НЕСФ 2010, Специална тема — Задача 3. Ефект на Мьосбауер

Национално есенно състезание по физика 2010, Специална тема · 5 ноември 2010 г. · 10 т.

Условие

Ако атом премине от възбудено енергетично ниво с енергия $E_1$ в основното си ниво с енергия $E_0$, се излъчва фотон с енергия $h\nu = E_1 - E_n$. Този фотон може да бъде погълнат от атом на същото вещество, който първоначално се намира в основното ниво $E_0$ и преминава във възбудено състояние с енергия $E_1$. Този процес се нарича резонансна флуоресценция и се наблюдава лесно, когато излъченият фотон е в оптичната част на спектъра. В случай, когато фотонът се излъчва при преход между енергетичните нива на атомното ядро обаче резонансна флуоресценция се наблюдава само при специални условия. Причината е, че излъченият фотон ($\gamma$–квант) придава значителен импулс на излъчващото ядро, и следователно и част от своята енергия. С по-ниската си енергия $\gamma$–квантът не може да бъде погълнат от друго ядро на същия изотоп, намиращо се в основно състояние.

Основни константи

Константа на Планк, $h = 6.63{\times}10^{-34}$ J·s

Скорост на светлината във вакуум, $c = 3.00{\times}10^{8}$ m/s

Елементарен електричен заряд, $e = 1.60{\times}10^{-19}$ J·s

Число на Авогадро, $N_A = 6.02{\times}10^{23}$ mol$^{-1}$

Ускорение на свободно падане, $g = 9.80$ m/s$^2$

А) Разгледайте свободно ядро (например в газ) с маса $m$ и разлика в енергиите между възбуденото и основното ниво $E_1 - E_0 = h\nu_0$, където $\nu_0$ е честотата, с която би бил излъчен $\gamma$–квантът, ако ядрото беше неподвижно закрепено.

• Получете приблизителни изрази за кинетичната енергия $E_R$ на ядрото след излъчването на $\gamma$–кванта и за енергията $h\nu_1$ на излъчения фотон, ако първоначално ядрото е неподвижно. Изразете отговорите чрез $h\nu_0$, $m$ и скоростта на светлината $c$. Можете да приемете, че $h\nu_0 \ll mc^2$ и да използвате приблизителните равенства $(1+x)^n \approx 1 + nx$ и $(1+x)(1+y) \approx 1 + x + y$, когато $|x|,\,|y| \ll 1$. [2.5 т]
• Колко трябва да бъде енергията $h\nu_2$ на $\gamma$–квант, за да бъде погълнат от първоначално неподвижно ядро, намиращо се в основното си състояние? [3,5 т.]

Б) Ще разгледаме конкретно ядро на изотопа $^{57}$Fe на желязото (моларна маса $M = 0.057$ kg/mol). Възбудените ядра излъчват в случайни моменти от време, като средното им време на живот е $\tau = 10^{-7}$ s. Поради това, енергията на излъчените кванти не е фиксирана, а е случайно разпределена в малък интервал $\nu_1 \pm \Delta\nu$. Аналогично, неподвижното ядро може да поглъща фотони в интервал от честоти $\nu_2 \pm \Delta\nu$ със същата широчина.

• Като използвате принципа за неопределеност, оценете полуширочината $\Delta\nu$ на честотния интервал при излъчване или поглъщане. [1.0 т]
• Пресметнете при какви енергии $h\nu_0$ е възможен процес на резонансна флуоресценция за свободни ядра на желязото. [2,5 т.]

В) За ядрото $^{57}$Fe разликата в енергиите на двете нива е $h\nu_0 = 14.4$ keV, което значително превишава граничната енергия за наблюдаване на резонансна флуоресценция от свободни неподвижни ядра. Един от начините за наблюдаване на това явление е радиоактивният източник И, съдържащ възбудени ядра $^{57}$Fe, да се монтира на въртящ се диск. Мишената М от същите ядра в основно състояние е закрепена неподвижно в направление на допирателната към диска.

• С каква ъглова скорост $\omega$ трябва да се върти дискът, за да може максимален брой фотони, излъчени от източника, да бъдат погълнати от ядрата в мишената? Радиусът на диска е $R = 5$ cm. [2 т.]

Г) Когато атом се намира в кристал, между него и съседните атоми съществува силна връзка, в резултат на което атомът трепти около своето равновесно положение с определена честота $\nu_{vib}$. Трептящият атом може да поглъща механична енергия само на кванти $\varepsilon = h\nu_{vib}$. Ако енергията $E_R$ на откат на излъчващото ядро е по-малка от вибрационния квант енергия $\varepsilon$ и температурата е сравнително ниска, импулсът на излъчения фотон не е достатъчен, за да възбуди трептене на ядрото в кристала. Фотонът се излъчва или поглъща с непроменена енергия $h\nu_0$, като откатният импулс се поема от кристала като цяло. Този ефект е бил открит от немския физик Мьосбауер през 1956 г. за ядрата на изотопа $^{57}$Fe в кристалната решетка на желязото при температури, по-ниски от 77 K.

През 1959 г. английските физици Паунд и Ребка използват ефекта на Мьосбауер, за да установят промяната на честотата на фотона при движение в гравитационно поле. Схемата на опита е дадена на фигурата. Източникът И – стоманена пластинка, съдържаща възбудени ядра $^{57}$Fe, е монтиран на мембраната на високоговорител. На високоговорителя се подава електрическо напрежение, изменящо се с времето така, че мембраната да се движи вертикално с контролируема скорост. Мишената – идентична пластина, в която ядрата на желязото са в невъзбудено (основно) състояние, се намира на височина $h = 22.5$ m над източника.

• С каква скорост $v$ трябва да се движи мембраната нагоре, за да се наблюдава резонансно поглъщане на $\gamma$–квантите, излъчени от източника? Приемете, че $\gamma$–квантите се излъчват и поглъщат безоткатно. [2 т.]

Отговори

Решение

Оригинал в Архива: esenni_2010_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2010_STsolutions.pdf