Съдържание

НЕСФ 2011, 9. клас — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2011

Есенно национално състезание по физика, 12.11.2011–13.11.2011 година, гр. Варна — Тема за 9. клас · 12 ноември 2011 г. · 10 т.

Условие

На фиг. 1 е показан процесът 1–2–3–1, извършен с един мол хелий, разглеждан като идеален газ. В участъка 1–2 газът върши работа $A = 830\ \mathrm{J}$ и температурата му се увеличава 3 пъти. Температурите в състояния 1 и 3 са равни. Газовата константа за един мол газ е $B = 8{,}3\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}$ .

p-V диаграма с триъгълен цикъл 1-2-3-1 и пунктирана права през началото към точка 3 — Фиг. 1. Процесът 1–2–3–1 в координати $p$ – $V$ ; точките 2 и 3 лежат на права през началото (пунктир).

а) Определете температурата $T_1$ на газа в състояние 1.

б) Дайте геометрично тълкуване на работата $W$ , извършена от газа в процеса 1–2–3–1.

в) Намерете работата $W$ .

Отговори

Решение

а) Процесът 1–2 е изобарен. Работата, която извършва газът в този процес, е

A = p_1(V_2 - V_1)\,.\qquad \textbf{[0,5 т.]}

p-V диаграма на цикъла 1-2-3-1 с пунктирни проекции към осите и означения p1, p3, V1, V3, V2 — Фиг. 1 от решенията: същият цикъл с означени $p_1$ , $p_3$ , $V_1$ , $V_3$ , $V_2$ .

Като отчетем, че

p_1V_1 = BT_1\,,\quad p_1V_2 = 3BT_1\,,\qquad \textbf{[0,5 т.]}

намираме

T_1 = \frac{A}{2B} = 50\ \mathrm{K}.\qquad \textbf{[1 т.]}

б) Работата $W$ се дава с израза

W = A_{12} + A_{23} + A_{31}\,.\qquad \textbf{[0,5 т.]}

\textbf{[1 т.]}

Всяка от обозначените работи се представя с лицето $S$ на съответната фигура. Така

A_{12} = S_{12V_2V_1}\,,\quad A_{23} = -S_{2V_2V_33}\,,\quad A_{31} = -S_{3V_3V_11}\,,\qquad \textbf{[0,5 т.]}

при което търсената работа $W$ се дава с лицето на $\triangle 123$ (знакът минус е свързан с извършването на работа от газа при свиване). [0,5 т.]

в) Съгласно с пункт б) имаме

W = \frac{1}{2}(p_1 - p_3)(V_2 - V_1)\,.\qquad \textbf{[1 т.]}

От уравнението на състояние следва

V_1 = \frac{BT_1}{p_1} = \frac{A}{2p_1}\,,\quad V_2 = \frac{3BT_1}{p_1} = \frac{3A}{2p_1}\,,\qquad \textbf{[1 т.]}

откъдето намираме

W = \frac{A}{2}\left(1 - \frac{p_3}{p_1}\right).\qquad \textbf{[0,5 т.]}

От друга страна, тъй като на $pV$ -диаграмата точките 2 и 3 лежат на права, минаваща през началото, имаме

\frac{p_3}{V_3} = \frac{p_1}{V_2}\,.\qquad \textbf{[0,5 т.]}

Освен това имаме

V_3 = \frac{BT_1}{p_3} = \frac{A}{2p_3}\,,\qquad \textbf{[0,5 т.]}

\frac{p_3}{p_1} = \frac{V_3}{V_2} = \frac{p_1}{3p_3}\,,\qquad \textbf{[0,5 т.]}

откъдето следва

\frac{p_3}{p_1} = \frac{1}{\sqrt{3}}\,.\qquad \textbf{[0,5 т.]}

Окончателно получаваме

W = \frac{A}{2}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx 175\ \mathrm{J}\,.\qquad \textbf{[1 т.]}

Оригинал в Архива: esenni_2011_9problems.pdf · официални решения: esenni_2011_9solutions.pdf