Съдържание

НЕСФ 2010, Специална тема — Задача 2. Газова турбина

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2010

Национално есенно състезание по физика 2010, Специална тема · 5 ноември 2010 г. · 10 т.

Условие

На фиг. 2.1 е показано принципното устройство на газова турбина – двигател, който се използва при самолетите, в електростанциите и дори в някои модели спортни автомобили. На фиг. 2.2 е показан идеализиран термодинамичен цикъл на работата на газовата турбина (т. нар. цикъл на Брайтън). Компресорът поема атмосферен въздух с налягане $p_1 = 1.0{\times}10^{5}$ Pa и температура $T_1 = 300$ K и го свива адиабатно до налягане $p_2 = 1.0{\times}10^{6}$ Pa (процес 1–2), след което въздухът попада в горивната камера. Там той се загрява от изгарящото гориво и се разширява при практически постоянно налягане (2–3). Масата на впръсканото гориво и на продуктите от неговото изгаряне е много по-малка от масата на постъпващия въздух. След това въздухът попада върху лопатките на турбината, като до отделянето му в атмосферата налягането му намалява адиабатно до $p_1 = 1.0{\times}10^{5}$ Pa (3–4). Отделеният в атмосферата горещ въздух се охлажда при постоянно налягане до температурата на околния въздух (4–1).

Схема на газотурбинен двигател с надписи компресор, гориво, турбина и означения p1, T1, p2. — Фиг. 2.1 – принципно устройство на газова турбина: компресор, горивна камера (гориво) и турбина; вход с $p_1$ , $T_1$ и $p_2$ в камерата.

Диаграма налягане-обем с четири точки 1, 2, 3, 4; изобари при p1 и p2 и две адиабати. — Фиг. 2.2 – идеализиран термодинамичен цикъл (цикъл на Брайтън) в координати $p$ – $V$ с точки 1, 2, 3, 4 и нива $p_1$ и $p_2$ .

А) В коя точка от цикъла температурата на въздуха е максимална? Дайте обосновка на отговора си. [1 т.]

Б) Без да анализирате детайлно отделните процеси от работния цикъл, получете оценка отгоре за коефициента $\eta$ на полезно действие на двигателя. Приемете, че въздухът в горивната камера се загрява до максимална температура $T_{max} = 1000$ K. [1 т.]

В) Получете точен израз за $\eta$ чрез коефициента на компресия $k = p_2/p_1$ и показателя на адиабатата $\gamma$ на въздуха. Пресметнете $\eta$ , като приемете, че въздухът е съставен само от двуатомни молекули. [4 т.]

Г) На практика горещият въздух се отделя в атмосферата с налягане $p_m$ , което е по-голямо от външното атмосферно налягане $p_1$ . Адиабатното разширение на въздуха продължава в атмосферата, като при това въздухът не извършва полезна работа. Пресметнете числено КПД $\eta'$ на турбината в този случай при $p_m = 2.0{\times}10^{5}$ Pa. [4 т.]

Отговори

Решение

А) По време на процеса 1–2–3 газът се загрява, а по време на 3–4–1 – се охлажда. Следователно, най-висока е температурата в т. 3. [1.0 т]

Б) От теоремата на Карно:

\eta \le 1 - T_{min}/T_{max} = 0.7 \qquad \textbf{[1.0 т]}

Диаграма налягане-обем с точки 1, 2, 3, 4 и точка M върху адиабатата 3–4 при налягане pm; осите с етикети p1, pm, p2 и V.

В) Газът приема топлина само по време на процеса 2–3:

Q^{(+)} = Q_{2-3} = C_p\left(T_3 - T_2\right) \qquad \textbf{[0.5 т]}

и отдава топлина по време на процеса 4–1:

Q^{(-)} = \left|Q_{4-1}\right| = C_p\left(T_4 - T_1\right) \qquad \textbf{[0.5 т]}

КПД на процеса е:

\eta = 1 - \frac{Q^{(-)}}{Q^{(+)}} = 1 - \frac{\left(T_4 - T_1\right)}{\left(T_3 - T_2\right)} \qquad \textbf{[0.5 т]}

От адиабатните процеси 1–2 и 3–4 имаме/

T_2/T_1 = \left(p_2/p_1\right)^{1-1/\gamma} = k^{\,1-1/\gamma} \quad \text{и} \quad T_3/T_4 = \left(p_2/p_1\right)^{1-1/\gamma} = k^{\,1-1/\gamma} \qquad \textbf{[1.0 т]}

откъдето получаваме:

\eta = 1 - \frac{1}{k^{\,1-1/\gamma}} \qquad \textbf{[0.5 т]}

Двуатомните молекули имат $i = 5$ степени на свобода. Затова:

\gamma = \left(i+2\right)/i = 7/5\,. \qquad \textbf{[0.5 т]}

Като вземем предвид, че $k = 10$ , намираме:

\eta = 1 - \frac{1}{10^{2/7}} \approx 0.48 \qquad \textbf{[0.5 т]}

Г) Общата работа, която извършва въздухът за един цикъл, е:

A = \eta Q^{(+)} = \eta C_p\left(T_3 - T_2\right) = 7/2R\eta\left(T_3 - T_2\right). \qquad \textbf{[0.5 т]}

Полезната работа $A'$ се получава, като от общата работа извадим работата $A_{M-4}$ , която газът извършва при свободното си разширение в атмосферата от налягане $p_m$ до налягане $p_1$ :

A_{M-4} = U_M - U_4 = 5/2R\left(T_M - T_4\right). \qquad \textbf{[0.5 т]}

Като вземем предвид, че $T_3 = T_{max} = 1000\ \text{K}$ , за адиабатния процес 3–4 имаме:

T_4 = T_3/k^{2/7} = 518\ \text{K},\quad T_M = T_3/\left(p_2/p_m\right)^{2/7} = 631\ \text{K} \qquad \textbf{[1.0 т]}

От друга страна за адиабатния процес 1–2 имаме:

T_2 = T_1 k^{2/7} = 579\ \text{K}. \qquad \textbf{[0.5 т]}

Така намираме:

A' = 7/2R\eta\left(T_3 - T_2\right) - 5/2R\left(T_M - T_4\right) = 8.314\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}\left(3.5\times 0.48\times 421\ \text{K} - 2.5\times 113\ \text{K}\right) = 3530\ \text{J/mol} \qquad \textbf{[0.5 т]}

Q^{(+)} = 7/2R\left(T_3 - T_2\right) = 8.314\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}\ 3.5\times 421\ \text{K} = 12\,300\ \text{J/mol} \qquad \textbf{[0.5 т]}

Следователно КПД в този случай е:

\eta = \frac{A'}{Q^{(+)}} = 0.29 \qquad \textbf{[0.5 т]}

Оригинал в Архива: esenni_2010_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2010_STsolutions.pdf