НЕСФ 2013, 11–12 клас — Задача 2. Електрическа верига

• а) $R_{\mathrm{AB}} = R/3 = 10\ \Omega$

  Трите резистора са свързани успоредно.

• б) $I_R = \frac{1}{3}I_E = \frac{E}{R+3r_0} \approx 99\ \mathrm{mA}$

• в) $P = I_E^{\,2}\frac{R}{3} \approx 0{,}88\ \mathrm{W}$

• г) $R = 3r_0 = 0{,}30\ \Omega,\qquad P_{\max} = \frac{E^2}{4r_0} = 22{,}5\ \mathrm{W}$

  Мощността е максимална при $R = 3r_0 = 0{,}30\ \Omega$.

а) С плавни преобразувания (премествания) на свързващите проводници може да се покаже, че лявата схема е еквивалентна на дясната. [1 т.] Следователно електричното съпротивление $R_{\mathrm{AB}}$ между точките A и B е $R_{\mathrm{AB}} = R/3$ [1 т.] $= 10\ \Omega$. [1 т.]

б) Токът $I_{\mathrm{R}}$ през средния резистор ще е три пъти по-малък от тока през източника $I_{\mathrm{E}}$. [0.5 т.] Така $I_R = \dfrac{1}{3}I_E = \dfrac{1}{3}\dfrac{E}{\frac{R}{3}+r_0} = \dfrac{E}{R+3r_0}$ [1 т.] $\approx 99$ mA. [0,5 т.]

в) Електричната мощност $P$, която се отделя общо в трите резистора, е $P = I_E^{\,2}\dfrac{R}{3}$ [0,5 т.] $\approx 0{,}88$ W. [0,5 т.]

г) В общия случай електричната мощност $P$, която общо се отделя в трите резистора, е $P = I_E^{\,2}\dfrac{R}{3} = \left(\dfrac{E}{\frac{R}{3}+r_0}\right)^{2}\dfrac{R}{3} = 3E^2\dfrac{R}{\left(R+3r_0\right)^2}$. Тя ще е максимална, когато отношението $\dfrac{R}{\left(R+3r_0\right)^2}\equiv y$ е максимално. $y$ е винаги положително, като когато $R$ клони към нула или безкрайност, $y$ клони към нула. Следователно $y$ има поне един (всъщност точно един) максимум. Това означава, че ще съществуват две стойности на $R$, на които ще съответства една стойност на $y$, [1 т.] или квадратното уравнение $yR^2 + \left(6yr_0-1\right)R + 9yr_0^{\,2} = 0$ ще има единствено решение за $y = y_{\max}$. [0,5 т.] Това става, когато дискриминантата $D = \left(6yr_0-1\right)^2 - 4y9yr_0^2 = 0$. След опростяване $y = \dfrac{1}{12r_0}$, а $R = 3r_0$. [1 т.] Тогава $P_{\max} = \dfrac{E^2}{4r_0}$ [1 т.] $= 22{,}5$ W. [0,5 т.]