Съдържание

НЕСФ 2010, 11–12 клас — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2010

Национално есенно състезание по физика, 6 ноември 2010 г. — Задачи, Тема 11-12 клас · 6 ноември 2010 г. · 10 т.

Условие

Цилиндър, който има дъно с радиус $r$ и височина $6r$ , е разделен на две части с помощта на бутало с форма на полукълбо, което може да се движи в цилиндъра без триене. Плоскостта на буталото е винаги перпендикулярна на оста на цилиндъра. От двете страни на буталото се намира въздух с различни температури. Ако цилиндърът се постави вертикално така, че изпъкналата част на буталото да е надолу, то заема равновесно положение, при което изпъкналата му част слиза до дъното на цилиндъра, без да се опира в него (виж Фиг. 2а). Ако цилиндърът се преобърне и пак е вертикален, равновесното положение на буталото е такова, че плоската му част се намира на средата на цилиндъра (виж Фиг. 2б).

Указание: Приемете, че силата, с която газа, действащ върху изпъкналата част на буталото страна, е $F_1 = p_1\pi\,r^2$ , където $p_1$ е налягането на газа. Уравнението за състоянието на идеален газ (уравнение на Клапейрон) има вида: $pV = nRT = \dfrac{m}{M}RT$ , където $p$ е налягането, $V$ е обема, $T$ е температурата на идеалния газ, $n$ е количеството вещество, $m$ е масата на газа, $M$ е моларната маса на газа и $R = 8,413\,J\big/\left(mol\cdot K\right)$ е универсалната газова константа.

а) Определете отношението на масите на въздуха в двете части на съда, ако отношението на температурата на въздуха в страната, ограничена с изпъкналата част на буталото, към температурата на въздуха от другата страна на буталото е $n$ . По време на опита температурата на въздуха от двете страни на буталото се поддържа еднаква и постоянна. (7 точки)

б) Колко пъти трябва да се повиши температурата на въздуха, ограничен с плоската страна на буталото, за да заеме то равновесно положение, при което изпъкналата му част да се издигне до дъното на цилиндъра, без да се допира до него (виж Фиг. 2в). (3 точки)

Вертикален цилиндър; буталото-полукълбо е с изпъкналата част надолу, слязла до дъното без да се допира до него. Долната област е означена с 1, горната — с 2. — Фиг. 2а

Обърнатият вертикален цилиндър; плоската част на буталото е на средата на цилиндъра, а полукълбото е изпъкнало нагоре. Горната област е означена с 1, долната — с 2. — Фиг. 2б

Обърнатият вертикален цилиндър; изпъкналата част на буталото се е издигнала до дъното (горната стена), без да се допира до него. Областта между плоската част на буталото и горната стена, извън полукълбото, е означена с 1, останалата част на цилиндъра — с 2. — Фиг. 2в

Отговори

Решение

Решение на Задача 2

а) Параметрите на състоянието на въздуха в страната, ограничена с изпъкналата част на буталото, ще обозначаваме с индекса 1. Параметрите на състоянието на въздуха в страната, ограничена с плоската част на буталото, ще обозначаваме с индекса 2.

Ако цилиндърът се постави вертикално така, че изпъкналата част на буталото да е надолу, то заема равновесно положение, при което изпъкналата му част слиза до дъното на цилиндъра, без да се опира в него (виж Фиг. 2а).

Уравнението за състоянието на идеалния газ в страната 2 има вида:

p_2V_2 = \frac{m_2}{M}RT_2

Обемът $V_2$ е равен на $V_2 = \left(\pi r^2\right)\left(5r\right) = 5\pi r^3$ . (1 точка)

Уравнението за състоянието на идеалния газ в страната 1 има вида:

p_1V_1 = \frac{m_1}{M}RT_1

Обемът $V_1$ е равен на $V_1 = \left(\pi r^2\right)\left(r\right) - \dfrac{2}{3}\pi r^3 = \dfrac{1}{3}\pi r^3$ . Тук $\dfrac{2}{3}\pi r^3$ е обемът на буталото. (1 точка)

За да бъде буталото в равновесие, векторната сума от силите, които му действат, трябва да бъде равна на нула:

p_2\pi r^2 + G = p_1\pi r^2,

където $G$ е силата на тежестта, действаща върху буталото. С други думи, налягането на въздуха от страната 2 плюс налягането дължащо се на буталото трябва да бъде равно на налягането на въздуха от страна 1:

p_2 + p_{\text{БУТАЛО}} = p_1,\ \text{където}\ p_{\text{БУТАЛО}} = G\big/\left(\pi r^2\right).

