НЕСФ 2010, 11–12 клас — Задача 3

• а) $r_n = n^2\frac{\hbar^2}{ke^2m_e} = n^2r_1,\ \ k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\ \ n = 1,2,3,\ldots$

• б) $r_1 = \frac{\hbar^2}{ke^2m_e} = 0{,}528\cdot 10^{-10}\ \mathrm{m}$

• в) $E_n = -\frac{1}{2}k\frac{e^2}{r_n} = \frac{1}{n^2}E_1,\ \ E_1 = -\frac{\left(ke^2\right)^2m_e}{2\hbar^2}$

• г) $E_1 = -2{,}17\cdot 10^{-18}\,J = -13{,}55\,eV$

  В решението е получено $-13{,}55\ \mathrm{eV}$; с точните константи стойността е $\approx -13{,}6\ \mathrm{eV}$.

• д) $R = \frac{-E_1}{h} = \frac{2{,}17\cdot 10^{-18}\left[J\right]}{6{,}626\cdot 10^{-34}\left[J\cdot s\right]} = 3{,}29\cdot 10^{15}\left[\frac{1}{s}\right]$

Решение на задача 3.

а) Центростремителната сила е равна на кулоновата сила:

Използувайки, че на кръгова стационарна орбита се нанасят цяло число дължини на вълната на Дьо Бройл, т.е е в сила съотношението $2\pi r = n\,h\big/p$ , получаваме за скоростта на електрона:

Замествайки (3.2) в (3.1) получаваме следната формула за радиусите на стационарните орбити на електроните във водородния атом

б)

в) Пресмятаме пълната енергия на електрона. Кинетичната енергия на електрона е $E_K = \dfrac{1}{2}m_eu^2 = \dfrac{1}{2}k\dfrac{e^2}{r}$. Потенциалната енергия на електрона е $E_P = -k\dfrac{e^2}{r}$. Следователно пълната енергия на електрона е: $E_P = -\dfrac{1}{2}k\dfrac{e^2}{r}$. (2 точки) (3.4)

Замествайки (3.3) в (3.4) получаваме формулата за енергията на електрона на различните стационарни орбити във водородния атом:

г) Замествайки зададените физични константи в (3.5) получаваме:

д) Използвайки втория постулат на Бор за излъчената или погълната енергия при преход на електрона от една стационарна орбита на друга, и използувайки изведената формула за енергиите на електрона на различните стационарни орбити във водородния атом (3.5) получаваме:

Съпоставяйки този израз със зададената формула $\nu_{nm} = R\left(\dfrac{1}{n^2} - \dfrac{1}{m^2}\right), n < m$ , се вижда, че стойността на константата на Ридберг е: