Съдържание

НЕСФ 2012, Специална тема — Задача 2. Електрични квадруполи

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2012

Национално есенно състезание по физика – Вършец, 10 ноември 2012 г. Специална тема · 10 ноември 2012 г. · 10 т.

Условие

Нека са дадени три заряда с големини $+e$ , $-2e$ и $+e$ , разположени на разстояние $d$ един от друг и лежащи на една права. Конфигурацията от заряди не притежава сумарен електричен заряд и диполен момент, а се характеризира с квадруполен момент.

а) Намерете приближен израз за потенциала $U$ на разстояние $r \gg d$ от централния заряд ( $-2e$ ) по правата, свързваща зарядите. [2 т.]

б) Приблизително на колко е равен интензитетът $E$ на разстояние $r \gg d$ от централния заряд по правата, свързваща зарядите. [2 т.]

в) Намерете по аналогичен начин потенциала $U$ на разстояние $r \gg d$ от централния заряд по правата, перпендикулярна на правата, свързваща зарядите. [1 т.]

г) Колко е приблизителната стойност на интензитета $E$ на разстояние $r \gg d$ от централния заряд по правата, перпендикулярна на правата, свързваща зарядите? [2 т.]

д) Оценете силата $F$ , с която си взаимодействат два еднакви квадрупола от вида описан по-горе, ако лежат на една и съща права и централните им заряди се намират на разстояние $r \gg d$ . [2 т.]

е) Нека на разстояние $r \gg d$ от централния заряд на гореописания квадрупол по посока на правата, свързваща зарядите, е разположена (перпендикулярно на правата) заземена проводяща равнина. Намерете приближен израз за силата, с която си взаимодействат квадруполът и равнината. [1 т.]

■ Полезни приближения ( $\left|x\right| \ll 1$ ):

\frac{1}{1+x} \approx 1 - x + x^{2}\,;\quad \frac{1}{(1+x)^{2}} \approx 1 - 2x + 3x^{2}\,;\quad \sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{x}{2}\,;

\tan x \approx x\,;\quad \cos x \approx 1 - \frac{x^{2}}{2}\,;\quad \frac{1}{(1+x)^{4}} \approx 1 - 4x + 10x^{2}\,.

Решение

Полагаме $k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}$ .

а)

Точният израз за потенциала е

U = \frac{ke}{r+d} - \frac{2ke}{r} + \frac{ke}{r-d}\,.\qquad \textbf{[0.5т]}

Преобразуваме горното уравнение и получаваме приближен израз за потенциала на разстояние $r \gg d$ от централния заряд ( $-2e$ ) по правата, свързваща зарядите,

U = \frac{ke}{r}\left(\frac{1}{1+\dfrac{d}{r}} - 2 + \frac{1}{1-\dfrac{d}{r}}\right) \approx \frac{ke}{r}\left(1 - \frac{d}{r} + \frac{d^{2}}{r^{2}} - 2 + 1 + \frac{d}{r} + \frac{d^{2}}{r^{2}}\right) = \frac{2ked^{2}}{r^{3}}\,.\qquad \textbf{[1.5т]}

б)

Точният израз за интензитета е (векторът на интензитета лежи на правата, свързваща зарядите)

E = \frac{ke}{\left(r+d\right)^{2}} - \frac{2ke}{r^{2}} + \frac{ke}{\left(r-d\right)^{2}}\,.\qquad \textbf{[0.5т]}

Преобразуваме горното уравнение и получаваме приближен израз за интензитета на разстояние $r \gg d$ от централния заряд по правата, свързваща зарядите,

E = \frac{ke}{r^{2}}\left(\frac{1}{\left(1+\dfrac{d}{r}\right)^{2}} - 2 + \frac{1}{\left(1-\dfrac{d}{r}\right)^{2}}\right) \approx \frac{ke}{r^{2}}\left(1 - \frac{2d}{r} + \frac{3d^{2}}{r^{2}} - 2 + 1 + \frac{2d}{r} + \frac{3d^{2}}{r^{2}}\right) = \frac{6ked^{2}}{r^{4}}\,.\qquad \textbf{[1.5т]}

Положителната му стойност показва, че интензитетът на електричното поле е насочен навън от квадрупола.