Следователно

p_{\text{БУТАЛО}} = p_1 - p_2 = \frac{R}{M}\left(3\frac{m_1T_1}{\pi r^3} - \frac{m_2T_2}{5\pi r^3}\right) = \frac{R}{M\pi r^3}\left(3m_1T_1 - \frac{m_2T_2}{5}\right). \qquad \text{(1 точка)} \qquad (2.1)

Ако цилиндърът се преобърне и пак е вертикален, равновесното положение на буталото е такова, че плоската му част се намира на средата на цилиндъра (виж Фиг. 2б).

Уравнението за състоянието на идеалния газ в страната 2 има вида:

p_2'V_2' = \frac{m_2}{M}RT_2

Обемът $V_2'$ е равен на $V_2' = \left(\pi r^2\right)\left(3r\right) = 3\pi r^3$ . (1 точка)

Уравнението за състоянието на идеалния газ в страната 1 има вида:

p_1'V_1' = \frac{m_1}{M}RT_1

Обемът $V_1'$ е равен на $V_1' = \left(\pi r^2\right)\left(3r\right) - \dfrac{2}{3}\pi r^3 = \dfrac{7}{3}\pi r^3$ . (1 точка)

Налягането на въздуха от страната 1 плюс налягането дължащо се на буталото трябва да бъде равно на налягането на въздуха от страна 2:

p_1' + p_{\text{БУТАЛО}} = p_2'.

Следователно

p_{\text{БУТАЛО}} = p_2' - p_1' = \frac{R}{M}\left(\frac{m_2T_2}{3\pi r^3} - \frac{3}{7}\frac{m_1T_1}{\pi r^3}\right) = \frac{R}{M\pi r^3}\left(\frac{1}{3}m_2T_2 - \frac{3}{7}m_1T_1\right). \qquad \text{(1 точка)} \qquad (2.2)

Приравняването на двата израза за налягането на буталото дава:

3\cdot\frac{8}{7}m_1T_1 = \frac{8}{15}m_2T_2.

Отчитайки, че $T_1\big/T_2 = n$ , получаваме:

\frac{m_1}{m_2} = \frac{7}{45}\frac{T_2}{T_1} = \frac{7}{45}\frac{1}{n} \qquad \text{(1 точка)}

б) Уравнението за състоянието на идеалния газ в страната 2 има вида:

p_2''V_2'' = \frac{m_2}{M}RT_3

Обемът $V_2''$ е равен на $V_2'' = \left(\pi r^2\right)\left(5r\right) = 5\pi r^3$ .

Уравнението за състоянието на идеалния газ в страната 1 има вида:

p_1''V_1'' = \frac{m_1}{M}RT_1

Обемът $V_1''$ е равен на $V_1'' = \left(\pi r^2\right)\left(r\right) - \dfrac{2}{3}\pi r^3 = \dfrac{1}{3}\pi r^3$ . (1 точка)

p_1'' + p_{\text{БУТАЛО}} = p_2''.

Следователно

p_{\text{БУТАЛО}} = p_2'' - p_1'' = \frac{R}{M}\left(\frac{m_2T_3}{5\pi r^3} - 3\frac{m_1T_1}{\pi r^3}\right) = \frac{R}{M\pi r^3}\left(\frac{1}{5}m_2T_3 - 3m_1T_1\right). \qquad \text{(1 точка)}

Приравняването на получения израз за налягането на буталото с някой от предишните два израза (2.1) или (2.2) дава:

p_{\text{БУТАЛО}} = \frac{R}{M\pi r^3}\left(3m_1T_1 - \frac{m_2T_2}{5}\right) = \frac{R}{M\pi r^3}\left(-3m_1T_1 + \frac{m_2T_3}{5}\right) \Rightarrow T_3 = \frac{11}{3}T_2. \qquad \text{(1 точка)}

Оригинал в Архива: esenni_2010_11-12problems.pdf · официални решения: esenni_2010_11-12solutions.pdf