquad (1.13)

Замествайки в (1.5а), (1.12) получаваме:

a_{2X} = \frac{Mg\sin\alpha\cos\alpha}{\left(M+m\sin^2\alpha\right)} \qquad \text{(1точка)} \qquad (1.14)

От (1.13) и (1.14) получаваме за ускорението на трупчето:

a_2 = \sqrt{a_{2X}^2+a_{2Y}^2} = \frac{g\sin^2\alpha}{\left(M+m\sin^2\alpha\right)}\sqrt{\left(2Mm+m^2\right)\sin^2\alpha+M^2}. \qquad \text{(1 точка)} \qquad (1.15)

Използувайки (1.2а), и (1.12) получаваме:

a_1 = -a_{1X} = \frac{mg\cos\alpha\sin\alpha}{\left(M+m\sin^2\alpha\right)} \qquad \text{(2 точки)} \qquad (1.16)

Оригинал в Архива: esenni_2010_11-12problems.pdf · официални решения: esenni_2010_11-12solutions.pdf