Алтернативно, интензитетът може да се получи от потенциала по формулата

E = -\frac{dU}{dr} \approx \frac{6ked^{2}}{r^{4}}\,.

в)

Точният израз за потенциала е

U = \frac{2ke}{\sqrt{r^{2}+d^{2}}} - \frac{2ke}{r}\,.\qquad \textbf{[0.5т]}

Преобразуваме горното уравнение и получаваме приближен израз за потенциала на разстояние $r \gg d$ от централния заряд по правата, перпендикулярна на правата, свързваща зарядите,

U = \frac{2ke}{r}\left(\frac{1}{\sqrt{1+\dfrac{d^{2}}{r^{2}}}} - 1\right) \approx \frac{2ke}{r}\left(\frac{1}{1+\dfrac{d^{2}}{2r^{2}}} - 1\right) \approx \frac{2ke}{r}\left(1 - \frac{d^{2}}{2r^{2}} - 1\right) = -\frac{ked^{2}}{r^{3}}\,.\qquad \textbf{[0.5т]}

г)

Поради симетрията на постановката интензитетът има компонента само по правата, перпендикулярна на правата, свързваща зарядите. Точният израз за тази компонента на интензитета е

E = 2\,\frac{ke}{r^{2}+d^{2}}\cos\left(\arctan\frac{d}{r}\right) - \frac{2ke}{r^{2}}\,.\qquad \textbf{[0.5т]}

Преобразуваме горното уравнение и получаваме приближен израз за интензитета на разстояние $r \gg d$ от централния заряд по правата, перпендикулярна на правата, свързваща зарядите,

E = \frac{2ke}{r^{2}}\left(\frac{\cos\left(\arctan\dfrac{d}{r}\right)}{1+\dfrac{d^{2}}{r^{2}}} - 1\right) \approx \frac{2ke}{r^{2}}\left[\left(1-\frac{d^{2}}{2r^{2}}\right)\left(1-\frac{d^{2}}{r^{2}}\right)-1\right] \approx \frac{2ke}{r^{2}}\left(1 - \frac{d^{2}}{r^{2}} - \frac{d^{2}}{2r^{2}} - 1\right) = -\frac{3ked^{2}}{r^{4}}\,.\qquad \textbf{[1.5т]}

Алтернативно, интензитетът може да се получи от потенциала по формулата

E = -\frac{dU}{dr} \approx -\frac{3ked^{2}}{r^{4}}\,.

д)

За да намерим силата на взаимодействие между квадруполите, използваме израза за интензитета, създаван от един дипол, който сме получили в б) подточка. За силата се получава

F = e\frac{6ked^{2}}{\left(r-d\right)^{4}} - 2e\frac{6ked^{2}}{r^{4}} + e\frac{6ked^{2}}{\left(r+d\right)^{4}} = \frac{6ke^{2}d^{2}}{r^{4}}\left(\frac{1}{\left(1-\dfrac{d}{r}\right)^{4}} - 2 + \frac{1}{\left(1+\dfrac{d}{r}\right)^{4}}\right) \approx \qquad \textbf{[1т]}

\approx \frac{6ke^{2}d^{2}}{r^{4}}\left(1 + \frac{4d}{r} + \frac{10d^{2}}{r^{2}} - 2 + 1 - \frac{4d}{r} + \frac{10d^{2}}{r^{2}}\right) = \frac{120ke^{2}d^{4}}{r^{6}}\,.\qquad \textbf{[1т]}

е)

Добавянето на заземена проводяща равнина на разстояние $r$ от централния заряд е еквивалентно на добавянето на квадрупол с противоположни на първия заряди и с централен заряд ( $+2e$ ), разположен на разстояние $2r$ от централния заряд на изходния квадрупол. Т.е. изразът за силата в този случай се получава като умножим резултата в д) подточка по $-1$ и заместим $r$ с $2r$

F \approx -\frac{15ke^{2}d^{4}}{8r^{6}}\,.\qquad \textbf{[1т]}

Оригинал в Архива: esenni_2012_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2012_STsolutions.pdf