Съдържание

НЕСФ 2010, 9. клас — Задача 1. Потапяне на цилиндър в несмесващи се течности.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2010

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА · Национално есенно състезание по физика · Варна, 6 ноември 2010 г. · Тема за 9 клас · 6 ноември 2010 г.

Внимание: Бележка към темата

В печатното решение на задача 2 за Тодор на едно място са използвани индекси за Ники; числата и последващата таблица са запазени както са отпечатани.

Условие

В голям съд са налети две неразтворими една в друга (несмесващи се) течности, едната с плътност $\rho_1 = 0{,}80\ \mathrm{g/cm^3}$ , а другата с плътност $\rho_2 > \rho_1$ . Едната течност образува слой с дебелина $d$ върху другата.
В съда се поставя вертикално кух цилиндър с маса $M = 64\ \mathrm{g}$ , дължина $H$ и сечение $S$ . Цилиндърът плава. След това на дъното му се поставят допълнителни тежести като се измерва дължината $h$ на стърчащата над повърхността част на цилиндъра в зависимост от масата $m$ на поставените тежести. Графиката на зависимостта е дадена на фигурата по-долу. Намерете:
а) дължината $h_0$ на стърчащата над повърхността част на цилиндъра, когато в него няма допълнителни тежести. [1 т]
б) максималната маса $m_{\max}$ , която може да се постави в цилиндъра, преди той да потъне. [1 т]
в) дължината $h_1$ на стърчащата над повърхността част на цилиндъра, когато дъното му достига границата между двете течности. [1 т]
г) масата $m_1$ на допълнителната тежест, която трябва да се постави в цилиндъра, за да достигне дъното му границата между двете течности. [1 т]
д) площта $S$ на сечението на цилиндъра. [2 т]
е) дължината $H$ на цилиндъра. [1 т]
ж) дебелината $d$ на горния слой течност. [1 т]
з) плътността $\rho_2$ на втората течност. [2 т]
Приемете, че дебелината $d$ на горния слой течност не се променя и цилиндърът винаги е вертикален.

Графика на зависимостта h (cm) като функция на m (g): точки, лежащие приблизително на две прави — стръмна от (0; 7) до около (30; 3,2) и по-полегата от там до около (80; 0); ос абсциса m, g от 0 до 80+, ордината h, cm от 0 до 8, милиметрова мрежа.

а) дължината $h_0$ на стърчащата над повърхността част на цилиндъра, когато в него няма допълнителни тежести. [1 т.]

б) максималната маса $m_{\max}$ , която може да се постави в цилиндъра, преди той да потъне. [1 т.]

в) дължината $h_1$ на стърчащата над повърхността част на цилиндъра, когато дъното му достига границата между двете течности. [1 т.]

г) масата $m_1$ на допълнителната тежест, която трябва да се постави в цилиндъра, за да достигне дъното му границата между двете течности. [1 т.]

д) площта $S$ на сечението на цилиндъра. [2 т.]

е) дължината $H$ на цилиндъра. [1 т.]

ж) дебелината $d$ на горния слой течност. [1 т.]

з) плътността $\rho_2$ на втората течност. [2 т.]

Отговори

Решение

Задача 1. Потапяне на цилиндър в несмесващи се течности.

а) от графиката на зависимостта за $m = 0$ се получава за дължината на стърчащата над повърхността част на цилиндъра $h_0 = 7{,}0\ \mathrm{cm}$ . [1 т.]

б) от графиката на зависимостта за $h = 0$ се получава за максималната маса $m_{\max}$ , която може да се постави в цилиндъра, $m_{\max} = 80\ \mathrm{g}$ . [1 т.]

в) вижда се, че графиката на зависимостта е съставена от два линейни участъка. Пресечната точка на тези два участъка съответства на поставена тежест, когато дъното на цилиндъра достига границата между двете течности. Съответно дължината на стърчащата над повърхността част на цилиндъра, когато дъното му достига границата между двете течности, е $h_1 = 3{,}0\ \mathrm{cm}$ . [1 т.]

Същата графика като в условието, но с начертани прави през точките и щрихови стрелки, указващи h₀ = 7 cm при m = 0, h₁ = 3 cm при m = 32 g и m_max = 80 g при h = 0.

г) за масата на допълнителната тежест, която трябва да се постави в цилиндъра, за да достигне дъното му границата между двете течности, се получава $m_1 = 32\ \mathrm{g}$ . [1 т.]

д) площта $S$ на сечението на цилиндъра може да се намери от условието за равновесие на цилиндъра в различни положения. Когато е празен, силата на тежестта му се уравновесява с Архимедовата сила:

Mg = \rho_1 S (H - h_0) g \qquad \mathbf{[0{,}25\ т.]} \qquad (1.1)

Когато дъното му достига границата между двете течности,

(M + m_1) g = \rho_1 S (H - h_1) g \qquad \mathbf{[0{,}25\ т.]} \qquad (1.2)

При изваждането на (1.1) от (1.2) се получава $m_1 g = \rho_1 S (h_0 - h_1) g$ , откъдето

S = \frac{m_1}{\rho_1 (h_0 - h_1)}\ \mathbf{[0{,}5\ т.]} = \frac{32\,\mathrm{g}}{0{,}8\ \mathrm{g/cm^3}\,(7{,}0\,\mathrm{cm} - 3{,}0\,\mathrm{cm})} = 10\ \mathrm{cm^2} \qquad \mathbf{[1\ т.]}

е) дължината $H$ на цилиндъра може да се намери от (1.1):

H = h_0 + \frac{M}{\rho_1 S} = 7{,}0\ \mathrm{cm} + \frac{64\,\mathrm{g}}{0{,}8\ \mathrm{g/cm^3}\cdot 10\,\mathrm{cm^2}} = 15{,}0\ \mathrm{cm} \qquad \mathbf{[1\ т.]}

ж) дебелината на горния слой течност е $d = H - h_1 = 15{,}0\ \mathrm{cm} - 3{,}0\ \mathrm{cm} = 12{,}0\ \mathrm{cm}$ . [1 т.]

з) при маса $m_{\max}$ на поставената тежест и напълно потопен цилиндър условието за равновесие е:

(M + m_{\max}) g = \rho_1 S d g + \rho_2 S (H - d) g.\ \mathbf{[0{,}5\ т.]}\quad \text{Оттук}

\rho_2 = \frac{M + m_{\max} - \rho_1 S d}{S (H - d)}\ \mathbf{[0{,}5\ т.]} = \frac{64\,\mathrm{g} + 80\,\mathrm{g} - 0{,}8\ \mathrm{g/cm^3}\cdot 10\,\mathrm{cm^2}\cdot 12\,\mathrm{cm}}{10\,\mathrm{cm^2}\,(15\,\mathrm{cm} - 12\,\mathrm{cm})} = 1{,}6\ \mathrm{g/cm^3}.\ \mathbf{[1\ т.]}

Оригинал в Архива: esenni_2010_9problems.pdf · решение от архива: esenni_2010_9solutions.pdf