Съдържание

НЕСФ 2010, 9. клас — Задача 2. Бягане на 100 m.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2010

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА · Национално есенно състезание по физика · Варна, 6 ноември 2010 г. · Тема за 9 клас · 6 ноември 2010 г.

Внимание: Бележка към темата

В печатното решение на задача 2 за Тодор на едно място са използвани индекси за Ники; числата и последващата таблица са запазени както са отпечатани.

Условие

Две момчета, Тодор и Ники, бягат от място на 100 m. Учителят по физкултура измерил допълнително техните междинни времена на дистанции 16 m и 50 m от старта. Резултатите били следните (виж таблицата по-долу):

Име	t(16m), s	t(50m), s	t(100m), s	$v_{\mathrm{m}}$ , m/s	$a$ , m/s $^2$
Тодор	4,00	7,50	?	?	?
Ники	3,00	7,25	?	?	?

Приемете, че двете момчета, Тодор и Ники, първоначално бягат равноускорително съответно с ускоренията $a_{\mathrm{Т}}$ и $a_{\mathrm{Н}}$ . След като достигнат своята максимална скорост, съответно $v_{\mathrm{maxТ}}$ и $v_{\mathrm{maxН}}$ , те бягат равномерно до финала. Намерете:

Получените резултати нанесете в таблица, подобна на горната, във вашите листа с решението. Проверете дали получените стойности съответстват на направените от Вас предположения.

а) скоростите $v_{\mathrm{maxТ}}$ [2 т.] и $v_{\mathrm{maxН}}$ [4 т.]

б) ускоренията $a_{\mathrm{Т}}$ [2 т.] и $a_{\mathrm{Н}}$ [4 т.]

в) времената им $t_{\mathrm{Т}}(100\mathrm{m})$ [1 т.] и $t_{\mathrm{Н}}(100\mathrm{m})$ [1 т.] на 100 m. [2 т.]

Отговори

Решение

Задача 2. Бягане на 100 m.

а,б) Проблемът в задачата е, че не се знае кога и къде всяко от момчетата достига своята максимална скорост. Ако допуснем, че до 50-ия метър те не успяват да достигнат максимална скорост и до там бягат равноускорително, тогава от уравненията

l_1 = \frac{1}{2} a t_1^2 \quad \text{и} \quad l_2 = \frac{1}{2} a t_2^2 \quad \text{следва, че}\quad \frac{l_1}{l_2} = \left(\frac{t_1}{t_2}\right)^2. \qquad (2.1)

Проверявайки със съответните времена на двете момчета за разстоянията 16 m и 50 m, виждаме, че (2.1) не е изпълнено за нито едно от тях. Следователно и двете момчета достигат своята максимална скорост преди 50-ия метър. [0,5 т.]

Нека да допуснем, че всяко от момчетата достига своята максимална скорост преди 16-ия метър. Тогава и до 16-ия метър, и до 50-ия метър, изминатия път ще се дава със следните формули:

l_1 = v_{\max}\left(t_1 - T_a\right) + \frac{1}{2} a T_a^2 \quad \textbf{[0,5 т.]} \qquad (2.2)

l_2 = v_{\max}\left(t_2 - T_a\right) + \frac{1}{2} a T_a^2, \qquad (2.3)

където $l_1$ и $l_2$ са съответно 16 m и 50 m, $t_1$ и $t_2$ са времената на тези разстояния, а с $T_a$ бележим интервала време, през който момчето се движи равноускорително. Очевидно при направените предположения $T_a < t(16\,\mathrm{m})$ . Ако извадим (2.2) от (2.3), получаваме $v_{\max} = \dfrac{l_2 - l_1}{t_2 - t_1}$ [0,5 т]. Замествайки с дадените стойности за Тодор и Ники получаваме съответно $v_{\text{maxТ}} = 9{,}71\ \mathrm{m/s}$ и $v_{\text{maxН}} = 8{,}00\ \mathrm{m/s}$ [0,5 т.].

Ако използваме връзката $v_{\max} = a T_a$ (2.4), то уравнението (2.2) може да се запише във вида

l_1 = v_{\max}\left(t_1 - \frac{v_{\max}}{a}\right) + \frac{1}{2} a \left(\frac{v_{\max}}{a}\right)^2 = v_{\max} t_1 - \frac{1}{2}\frac{v_{\max}^2}{a}. \qquad (2.5)

От (2.5) получаваме

a = \frac{v_{\max}^2}{2\left(v_{\max} t_1 - l_1\right)}\ \textbf{[1 т.]}\text{. Замествайки с дадените стойности за 16 m и 50 m (ускорението можем да пресметнем независимо за двете разстояния) за Тодор и Ники като пресмятаме също } T_a \text{ от (2.4) получаваме (виж таблицата)}

Име	$V_{\max}$ , m/s	$a(16\,\mathrm{m})$ , m/s $^2$	$a(50\,\mathrm{m})$ , m/s $^2$	$T_a$ , s
Тодор	9,71	2,07	2,07	4,69
Ники	8,00	4,00	4,00	2,00

Вижда се, че получените стойности съответстват на направеното предположение само за Ники [1 т.]. За Тодор се получава $T_a > t(16\,\mathrm{m})$ , което противоречи на предположението.

