НЕСФ 2013, 8. клас — Задача 2. Нагревателен елемент с последователно съпротивление

• а) $I^2 - \frac{U}{R_1}I + \frac{P}{R_1} = 0 \;\Rightarrow\; I^2 - 4I + 4 = (I-2)^2 = 0 \;\Rightarrow\; I = 2\ \mathrm{A}$
• б) $U_0^2 = P_0R_0 = \frac{P_0P}{I^2} = 100\ \mathrm{V^2} \;\Rightarrow\; U_0 = 10\ \mathrm{V}$
• в) $R_2 = 0{,}6R_0 = 0{,}6U_0^2/P_0 = 2{,}4\ \Omega$

а) Тъй като нагревателният елемент и резисторът са свързани последователно, еквивалентното съпротивление във веригата е $R = R_0 + R_1$ (1 т.) ($R_0$ е съпротивлението на нагревателния елемент). Тогава от закона на Ом имаме $I(R_0 + R_1) = U$. (1 т.)

Като отчетем, че $R_0 = P/I^2$ (1 т.) и заместим в закона на Ом, след преобразуване получаваме за тока $I$ уравнението $I^2 - \dfrac{U}{R_1}I + \dfrac{P}{R_1} = 0$. (1 т.)

Като заместим с конкретните стойности $P, U$ и $R_1$ имаме $I^2 - 4I + 4 = (I-2)^2 = 0$, (1 т.) откъдето следва $I = 2\ \mathrm{A}$ (1 т.).

б) Тъй като мощността $P_0 = U_0^2/R_0$ (1 т.), търсеното напрежение е $U_0^2 = P_0R_0 = \dfrac{P_0P}{I^2} = 100\ \mathrm{V^2}$ или $U_0 = 10\ \mathrm{V}$. (1 т.)

в) Нагревателният елемент със съпротивление $R_0$ и резисторът със съпротивление $R_2$ трябва да са свързани последователно, при което напреженията между краищата им са съответно $U_0$ и $U - U_0$. Тогава имаме $\dfrac{R_2}{R_0} = \dfrac{U - U_0}{U_0} = 0{,}6$, (1 т.) откъдето намираме $R_2 = 0{,}6R_0 = 0{,}6U_0^2/P_0 = 2{,}4\ \Omega$. (1 т.)