Съдържание

НЕСФ 2010, Специална тема — Задача 3. Ефект на Мьосбауер

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2010

Национално есенно състезание по физика 2010, Специална тема · 5 ноември 2010 г. · 10 т.

Условие

Ако атом премине от възбудено енергетично ниво с енергия $E_1$ в основното си ниво с енергия $E_0$ , се излъчва фотон с енергия $h\nu = E_1 - E_n$ . Този фотон може да бъде погълнат от атом на същото вещество, който първоначално се намира в основното ниво $E_0$ и преминава във възбудено състояние с енергия $E_1$ . Този процес се нарича резонансна флуоресценция и се наблюдава лесно, когато излъченият фотон е в оптичната част на спектъра. В случай, когато фотонът се излъчва при преход между енергетичните нива на атомното ядро обаче резонансна флуоресценция се наблюдава само при специални условия. Причината е, че излъченият фотон ( $\gamma$ –квант) придава значителен импулс на излъчващото ядро, а следователно и част от своята енергия. С по-ниската си енергия $\gamma$ –квантът не може да бъде погълнат от друго ядро на същия изотоп, намиращо се в основно състояние.

Основни константи

Константа на Планк, $h = 6.63{\times}10^{-34}$ J·s

Скорост на светлината във вакуум, $c = 3.00{\times}10^{8}$ m/s

Елементарен електричен заряд, $e = 1.60{\times}10^{-19}$ J·s

Число на Авогадро, $N_A = 6.02{\times}10^{23}$ mol $^{-1}$

Ускорение на свободно падане, $g = 9.80$ m/s $^2$

А) Разгледайте свободно ядро (например в газ) с маса $m$ и разлика в енергиите между възбуденото и основното ниво $E_1 - E_0 = h\nu_0$ , където $\nu_0$ е честотата, с която би бил излъчен $\gamma$ –квантът, ако ядрото беше неподвижно закрепено.

Получете приблизителни изрази за кинетичната енергия $E_R$ на ядрото след излъчването на $\gamma$ –кванта и за енергията $h\nu_1$ на излъчения фотон, ако първоначално ядрото е неподвижно. Изразете отговорите чрез $h\nu_0$ , $m$ и скоростта на светлината $c$ . Можете да приемете, че $h\nu_0 \ll mc^2$ и да използвате приблизителните равенства $(1+x)^n \approx 1 + nx$ и $(1+x)(1+y) \approx 1 + x + y$ , когато $|x|,\,|y| \ll 1$ . [2.5 т]
Колко трябва да бъде енергията $h\nu_2$ на $\gamma$ –квант, за да бъде погълнат от първоначално неподвижно ядро, намиращо се в основното си състояние? [3,5 т.]

Б) Ще разгледаме конкретно ядро на изотопа $^{57}$ Fe на желязото (моларна маса $M = 0.057$ kg/mol). Възбудените ядра излъчват в случайни моменти от време, като средното им време на живот е $\tau = 10^{-7}$ s. Поради това, енергията на излъчените кванти не е фиксирана, а е случайно разпределена в малък интервал $\nu_1 \pm \Delta\nu$ . Аналогично, неподвижното ядро може да поглъща фотони в интервал от честоти $\nu_2 \pm \Delta\nu$ със същата широчина.

Като използвате принципа за неопределеност, оценете полуширочината $\Delta\nu$ на честотния интервал при излъчване или поглъщане. [1.0 т]
Пресметнете при какви енергии $h\nu_0$ е възможен процес на резонансна флуоресценция за свободни ядра на желязото. [2,5 т.]

В) За ядрото $^{57}$ Fe разликата в енергиите на двете нива е $h\nu_0 = 14.4$ keV, което значително превишава граничната енергия за наблюдаване на резонансна флуоресценция от свободни неподвижни ядра. Един от начините за наблюдаване на това явление е радиоактивният източник И, съдържащ възбудени ядра $^{57}$ Fe, да се монтира на въртящ се диск. Мишената М от същите ядра в основно състояние е закрепена неподвижно в направление на допирателната към диска.

С каква ъглова скорост $\omega$ трябва да се върти дискът, за да може максимален брой фотони, излъчени от източника, да бъдат погълнати от ядрата в мишената? Радиусът на диска е $R = 5$ cm. [2 т.]

