НЕСФ 2011, 8. клас — Задача 3. Еквивалентно съпротивление

• а) Схема 1 е еквивалентна на един резистор $r$; схема 2 — на успоредно свързани $r$ и $R$; схема 3 — на успоредно свързани $r$ и $R - r$.

• б) $R_{0}^{(1)} = r,\qquad R_{0}^{(2)} = \frac{Rr}{R+r},\qquad R_{0}^{(3)} = \frac{r(R-r)}{R}$

  Схема 1: $R_0 = 0$ при $r = 0$; $R_0 = R/2$ при $r = R/2$; $R_0 = R$ при $r = R$. Схема 2: $R_0 = 0$ при $r = 0$; $R_0 = R/3$ при $r = R/2$; $R_0 = R/2$ при $r = R$. Схема 3: $R_0 = 0$ при $r = 0$; $R_0 = R/4$ при $r = R/2$; $R_0 = 0$ при $r = R$.

• в) Графиката на схема 3 е симетрична спрямо $r = R/2$: например при $r = R/4$ и при $r = 3R/4$ се получава едно и също $R_0 = 3R/16$.

а) [по 1 точка за схема]

б) За схема 1: $R_0 = r$.

Съответно $R_0 = 0$ при $r = 0$; $R_0 = R/2$ при $r = R/2$ и $R_0 = R$ при $r = R$. [1 точка]

За схема 2: $R_0 = \dfrac{Rr}{R+r}$.

Съответно $R_0 = 0$ при $r = 0$; $R_0 = R/3$ при $r = R/2$ и $R_0 = R/2$ при $r = R$. [1 точка]

За схема 3: $R_0 = \dfrac{r(R-r)}{R}$.

Съответно $R_0 = 0$ при $r = 0$; $R_0 = R/4$ при $r = R/2$ и $R_0 = 0$ при $r = R$. [1 точка]

в) Всяка от графиките се оценява с по 1 точка.

На схема 3 имаме два успоредно свързани резистора със съпротивление $r$ и $R - r$. Ако разменим техните места, еквивалентното съпротивление не се променя. Затова еквивалентното съпротивление е едно и също при съпротивление на първия резистор $r$ или $R - r$. (Когато съпротивлението на първия резистор е $r$, съпротивлението на втория е $R - r$ и обратно: когато първият има съпротивление $R - r$, съпротивлението на втория е $r$ – сумата от двете съпротивления по условие е равна на съпротивлението $R$ на целия реостат.) Например при $r = R/4$ еквивалентното съпротивление е $R_0 = 3R/16$. То има същата стойност $R_0 = 3R/16$ и при $r = R - R/4 = 3R/4$. Следователно двете части на графиката са симетрични. [1 точка]