Съдържание

НЕСФ 2012, 11–12 клас — Задача 3. Фокусировка на електрони

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2012

Национално есенно състезание по физика 2012, Вършец, тема за 11-12 клас · 10 ноември 2012 г. · 10 т.

Условие

Тук ще бъде представен един от първите методи за определяне на отношението електричен заряд / маса на електрона ( $e/m$ ) (H. Busch, 1922). Електрони се движат в електроннолъчева тръба, в която е създаден дълбок вакуум. Може да се приеме, че при отделянето си от катода скоростта на електроните е пренебрежимо малка. След това те се ускоряват от електрично поле, създадено между катода и междинен електрод. Напрежението между тях е $U = 400\ \mathrm{V}$ . В останалата част на електроннолъчевата тръба електрично поле няма. Обаче така създаденият електронен сноп до достигането на предната част на електронно-лъчевата тръба се движи в еднородно магнитно поле със силови линии, успоредни на първоначалната скорост на електроните. Магнитната индукция на това поле може да се променя (регулира). При попадането на електроните в луминофора (екрана) в предната част на електроннолъчевата тръба, тяхната кинетична енергия се преобразува в светлина. Забелязва се, че при различни стойности на магнитната индукция светещото “петно” има различни размери като то става най-малко при стойности на магнитната индукция, различаващи се с $\Delta B$ . Дължината на областта, в която има магнитно поле (разстоянието между междинния електрод и предната част на електроннолъчевата тръба), е $l = 20\ \mathrm{cm}$ . Приемете, че електроните освен голямата скорост по посока на магнитното поле имат и малка, случайно ориентирана скорост в равнината, перпендикулярна на магнитното поле. Затова в магнитното поле те се движат не по права, а по винтова линия. Това движение може да се разглежда като две едновременно и независимо извършващи се движения – по права линия по посока на магнитното поле, и по окръжност, перпендикулярна на силовите линии на магнитното поле.

Физични константи и полезна математика:

заряд на електрона $e = 1{,}60 . 10^{-19}\ \mathrm{C}$

маса на електрона $m = 9{,}11 . 10^{-31}\ \mathrm{kg}$

$\sin 2\varphi = 2\sin\varphi . \cos\varphi$

$\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\left(\dfrac{\alpha - \beta}{2}\right) . \cos\left(\dfrac{\alpha + \beta}{2}\right)$

а) Нарисувайте така описаната експериментална установка [2 т.]

б) Намерете условието, при което светещото “петно” има най-малки размери. [1 т.]

в) Изчислете най-малката стойност на магнитното поле $B_{\min}$ , при която светещото “петно” е малко (електронният сноп се фокусира върху екрана) [3 т.]

г) Изчислете величината $\Delta B$ . [1 т.]

д) Изчислете приблизително максималната стойност на напречната скорост $v_\perp$ , ако максималният радиус на светещото петно, наблюдавано между първата и втората фокусировка (при най-малкото и при следващото по големина магнитно поле), е $b = 6\ \mathrm{mm}$ . [3 т.]

Отговори

Решение

а) Една примерна рисунка може да изглежда така: [2 т]

Схема на електроннолъчева тръба: катод с ускоряващо напрежение вляво, разходящ електронен сноп, стрелки B по оста и екран вдясно, върху който траекториите се събират в петно. — Примерна схема на установката: електроннолъчева тръба, надлъжно магнитно поле $B$ и винтовите траектории на електроните, фокусиращи се върху екрана.

б) Светещото “петно” ще има най-малки размери, ако времето $t_B$ за прелитане на електроните през областта с магнитно поле е кратно на периода $T$ на обикаляне на електроните по окръжността (винтовата линия): $t_B = nT$ (3.1) [1 т]

в) времето $t_B$ за прелитане на електроните през областта с магнитно поле е $t_B = \dfrac{l}{v_{\mathrm{II}}} = \dfrac{l}{\sqrt{\dfrac{2eU}{m}}}$ . [0.5 т] (3.2) Периодът $T$ на обикаляне на електроните по винтовата линия се определя от условието електроните да се движат по окръжност в равнина, перпендикулярна на магнитното поле: $\dfrac{m v_\perp^{\,2}}{r} = e v_\perp B$ [0.5 т] (3.3), откъдето $v_\perp = \omega r = \dfrac{eBr}{m}$ (3.4), или $\omega = \dfrac{eB}{m}$ , откъдето $T = \dfrac{2\pi m}{eB}$ . [0.5 т] (3.5) Замествайки (3.2) и (3.5) в условието (3.1), получаваме $\dfrac{l}{\sqrt{\dfrac{2eU}{m}}} = n\dfrac{2\pi m}{eB}$ , откъдето $B_n = n\dfrac{2\pi}{l}\sqrt{\dfrac{2mU}{e}}$ . [0.5 т] (3.6) Следователно най-малката стойност на магнитното поле $B_{\min}$ , при която светещото “петно” е малко (електронният сноп се фокусира върху екрана) е $B_{\min} = \dfrac{2\pi}{l}\sqrt{\dfrac{2mU}{e}} =$ [0.5 т] $\dfrac{2\pi}{0{,}2\,\mathrm{m}}\sqrt{\dfrac{2 . 9{,}11 . 10^{-31}\,\mathrm{kg} . 400\,\mathrm{V}}{1{,}60 . 10^{-19}\,\mathrm{C}}} = 2{,}12 . 10^{-3}\ \mathrm{T}$ . [0.5 т]

г) от (3.6) се вижда, че $\Delta B = B_{\min}$ [0.5 т] $= 2{,}12 . 10^{-3}\ \mathrm{T}$ . [0.5 т]

д) максималната стойност $v_{\perp\max}$ на напречната скорост $v_\perp$ на електроните може да се определи от (3.4) $v_\perp = \dfrac{eBr}{m}$ , където $r \approx \dfrac{b}{2}$ [0.5 т], а $B \approx \dfrac{3}{2}B_{\min}$ [1 т]. Следователно $v_{\perp\max} \approx \dfrac{3 e B_{\min} b}{4m} =$ [0.5 т] $=$ $\dfrac{3 . 1{,}60 . 10^{-19}\,\mathrm{C} . 2{,}12 . 10^{-3}\,\mathrm{T} . 6 . 10^{-3}\,\mathrm{m}}{4 . 9{,}11 . 10^{-31}\,\mathrm{kg}} \approx 1{,}7 . 10^{6}\ \mathrm{m/s}$ . [1 т]

Оригинал в Архива: esenni_2012_11-12problems.pdf · официални решения: esenni_2012_11-12solutions.pdf