Съдържание

НЕСФ 2012, Специална тема — Задача 3. Разпад на $K^{+}$-мезон

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2012

Национално есенно състезание по физика – Вършец, 10 ноември 2012 г. Специална тема · 10 ноември 2012 г. · 10 т.

Условие

Част 1.

Две частици се движат с релативистки скорости по взаимно перпендикулярни направления. Частиците имат импулси $p_{1}$ , $p_{2}$ и пълни енергии $E_{1}$ , $E_{2}$ . Ако частиците са единствен продукт при разпада на трета частица, намерете:

а) нейната маса в покой $m_{0}$ ; [2 т.]

б) скоростта й $v$ ; [1 т.]

в) нейното направление на движение. [1 т.]

Част 2.

$K^{+}$ -мезон в покой се разпада на $\pi^{+}$ -мезон и $\pi^{0}$ -мезон. $\pi^{+}$ -мезонът се разпада на $\mu$ -мезон и неутрино. Като използвате, че $m_{K} = 493.7\ \mathrm{MeV/c^{2}}$ , $m_{\pi^{+}} = 139.6\ \mathrm{MeV/c^{2}}$ , $m_{\pi^{0}} = 135\ \mathrm{MeV/c^{2}}$ , $m_{\mu} = 106\ \mathrm{MeV/c^{2}}$ , $m_{\nu} \approx 0\ \mathrm{MeV/c^{2}}$ , да се намери:

а) каква е максималната пълна енергия $E_{\max}$ на крайния $\mu$ -мезон; [3 т.]

б) каква е минималната му пълна енергия $E_{\min}$ ? [3 т.]

Решение

Част 1.

В този случай частица с маса в покой $m_{0}$ и скорост $v$ се разпада на две частици с известни импулси и пълни енергии. Нека първата от двете крайни частици да се движи по направление, сключващо ъгъл $\theta$ с направлението на движение на изходната частица. Тогава втората крайна частица ще се движи под ъгъл $\dfrac{\pi}{2}-\theta$ спрямо направлението на движение на изходната частица. От стойността на ъгъла $\theta$ ще разберем и направлението на движение на първоначалната частица. Разписваме уравненията за запазване на импулса (ще считаме, че абсцисата съвпада с направлението на движение на изходната частица) и енергията. Получаваме

\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}} = p_{1}\cos\theta + p_{2}\sin\theta \quad \text{(ЗЗИ по абсцисата)},

0 = p_{1}\sin\theta - p_{2}\cos\theta \quad \text{(ЗЗИ по ординатата)},

\frac{m_{0}c^{2}}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}} = E_{1} + E_{2} \quad \text{(ЗЗЕ)}.

Решаваме горните три уравнения спрямо $m_{0}$ , $v$ и $\theta$ . Получаваме

m_{0} = \frac{1}{c^{2}}\sqrt{\left(E_{1}+E_{2}\right)^{2} - c^{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)}\,,\qquad \textbf{[2т]}

v = \frac{c^{2}\sqrt{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}}}{E_{1}+E_{2}}\,,\qquad \textbf{[1т]}

\tan\theta = \frac{p_{2}}{p_{1}}\,.\qquad \textbf{[1т]}

Част 2.

От закона за запазване на импулса следва, че $\pi^{+}$ -мезонът и $\pi^{0}$ -мезонът ще се движат в противоположни посоки и с равни големини на импулсите $p_{\pi^{+}} = p_{\pi^{0}} = p$ . От закона за запазване на енергията преди и след разпадането на $K^{+}$ -мезона следва, че

m_{K}c^{2} = \sqrt{m_{\pi^{+}}^{2}c^{4} + p^{2}c^{2}} + \sqrt{m_{\pi^{0}}^{2}c^{4} + p^{2}c^{2}}\,.\qquad \textbf{[0.5т]}

След двукратно вдигане на квадрат на горното равенство получаваме

p^{2} = \frac{\left(m_{K}^{2} - m_{\pi^{+}}^{2} - m_{\pi^{0}}^{2}\right)^{2} - 4m_{\pi^{+}}^{2}m_{\pi^{0}}^{2}}{4m_{K}^{2}}\,c^{2}\,,\qquad \textbf{[0.5т]}

от което следва

E_{\pi^{+}} = \sqrt{m_{\pi^{+}}^{2}c^{4} + p^{2}c^{2}} = \frac{m_{K}^{2} + m_{\pi^{+}}^{2} - m_{\pi^{0}}^{2}}{2m_{K}}\,c^{2}\,.

а) За да има максимална пълна енергия, крайният $\mu$ -мезон трябва да се движи по посоката на движение на $\pi^{+}$ -мезона, а неутриното – в противоположната посока. Тогава от ЗЗИ $p = p_{\mu} - p_{\nu}$ . [0.5т] От закона за запазване на енергията преди и след разпадането на $\pi^{+}$ -мезона следва, че

E_{\pi^{+}} = \sqrt{m_{\mu}^{2}c^{4} + p_{\mu}^{2}c^{2}} + p_{\nu}c\,.\qquad \textbf{[0.5т]}

От ЗЗИ и ЗЗЕ получаваме

p_{\mu} = \frac{\left(E_{\pi^{+}} + pc\right)^{2} - m_{\mu}^{2}c^{4}}{2c\left(E_{\pi^{+}} + pc\right)}\,,\qquad \textbf{[0.5т]}

от което следва за максималната пълна енергия на $\mu$ -мезона

E_{\max} = \sqrt{m_{\mu}^{2}c^{4} + p_{\mu}^{2}c^{2}} = 239\ \text{MeV}\,.\qquad \textbf{[1т]}

б) За да има минимална пълна енергия, трябва неутриното да се движи по посоката на движение на $\pi^{+}$ -мезона. Тогава от ЗЗИ $p = p_{\nu} + p_{\mu}$ . [0.5т] От закона за запазване на енергията преди и след разпадането на $\pi^{+}$ -мезона следва, че

E_{\pi^{+}} = \sqrt{m_{\mu}^{2}c^{4} + p_{\mu}^{2}c^{2}} + p_{\nu}c\,.\qquad \textbf{[0.5т]}

От ЗЗИ и ЗЗЕ получаваме

p_{\mu} = \frac{m_{\mu}^{2}c^{4} - \left(E_{\pi^{+}} - pc\right)^{2}}{2c\left(E_{\pi^{+}} - pc\right)}\,,\qquad \textbf{[0.5т]}

от което следва за минималната пълна енергия на $\mu$ -мезона

E_{\min} = \sqrt{m_{\mu}^{2}c^{4} + p_{\mu}^{2}c^{2}} = 152\ \text{MeV}\,.\qquad \textbf{[1т]}

Оригинал в Архива: esenni_2012_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2012_STsolutions.pdf