Съдържание

НЕСФ 2011, 9. клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2011

Есенно национално състезание по физика, 12.11.2011–13.11.2011 година, гр. Варна — Тема за 9. клас · 12 ноември 2011 г. · 10 т.

Условие

На фиг. 2 е показана плоска квадратна решетка, състояща се от $N$ на брой положителни и отрицателни йони със заряд $q_0$ , които се намират във възлите на решетката. Най-малкото разстояние е между два разноименни йона и е равно на $R$ . Всички йони, които се намират на еднакви разстояния от даден йон, формират координационна окръжност.

а) По фиг. 2 определете радиусите на първите осем координационни окръжности около даден йон (положителен или отрицателен), броя и вида на йоните в тях.

б) По определение електростатичната енергия на взаимодействие между два точкови заряда е равна на произведението от заряда на единия от тях и потенциала на полето, създадено от другия заряд, в точката, където се намира първият.

Определете енергията на взаимодействие на един заряд с всички останали, като отчетете само взаимодействията между него и зарядите от първите осем координационни окръжности, а взаимодействията с другите заряди пренебрегнете.

в) Пълната електростатична енергия на взаимодействие на всички йони може да се запише във вида

W = -\alpha\,\frac{e^2}{R}\,N\,,

където $e^2 = kq_0^2$ , $k = 9.10^9\ \dfrac{\mathrm{N.m^2}}{\mathrm{C^2}}$ . Определете константата $\alpha$ за описаната квадратна решетка, като отчетете че броят на йоните с по-малко от осем координационни окръжности е пренебрежим спрямо $N$ .

Квадратна решетка 7 на 7 възела с редуващи се бели и черни кръгчета и легенда: бяло – положителен йон, черно – отрицателен йон — Фиг. 2. Плоска квадратна решетка от редуващи се положителни (незапълнени кръгчета) и отрицателни (запълнени кръгчета) йони.

Отговори

Решение

а) По фигурата определяме търсените параметри.

Около положителен йон

r_1 = R\,,\qquad \text{4 отрицателни йона}

r_2 = R\sqrt{2}\,,\qquad \text{4 положителни йона}

r_3 = 2R\,,\qquad \text{4 положителни йона,}

r_4 = R\sqrt{5}\,,\qquad \text{8 отрицателни йона,}

r_5 = 2R\sqrt{2}\,,\qquad \text{4 положителни йона,}

r_6 = 3R\,,\qquad \text{4 отрицателни йона,}

r_7 = R\sqrt{10}\,,\qquad \text{8 положителни йона,}

r_8 = R\sqrt{13}\,,\qquad \text{8 отрицателни йона.}\qquad \textbf{[2 т.]}

Около отрицателен йон координационните окръжности имат същите радиуси, но се състоят от противоположни на 1) по знак йони. [0,5 т.]

б) Потенциалът на електростатичното поле, създадено от йон със заряд $\pm q_0$ на разстояние $r$ от него е

\varphi = \pm k\frac{q_0}{r}\,.\qquad \textbf{[0,5 т.]}

Тогава електростатичната енергия на взаимодействие между два йона със заряд по големина $q_0$ се дава с израза

u(r) = k\frac{q_0^2}{r} = \frac{e^2}{r}\quad \text{(за едноименни заряди)},\qquad \textbf{[1 т.]}

u(r) = -k\frac{q_0^2}{r} = -\frac{e^2}{r}\quad \text{(за разноименни заряди)}.\qquad \textbf{[1 т.]}

Енергията на взаимодействие на един йон (независимо от знака му) с останалите йони съгласно с указаното в условието ограничение е

W_1 = -\frac{4e^2}{r_1} + \frac{4e^2}{r_2} + \frac{4e^2}{r_3} - \frac{8e^2}{r_4} + \frac{4e^2}{r_5} - \frac{4e^2}{r_6} + \frac{8e^2}{r_7} - \frac{8e^2}{r_8}

= -\frac{e^2}{R}\left(\frac{4}{1} - \frac{4}{\sqrt{2}} - \frac{4}{2} + \frac{8}{\sqrt{5}} - \frac{4}{2\sqrt{2}} + \frac{4}{3} - \frac{8}{\sqrt{10}} + \frac{8}{\sqrt{13}}\right) \approx -2{,}36\,\frac{e^2}{R}\qquad \textbf{[2,5 т.]}

в) Пълната електростатична енергия на взаимодействие на йоните $W$ е равна на

W = W_1\frac{N}{2}\,,\qquad \textbf{[1,5 т.]}

а не на $W = W_1N$ , защото например енергията на взаимодействие на йон 1 с йон 2 се отчита 2 два пъти – единият път, когато пресмятаме енергията навзаимодействие на йон 1 с всички останали йони, и втори път, когато пресмятаме енергията на взаимодействие на йон 2 с всички останали. Това се отнася за всяка двойка заряди. Следователно имаме

W = -1{,}18\,\frac{e^2}{R}\,N\,,\qquad \textbf{[0,5 т.]}

откъдето получаваме

\alpha \approx 1{,}18\,.\qquad \textbf{[0,5 т.]}

Оригинал в Архива: esenni_2011_9problems.pdf · официални решения: esenni_2011_9solutions.pdf