Съдържание

НЕСФ 2011, Специална тема — Задача 2. Черна дупка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2011

Национално есенно състезание по физика, Варна, 12.11.2011 – 13.11.2011 г. — Специална тема · 12 ноември 2011 г. · 10 т.

Условие

Част 1.

Черна дупка е обект с много силно гравитационно поле – толкова силно, че втора космическа скорост е по-голяма от скоростта на светлината. Поради това дори и светлината не е в състояние да преодолее гравитацията и да напусне космическия обект. Граничният радиус, при който светлината не може да напусне черната дупка, се нарича радиус на Шварцшилд (това е радиусът на черната дупка).

а) Намерете радиуса на Шварцшилд $\mathrm{R}$ за тяло с маса $\mathrm{M}$ . [2 т.]

б) Намерете числено радиуса на кълбото, до който трябва да се свие Земята, за да се превърне в черна дупка, ако Земята има маса $\mathrm{M}_{\mathrm{з}}$ . [2 т.]

Част 2.

Съотношението за неопределеност (принцип за неопределеност на Хайзенберг) позволява много често да се правят бързи оценки, без да се търси точно решение на разглежданите задачи. Съотношението за неопределеност за импулса и координатата се дава като $\Delta\mathrm{P}\Delta\mathrm{x} \ge \hbar$ .

в) Разгледайте фотон с енергия $\mathrm{E} = \mathrm{Pc}$ , който е затворен в черна дупка с радиус $\mathrm{R}$ . Тази енергия съответства на определена средна абсолютна температура $\mathrm{T}$ на черната дупка, която се дава със съотношението $\mathrm{E} = \mathrm{kT}$ , където $\mathrm{k}$ е константа на Болцман. Оценете температурата на черна дупка като използвате съотношението за неопределеност на Хайзенберг. [2 т.]

г) Използвайки съотношението за неопределеност на Хайзенберг, намерете (символно и числено) долната граница на масата ( $\mathrm{M}_{\mathit{мин}}$ ), под която черната дупка няма да може да съществува от гледна точка на квантовата механика. [4 т.]

Фундаментални физични величини:

скоростта на светлината във вакуум, $\mathrm{c} = 3{,}00.10^{8}\ \mathrm{m/s}$ ;
редуцирана константа на Планк, $\hbar = \dfrac{\mathrm{h}}{2\pi} = 1{,}05.10^{-34}\ \mathrm{J.s}$ ;
гравитационна константа $\mathrm{G} = 6{,}6742\ .10^{-11}\ \mathrm{m^3kg^{-1}s^{-2}}$
масата на Земята $\mathrm{M}_{\mathrm{з}} = 5{,}9742\ .10^{24}\ \mathrm{kg}$ ;
масата на електрона $\mathrm{m_e} = 9{,}11.10^{-31}\mathrm{kg}$ ;
масата на протона $\mathrm{m_p} = 1{,}672.10^{-27}\mathrm{kg}$ .

Решение

Част 1.

а) Разглеждаме тяло с маса $\mathrm{m}$ , изстреляно от радиуса на черната дупка $\mathrm{R}$ . Втора космическа скорост може да се изчисли чрез изравняване на кинетичната енергия и гравитационната потенциална енергия:

\frac{\mathrm{mV}^2}{2} = \mathrm{G}\frac{\mathrm{mM}}{\mathrm{R}} \quad \text{[1т]}

За черна дупка имаме $\mathrm{V} = \mathrm{c} \Rightarrow$

\mathrm{R} = \frac{2\mathrm{GM}}{\mathrm{c}^2} \quad \text{[1т]}

б) Използваме последната формула, като заместим в нея масата на Земята $\Rightarrow$

\mathrm{R} = \frac{2\mathrm{GM}_{\mathrm{з}}}{\mathrm{c}^2} = \frac{2.6{,}6742.10^{-11}.5{,}9742.10^{24}}{9.10^{16}} \approx 9.10^{-3}\ \mathrm{m} = 9\ \mathrm{mm} \quad \text{[2т]}

Част 2.

в) Тъй като фотонът е локализиран в черната дупка (в област с размер радиуса на Шварцшилд $\mathrm{R}$ ), неговият импулс $\mathrm{P}$ не е точно определен. Като оценка ще приемем, че импулсът $\mathrm{P}$ е от порядъка на неопределеността в импулса $\Delta\mathrm{P}$ .

От съотношение за неопределеност на Хайзенберг следва:

\mathrm{P} \approx \hbar/\mathrm{R} \quad \text{[0.5т]}

тогава енергията на фотона е

\mathrm{E} = \mathrm{Pc} \approx \hbar \mathrm{c}/\mathrm{R} \quad \text{[0.5т]}

Следователно, средната температура на черната дупка е $\mathrm{E} = \mathrm{Pc} = \mathrm{kT} \Rightarrow$

\mathrm{T} \approx \frac{\hbar \mathrm{c}}{\mathrm{Rk}} \quad \text{[1т]}

г) Ще намерим минималната маса $\mathrm{M}_{\mathit{мин}}$ , при която все още може да се формира черна дупка. За целта разглеждаме тяло с маса $\mathrm{m}$ , затворено в черната дупка с радиус $\mathrm{R} \Rightarrow$ импулс $\mathrm{P}$ на тялото не е точно определен, а имаме

\mathrm{P} \approx \hbar/\mathrm{R} \quad \text{[0.5т]}

След което приемаме, че импулсът на тялото е от порядъка $\mathrm{P} \approx \mathrm{mc} \Rightarrow$

\mathrm{mc} \approx \frac{\hbar}{\mathrm{R}} \quad \text{[0.5т]}

Сега заместваме и радиуса на Шварцшилд $\mathrm{R} = \dfrac{2\mathrm{GM}}{\mathrm{c}^2} \Rightarrow$

\mathrm{mc} \approx \frac{\hbar \mathrm{c}^2}{2\mathrm{GM}} \Leftrightarrow \mathrm{M} \approx \frac{\hbar \mathrm{c}}{2\mathrm{Gm}} \quad \text{[1т]}

Най-малка долна граница за масата $\mathrm{M}_{\mathit{мин}}$ на черната дупка имаме, когато $\mathrm{m}$ е най-голямо, а най-голямата маса на частицата може да е масата на самата черна дупка

\Rightarrow \mathrm{M}_{\mathit{мин}} \approx \sqrt{\frac{\hbar \mathrm{c}}{2\mathrm{G}}} \quad \text{[1т]}

Или числено имаме

\mathrm{M}_{\mathit{мин}} \approx 1{,}5.10^{-8}\ \mathrm{kg} \quad \text{[1т]}

Тоест за тяло с маса по-малка от минималната съществуват квантови ограничения и тялото не може да стане черна дупка независимо от силата, с която го свиваме.

Забележка

Забележка: В таблицата от условието на задачата са дадени масата на електрона и масата на протона, но те не са нужни при решаването на задачата.

Оригинал в Архива: esenni_2011_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2011_STsolutions.pdf · допълнителни данни: ST_spec.pdf