Окръжност (диск) със стрелка за въртене, източник И на ръба, вълнообразна стрелка гама към правоъгълна мишена М. — Чертеж към задача 3 В): източникът И на въртящ се диск излъчва $\gamma$ -квант към неподвижната мишена М.

Г) Когато атом се намира в кристал, между него и съседните атоми съществува силна връзка, в резултат на което атомът трепти около своето равновесно положение с определена честота $\nu_{vib}$ . Трептящият атом може да поглъща механична енергия само на кванти $\varepsilon = h\nu_{vib}$ . Ако енергията $E_R$ на откат на излъчващото ядро е по-малка от вибрационния квант енергия $\varepsilon$ и температурата е сравнително ниска, импулсът на излъчения фотон не е достатъчен, за да възбуди трептене на ядрото в кристала. Фотонът се излъчва или поглъща с непроменена енергия $h\nu_0$ , като откатният импулс се поема от кристала като цяло. Този ефект е бил открит от немския физик Мьосбауер през 1956 г. за ядрата на изотопа $^{57}$ Fe в кристалната решетка на желязото при температури, по-ниски от 77 K.

През 1959 г. английските физици Паунд и Ребка използват ефекта на Мьосбауер, за да установят промяната на честотата на фотона при движение в гравитационно поле. Схемата на опита е дадена на фигурата. Източникът И – стоманена пластинка, съдържаща възбудени ядра $^{57}$ Fe, е монтиран на мембраната на високоговорител. На високоговорителя се подава електрическо напрежение, изменящо се с времето така, че мембраната да се движи вертикално с контролируема скорост. Мишената – идентична пластина, в която ядрата на желязото са в невъзбудено (основно) състояние, се намира на височина $h = 22.5$ m над източника.

С каква скорост $v$ трябва да се движи мембраната нагоре, за да се наблюдава резонансно поглъщане на $\gamma$ –квантите, излъчени от източника? Приемете, че $\gamma$ –квантите се излъчват и поглъщат безоткатно. [2 т.]

Вертикална схема: долу източник И със стрелка за скорост v, нагоре вълнообразна стрелка гама, горе мишена М, отстрани отсечка h. — Чертеж към задача 3 Г): схема на опита на Паунд и Ребка – източник И, движещ се със скорост $v$ , и мишена М на височина $h$ .

Отговори

Решение

А) От закона за запазване на импулса имаме:

m\upsilon = h\nu_1/c \qquad \textbf{[0.5 т]}

а от закона за запазване на енергията:

\frac{m\upsilon^2}{2} + h\nu_1 + E_1 = E_0 \quad \text{или} \quad \frac{m\upsilon^2}{2} + h\nu_1 = h\nu_0 \qquad \textbf{[0.5 т]}

От двете уравнения получаваме връзката:

\frac{m\upsilon^2}{2} + m\upsilon c = h\nu_0\,,

откъдето:

\upsilon = c\left(-1 + \sqrt{1 + \frac{2h\nu_0}{mc^2}}\right) \approx \frac{h\nu_0}{mc} \qquad \textbf{[0.5 т]}

За кинетичната енергия на ядрото съответно получаваме:

E_R = \frac{m\upsilon^2}{2} \approx \frac{\left(h\nu_0\right)^2}{2mc^2} \qquad \textbf{[0.5 т]}

Енергията на излъчения фотон е:

h\nu_1 = h\nu_0 - E_R \approx h\nu_0\left(1 - \frac{h\nu_0}{2mc^2}\right). \qquad \textbf{[0.5 т]}

В процеса на поглъщане имаме:

m\upsilon = h\nu_2/c \qquad \textbf{[0.25 т]}

h\nu_2 = h\nu_0 + \frac{m\upsilon^2}{2}\,, \qquad \textbf{[0.25 т]}

откъдето аналогично намираме:

h\nu_2 \approx h\nu_0\left(1 + \frac{h\nu_0}{2mc^2}\right). \qquad \textbf{[0.5 т]}

Б) Времето на живот на ядрото във възбудено състояние е неопределено, като можем да приемем, че: $\Delta t \approx \tau$ . Оттук следва, че възбуденото енергетично състояние има неопределена енергия $E_2 \pm \Delta E$ , като според принципа за неопределеност за енергията:

\Delta E\,\Delta t \approx h\,, \qquad \textbf{[0.25 т]}

откъдето:

\Delta E \approx \frac{h}{\tau} \qquad \textbf{[0.25 т]}

Такава е неопределеността и на енергията на излъчения (погълнатия) фотон:

\Delta E = h\Delta\nu\,.

