Съдържание

НЕСФ 2011, 11–12 клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2011

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · Национално състезание по физика, Варна, ноември 2011 г. · Тема 11-12 клас · 1 ноември 2011 г. · 10 т.

Условие

В тънкостенна, непроводяща, равномерно заредена сфера с маса $M$ , радиус $R$ и заряд $Q$ са пробити два диаметрално противоположни малки отвора. В началния момент сферата се намира в покой, а по правата съединяваща двата отвора, от безкрайно голямо разстояние към сферата с достатъчно голяма скорост $V$ се движи едноименно заредена частица със заряд $q$ и маса $m$ . Определете:

а) Скоростите на сферата и заредената частица в момента, в който частицата достига по-близкия отвор в повърхността на сферата [5 т.]

б) Времето, което е необходимо на частицата да премине през сферата [3 т.]

в) Минималната скорост на частицата, при която преминаването през сферата е възможно [1 т.]

г) Минималната скорост на частицата, при която преминаването през сферата е възможно, ако $M \gg m$ [1 т.]

Отговори

Решение

а) Използваме законите за запазване на енергията и импулса за два момента от време – началният момент, когато заредената частица е безкрайно далеч от сферата и моментът, в който частицата достига по-близкия отвор в повърхността на сферата и двете се движат съответно със скорости $V_1$ и $V_2$ .

E_{k0}=E_{k1}+E_{k2}+E_p

\vec{p}=\vec{p}_1+\vec{p}_2

Полето на сферата извън нея е същото като полето на точков заряд със същата големина и знак, който е поставен в центъра й.

Потенциалната енергия на системата от двете тела в момента, в който заредената частица достига по-близкия отвор в повърхността на сферата е:

E_p=\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0 R}\ \textbf{[1 т.],}\quad(\varepsilon_0\ \text{- диелектрична проницаемост на вакуума})

\frac{mV^2}{2}=\frac{mV_1^2}{2}+\frac{MV_2^2}{2}+\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0 R}\ \textbf{[1 т.]}

mV=mV_1+MV_2\ \textbf{[1 т.]}

Решаваме тази система уравнения и получаваме две двойки решения за скоростите $V_1$ и $V_2$ на заредената частица и сферата в момента, в който точковият заряд достига по-близкия отвор на сферата:

V_1=\frac{MV}{m+M}\Big(\frac{m}{M}\pm\sqrt{1-\frac{qQ(m+M)}{2\pi\varepsilon_0 RmMV^2}}\Big)\ \text{и}\ V_2=\frac{mV}{m+M}\Big(1\mp\sqrt{1-\frac{qQ(m+M)}{2\pi\varepsilon_0 RmMV^2}}\Big).\ \textbf{[1 т.]}

При $q=Q=0$ няма взаимодействие между сферата и заредената частица и следователно $V_1=V, V_2=0$ . Това ни позволява да изберем правилната двойка решения:

V_1=\frac{MV}{m+M}\Big(\frac{m}{M}+\sqrt{1-\frac{qQ(m+M)}{2\pi\varepsilon_0 RmMV^2}}\Big)\ \text{и}\ V_2=\frac{mV}{m+M}\Big(1-\sqrt{1-\frac{qQ(m+M)}{2\pi\varepsilon_0 RmMV^2}}\Big).\ \textbf{[1 т.]}

б) Интензитетът на електричното поле на сферата вътре в нея е нула, следователно движението на заредената частица вътре в сферата е равномерно [1 т.]. За определяне на времето на движение е необходимо да пресметнем относителната скорост на движение на заредената частица спрямо сферата.

V_{\text{отн.}}=V_1-V_2=\pm V\sqrt{1-\frac{qQ(m+M)}{2\pi\varepsilon_0 RmMV^2}}\ ,\ \textbf{[1 т.]}

Търсеното време е:

t=\frac{2R}{V_{\text{отн.}}}=\frac{2R}{V\sqrt{1-\frac{qQ(m+M)}{2\pi\varepsilon_0 RmMV^2}}}\ \textbf{[1 т.]}

в) Изразът под корена трябва да е положителен за получаване на реално решение, от където получаваме условие за минималната скорост, при която заредената частица преминава през сферата:

V>\sqrt{\frac{qQ(m+M)}{2\pi\varepsilon_0 RmM}}\Rightarrow V_{\min}=\sqrt{\frac{qQ(m+M)}{2\pi\varepsilon_0 RmM}}\ \textbf{[1 т.]}

г) При $M\gg m$ извършваме граничен преход $\frac{m}{M}\to 0$ и получаваме:

V_{\min}=\sqrt{\frac{qQ}{2\pi\varepsilon_0 Rm}}.\ \textbf{[1 т.]}

Същия резултат получаваме и от закона за запазване на енергията, като отчетем, че сферата е неподвижна, а кинетичната енергия на заредената частица се е превърнала изцяло в потенциална енергия на системата от две тела ( $V_1=V_2=0$ ), в момента, в който заредената частица достига по-близкия отвор на сферата.

Оригинал в Архива: esenni_2011_11-12problems.pdf · официални решения: esenni_2011_11-12solutions.pdf