Съдържание

НЕСФ 2011, Специална тема — Задача 3. Съпротивление на безкрайни вериги

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2011

Национално есенно състезание по физика, Варна, 12.11.2011 – 13.11.2011 г. — Специална тема · 12 ноември 2011 г. · 10 т.

Условие

Съпротивлението на всеки единичен клон от безкрайните вериги е показано на Фигура 2. Намерете съпротивлението $\mathrm{R}_{\mathrm{АБ}}$ между точки А и Б за:

а) случая на Фигура 2 а.

Фигура 2 а. Безкрайната електрична верига.

[3 т.]

б) случая на Фигура 2 б.

Фигура 2 б. Безкрайната електрична верига.

[3 т.]

в) случая на Фигура 2 в.

Фигура 2 в. Безкрайната електрична верига.

[4 т.]

Упътване: За решението на б) и в) може да използвате принципа на суперпозицията

Решение

а)

При включване на източник на напрежение между точки А и Б, ребрата В-Г и Д-Е имат еднакъв потенциал (Фигура 2а) и могат да се махнат, понеже по тях не тече ток (Фигура 2б). След което схемата се опростява до две безкрайни дълги схеми свързани успоредни помежду си (Фигура 2в).

Фигура 2 а, б, в. Последователните еквивалентни схеми.

Сега вече можем да пресметнем съпротивлението между точки А и Б:

\frac{1}{\mathrm{R}_{\mathrm{АБ}}} = \frac{1}{\mathrm{R}} + \frac{2}{\mathrm{r}} \quad \text{[1т]}

където $\mathrm{r}$ е съпротивлението на полубезкрайната верига. Използваме добре познатия трик, че съпротивлението на безкрайно дълга верига не се променя, ако махнем едно повтарящо се звено. Тогава за $\mathrm{r}$ имаме:

\mathrm{r} = 2\mathrm{R} + \frac{\mathrm{Rr}}{\mathrm{r}+\mathrm{R}} \quad \text{[1т]} \Rightarrow

\mathrm{R}_{\mathrm{АБ}} \approx \frac{\mathrm{R}}{\sqrt{3}} \quad \text{[1т]}

б)

Ако в точка А от веригата приложим положителен потенциал, от съображение на симетрия, към точка Б ще протича ток $\mathrm{i}/3$ [0.5т] от общия ток (Фигура 3б). Аналогично, ако към точка Б приложим отрицателен потенциал, то към точка Б ще протича ток $\mathrm{i}/3$ [0.5т] от общия ток. Използвайки принципа на суперпозицията и прилагайки едновременно и положителното напрежение към точка А и отрицателното към точка Б, то ще получим ток $2\mathrm{i}/3$ [0.5т], който ще протече между точки А и Б $\Rightarrow$ Използвайки закона на Ом, имаме $\mathrm{U}_{\mathrm{АБ}} = \mathrm{R}2\mathrm{i}/3$ [0.5т] или за ефективното съпротивлението между точки А и Б, имаме $\mathrm{R}_{\mathrm{АБ}} = 2\mathrm{R}/3$ [1т]

Фигура 3 б, в. Разпределението на токовете.

в)

Аналогично на точка б) разглеждаме тока, който протича по отделните клонове, като ток в близките клонове е $\mathrm{i}/3$ [0.5т], докато в по-далечните е $\mathrm{i}/6$ [0.5т] (Фигура 3в). При едновременно подаване на потенциал към точки А и Б, токът, който протича между тях, е

\mathrm{I} = \mathrm{i}/3 + \mathrm{i}/6 = \mathrm{i}/2 \quad \text{[1т]}

а падът на напреженията между точки А и Б е

\mathrm{U} = \mathrm{Ri}/3 + \mathrm{Ri}/6 = \mathrm{Ri}/2

Аналогично общият пад на напрежението е

\mathrm{U} = \mathrm{Ri} \quad \text{[1т]}

Следователно ефективното съпротивление между точки А и Б ще е $\mathrm{R}_{\mathrm{АБ}} = \mathrm{U}/\mathrm{i} = \mathrm{R}$ [1т]

Фигура 3в от сканираното издание (supplement-1, с. 2): шестоъгълна мрежа с точки А и Б и токовете i/3, i/6, i/12 по клоновете.

Оригинал в Архива: esenni_2011_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2011_STsolutions.pdf · допълнителни данни: ST_spec.pdf