Можем да наравим и обратното предположение, т.е. и двете момчета бягат равноускорително до 16-ия метър. Тогава изминатия път ще се дава със следните формули:

l_1 = \frac{1}{2} a t_1^2 \qquad (2.6)

l_2 = v_{\max}\left(t_2 - T_a\right) + \frac{1}{2} a T_a^2, \qquad (2.7)

където $l_1$ и $l_2$ са съответно 16 m и 50 m, $t_1$ и $t_2$ са времената на тези разстояния, а с $T_a$ бележим интервала време, през който момчето се движи равноускорително, и сега $T_a > t(16\,\mathrm{m})$ . От (2.6) намираме ускорението $a = \dfrac{2 l_1}{t_1^2}$ . (2.8)

Съответно за Тодор и Ники получаваме $a_{\text{Т}} = 2{,}00\ \mathrm{m/s^2}$ и $a_{\text{Н}} = 32/9\ \mathrm{m/s^2} \approx 3{,}56\ \mathrm{m/s^2}$ . Използвайки (2.8) и (2.4), уравнението (2.7) се преобразува до квадратното уравнение за $v_{\max}$ :

\frac{t_1^2}{4 l_1} {v_{\max}}^2 - t_2 v_{\max} + l_2 = 0\ \textbf{[1 т.]}\ (2.9), \text{ чиито решения са:}

v_{\max 1,2} = \frac{2 l_1}{t_1^2}\left(t_2 \pm \sqrt{t_2^2 - t_1^2 \frac{l_2}{l_1}}\right), \text{ които могат да се преобразуват и до}

v_{\max 1,2} = \frac{2 l_1}{t_1}\left(\frac{t_2}{t_1} \pm \sqrt{\left(\frac{t_2}{t_1}\right)^2 - \frac{l_2}{l_1}}\right) \textbf{[1 т.]}\text{. Замествайки с дадените стойности получаваме следните резултати (виж таблицата по-долу):}

Име	$a(16\,\mathrm{m})$ , m/s $^2$	$V_{\max 1}$ , m/s	$V_{\max 2}$ , m/s	$T_{a1}$ , s	$T_{a2}$ , s
Тодор	2,00	20,0	10,0	10,00	5,00
Ники	3,56	43,36	8,20	12,18	2,30

Вижда се, че нито едно от получените решения за Ники не може да е вярно ( $T_{\text{a1Н}} > t(50\,\mathrm{m})$ , а $T_{\text{a2Н}} < t(16\,\mathrm{m})$ ). Съответно първото решение за Тодор също не е вярно ( $T_{\text{a1Н}} > t(50\,\mathrm{m})$ ). Следователно $v_{\text{maxН}} = 10{,}0\ \mathrm{m/s}$ и $a_{\text{Н}} = 2{,}00\ \mathrm{m/s^2}$ . [2 т.]

в) времето на 100 m намираме от уравнението:

l(100\,\mathrm{m}) = \frac{1}{2} a T_a^2 + v_{\max}\left(t(100\,\mathrm{m}) - T_a\right), \text{ откъдето}

t(100\,\mathrm{m}) = T_a + \frac{l(100\,\mathrm{m}) - \frac{1}{2} a T_a^2}{v_{\max}} \qquad \textbf{[1 т.]}\text{. Замествайки с получените стойности получаваме } t_{\text{Т}}(100\,\mathrm{m}) = 12{,}5\ \mathrm{s} \ \textbf{[0.5 т.]} \ \text{и} \ t_{\text{Н}}(100\,\mathrm{m}) = 13{,}5\ \mathrm{s}\ \textbf{[0.5 т.]}\text{. Окончателният вид на таблицата е}

Име	t(16m), s	t(50m), s	t(100m), s	$v_{\text{m}}$ , m/s	$a$ , m/s $^2$
Тодор	4,00	7,50	12,5	10,0	2,00
Ники	3,00	7,25	13,5	8,00	4,00

Оригинал в Архива: esenni_2010_9problems.pdf · решение от архива: esenni_2010_9solutions.pdf