Следователно:

\Delta\nu \approx \frac{1}{\tau} = 10^{7}\ \text{Hz} \qquad \textbf{[0.5 т]}

За да може фотонът, излъчен от едно неподвижно ядро, да бъде погълнат от друго неподвижно ядро, е нужно:

\nu_2 - \nu_1 \le 2\Delta\nu \quad \text{или} \quad h\nu_2 - h\nu_1 \le \frac{2h}{\tau}\,. \qquad \textbf{[0.5 т]}

Като използваме изразите от т. А) получаваме:

\frac{\left(h\nu_0\right)^2}{mc^2} \le \frac{2h}{\tau}

или

h\nu_0 \le c\sqrt{\frac{2hm}{\tau}} = c\sqrt{\frac{2hM}{N_A\tau}} = 1.1{\times}10^{-17}\,\text{J} = 66\,\text{eV} \qquad \textbf{[1.0 т]}

В) Когато първоначално източникът се движи със скорост $\upsilon$ , честотата $\nu'$ на фотоните, излъчени по посоката на движението, нараства спрямо $\nu_1$ поради ефекта на Доплер:

\nu' = \nu_1\left(1 + \frac{\upsilon}{c}\right). \qquad \textbf{[0.5 т]}

За да може максимален брой фотони да бъдат погълнати от неподвижните ядра в мишената, е нужно $\nu' = \nu_2$ :

h\nu_0\left(1 + \frac{h\nu_0}{2mc^2}\right) = h\nu_0\left(1 - \frac{h\nu_0}{2mc^2}\right)\left(1 + \frac{\upsilon}{c}\right) \approx h\nu_0\left(1 - \frac{h\nu_0}{2mc^2} + \frac{\upsilon}{c}\right) \qquad \textbf{[0.5 т]}

оттук намираме:

\upsilon = \frac{h\nu_0}{mc} = 81\ \text{m/s} \qquad \textbf{[0.5 т]}

\omega = \frac{\upsilon}{R} = 1620\ \text{rad/s}\,. \qquad \textbf{[0.5 т]}

Г) Когато, източникът се движи нагоре със скорост $\upsilon$ , честотата $\nu_1$ на излъчените фотони е по-голяма от $\nu_0$ поради ефекта на Доплер:

\nu_1 = \nu_0\left(1 + \frac{\upsilon}{c}\right). \qquad \textbf{[0.25 т]}

На фотона може да бъде съпоставена маса:

m = \frac{h\nu_1}{c^2} = \frac{h\nu_0}{c^2}\left(1 + \frac{\upsilon}{c}\right). \qquad \textbf{[0.25 т]}

Ако примем, че относителното изменение на енергията, а следователно и на масата на фотона е много малко, можем да считаме, че гравитационното поле извършва върху него работа:

A = -mgh = -\frac{h\nu_0 g h}{c^2}\left(1 + \frac{\upsilon}{c}\right). \qquad \textbf{[0.25 т]}

Следователно, при издигане в гравитационно поле енергията на фотона намалява:

h\Delta\nu = A = -\frac{h\nu_0 g h}{c^2}\left(1 + \frac{\upsilon}{c}\right) \qquad \textbf{[0.25 т]}

и той достига мишената с честота:

\nu_2 = \nu_1 + \Delta\nu = \nu_0\left(1 + \upsilon/c\right)\left(1 - gh/c^2\right) \approx \nu_0\left(1 + \upsilon/c - gh/c^2\right). \qquad \textbf{[0.25 т]}

При условие, че атомите на желязото не търпят откат, за резонансно поглъщане на фотоните, е нужно:

\nu_2 = \nu_0 \qquad \textbf{[0.25 т]}

или

\upsilon = \frac{gh}{c} = 7.35{\times}10^{-7}\ \text{m/s}\,. \qquad \textbf{[0.5 т]}

Оригинал в Архива: esenni_2010_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2010_STsolutions.pdf