НЕСФ 2013, 11–12 клас — Задача 1. Трептяща система

• а) $d = u_0\sqrt{\frac{m}{k}} = 1\ \mathrm{cm}$
• б) $N = kd = 0{,}2\ \mathrm{N}$
• в) $V_0 = \frac{u_0}{2} = 5\ \mathrm{cm/s}$
• г) $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{2k}} = \sqrt{2}\,\pi\cdot 0{,}1 \approx 0{,}44\ \mathrm{s}$

а) Максималното скъсяване $d$ на пружината може да се намери от закона за запазване на енергията, сравнявайки енергията в началния момент време и в момента, когато и двете тела са неподвижни, $\dfrac{mu_0^{\,2}}{2} = \dfrac{kd^2}{2}$ [1 т.], $d = u_0\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ [0,5 т.] $= 1$ cm. [0,5 т.]

б) Силата на натиск $N$ е максимална, когато пружината е максимално свита, т.е. когато и двете тела са неподвижни. Тогава $N = kd$ [1 т.] $= 0{,}2$ N. [1 т.]

в) Точно в момента на отлепване на лявото тяло (когато скоростта му все още е нула и пружината е неразтегната), дясното тяло трябва да се движи със скорост $u_0$ надясно, а средата на пружината ще се движи с два пъти по-малка скорост. Следователно $V_0 = \dfrac{u_0}{2}$ [1 т.] $= 5$ cm/s. [1 т.]

г) Ако си представим движението на трептящата система спрямо средата на пружината (симетричната точка), двете тела ще трептят около равновесните се положения така, че във всеки момент ще имат равни по големина и противоположни по посока скорости. Затова можем да приемем, че всяко от телата трепти под действие на два пъти по-къса пружина (половината пружина до неподвижната й среда). [1 т.] Нека всяко от телата се е отклонило от равновесното си положение (при неразтегната пружина) на разстояние $x$. Тъй като на всяко от телата ще му действа сила $F = k2x = 2kx$, можем да си представим, че тялото извършва трептения заради разтягането и свиването на пружина с ефективен коефициент на еластичност $2k$. [1 т.] Следователно периодът $T$ на трептенията ще бъде $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{2k}}$ [1 т.] $= \sqrt{2}\pi 0{,}1 \approx 0{,}44$ s. [1 т.]